浙江省温州市苍南中学2024-2025学年初二数学试卷（含答案）

温州苍南中学初二数学试卷
一、选择题 (每小题 6 分, 共 42 分)
1. 关于 的方程组 有无数组解,则( )
A. B. C. D.
2. 若 ,则 与 的大小关系为( )
A. B. C. D. 无法确定
1. 若 是正数,且满足 ,那么 的值为( )
A. 1 B. C. 0 D. 4
4. 如图,点 是正方形 内一点 , ,则 的长为 ( ),
A. B. C. D.
5. 当三个非负实数 满足关系式 与 时, 的最大值是 ( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
6. 已知 2024 个数 ,每个数只能取 +1 或 -1 两个值之一,那么它们的两两之积的和 的最小正值为( )
A. B. C. 44 D. 46
7. 设四位数 满足 ,则这样的四位数的个数为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、填空题 (每小题 6 分, 共 42 分)
8. 如图,在 中, 分别是 的中点, 已知 , , . 则 的面积为_____.
9. 我们把自变量为 的函数记作 表示自变量 时函数 的值,对于实数 ,令 表示不超过 的最大整数,例如[3.1] , ,令 ,那么 _____.
10. 如图,四边形 是菱形, , 为对角线 上任意一点,则 的最小值为_____.
11. 已知 ,则 的最小值为_____.
12. 团体购买公园门票,票价如下表:
购票人数 15 0 511 00 100 以上
门票价格 13 元/人 11 元/人 9 元/人
现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园,这两个部门人数分别为 和 , 若按部门作为团体, 选择两个不同的时间分别购票游览公园, 则共需支付门票费为 1290 元; 若两个部门合在一起作为一个团体, 同一时间购票游览公园, 则需支付门票费为 990 元, 那么这两个部门的人数的乘积 _____.
13. 已知 ,则 的值为_____.
14. 在如图的 的方格表中选 4 个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,选中方格中的 4 个数之和的最大值是_____.
11 21 31 40
12 22 33 42
13 22 33 43
15 24 34 44
三、解答题 (共 36 分)
15. 如图,三个等腰直角三角形 ADC, DPE, BEC 的直角顶点分别为 ,且它们直角边长度均不相等, 不平行 ,求证: 是 的中点.
16. 如图,正方形 的边 在坐标轴上,点 的坐标为(-4,4),点 从点 出发,以每秒 1 个单位长度沿 轴向点 运动,点 从点 同时出发,以相同的速度 轴的正方向运动,规定点 到达点 时,点 也停止运动, 连结 ,过点 作 的垂线,与过点 平行于 轴的直线 相交于点 与 轴交于点 ,连结 ,设点 运动的时间为 .
(1) 的度数为_____,点 的坐标为_____(用 表示)
(2)当 为何值时, 为等腰三角形；
(3)探索 周长是否随时间 的变化而变化？若变化,试求这个定值.
17. 已知 ,且 ,作二次方程 .
(1)若方程有实数根 ,求证: ；
(2)当方程有实数根 6,9 时,求正整数 的值.
全解全析
一、选择题 (每小题 6 分, 共 42 分)
1. 解析：
解: 由题意得 有无数组解,故 .
选 B.
2. 解析：
解: 记 ,则
,故 .
选 A.
3. 解析：
,
故 ,
选 D.
4. 解析：
解: 将 绕点 逆时针旋转 得 ,连结 ,
,
为等腰直角三角形,
,
又 ,
,
.
选 A.
解析：
消元得 ,代入 中,
得 ,
为三个非负实数,
当 时, .
选 C.
解析：
解: 方法一: 设有 个 1,则有 个 -1,
则交叉项中,两个都取 1 的有 项,两个都取 -1 的有 项,
一个为 1 一个为 -1 的有 ,
原式
要求原式的最小正值,即 ,
故当 时,原式取最小值 46 .
故选 D.
方法二:
根据交叉项想到公式 ,我们可以运用此式的推广
来解决本题.
每个数只能取 +1 或 -1 两个值之一,
,
记 ,
则 ,
设 有 个 个-1,
,
要求原式的最小正值,即 ,
由 ,故 ,结合 ,此时 不为整数,不符合,舍去;
因此 ,结合 ,得 ,最小正值为 46 .
故选 D.
7. 解析：
解: 由题意得, 为两位数,因此 也为两位数,
故 ,
时,无符合条件的情况;
时, ,
,数为 2110; ,数为 1210;
,数为 2111; ,数为 1211;
时,无符合条件的情况;
时,无符合条件的情况;
时,无符合条件的情况;
故个数为 4 个, 选 B.
二、填空题 (每小题 6 分, 共 42 分)
8. 解析：
设 ,则 ,
解得: .
的面积为 的面积为 的面积的一半,即 .
9. 解析：
,当 时 ,故此时 ,
那么 .
10. 解析：
作 ,
由题意可得 ,所以 ,
,即求 的最小值,由两点之间垂线段最短可得, 的最小值为 ,
的最小值为 .
11. 解析：
,由绝对值的距离定义可得, ,
因此 的最小值在 取 取 4 时取到,为 -16 .
解析：
第一种情况: ,
此时不同时间购票均为 13 元/人, 但 1290 不能被 13 整除, 排除.
第二种情况: ,
则 ,解得: ,排除.
第三种情况: ,
则 ,解得: ,符合条件, .
当 均大于 50 人时,条件不足以列出可解方程.
13. 解析：
两侧同时平方,可得
化简得 ,可得 (舍), (舍), .
因此 的值为 .
14. 解析：
由于每行和每列均恰有一个方格被选中, 因此同时增减某行/某列的所有元素对最终结果不影响。
第一列减去 10,第二列减去 20,第三列减去 30,第四列减去 40 得:
2 3 2
3 3 3
5 4 4 4
第二行减去 2 , 第三行减去 2 , 第四行减去 4 得:
1 1 1 0
0 0 1 0
1 0 1 1
1 0 0 0
可得操作方案如下使得值最大:
此时最大值为 .
三、解答题 (共 36 分)
15.解析：
解: 如图,延长 至点 ,使得 ,连结 .
易得 和 是等腰直角三角形,
,
,
,易得 ,
,
,
,
,
,
,
点 共线, 是 的中点.
16. 解析：
(1)由题意得 ,
,
四边形 是正方形,
,
,
,易得 ,
,
,
,
点 的坐标为(t, t).
(2)分三种情况:
① 若 ,则 ;
② 若 ,则 ,
,
,
,
,
,
点 与点 重合,点 与点 重合,
;
③ 若 ,
,易得 ,
,
,
延长 到 ,使得 ,连结 ,
,易得 ,
,
,
,
,
,
,
综上所述,当 时, 为等腰三角形;
(3)不会变化, 的周长是定值是 8,理由如下:
因为 ,
的周长 .
17. 解析：
解: (1) 由题意得 ,
其中 ,
,且 ,
,
,
即 .
(2)由题意得 ,则 ,
那么 ,
,
,
,
解得 或 ,
舍去
综上 .