浙江省名校发展共同体2024-2025学年上学期九年级期末数学试卷（含答案）

九年级(上)“浙共体”数学学科期末学能诊断卷
考生须知:
1. 全卷共三大题,24小题,满分为120 分.考试时间为120分钟.
2. 全卷分为卷 I (选择题) 和卷 II (非选择题) 两部分, 全部在答题卡上作答. 卷 I 的答案必须用 2B 铅笔填涂；卷 II 的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡相应位置上.
3. 请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上先填写姓名和准考证号.
4. 本次考试不得使用计算器.
卷 I
说明: 本卷共有 1 大题, 10 小题, 共 30 分. 请用 2B 铅笔在答题卡上将你认为正确的一个选项对应的小方框涂黑、涂满.
一、选择题 (本大题有 10 小题, 每小题 3 分, 共 30 分. 请选出每小题中最符合题意的一个选项, 不选、 多选、错选均不给分)
1. 下列图形中, 既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
B. C. D.
2. 下列词语所描述的事件中是不可能事件的是 ( )
A. 旭日东升 B. 水中捞月 C. 老马识途 D. 十拿九稳
3. 如图, 是 的直径, 是 上一点,连结 . 若 ,那么 的度数为 ( )
(第 3 题围) (第 5 题图) (第 7 题图) (第 9 题图)
A. B. C. D.
4. 二次函数 的图象经过点(-1,2),则 的值是 ( )
A. 2 B. -2 C. D.
5. 如图,在矩形 中, ,若以点 为圆心,4 为半径作 ,则下列各点在 外的是 ( ▲ )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
6. 正方形的面积 与周长 之间的函数关系式是 ( )
A. B.
C. D.
7. 如图, 是半圆 的直径, ,则 ( ▲ )
A. B. C. D.
8. 已知二次函数 的 与 的部分对应值如下表: 15.
... -2 -1 0 1 ...
... 1 2 1 -2 ...
则下列判断中正确的是 ( )
A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与 轴交于负半轴 16.
C. 当 时, D. 方程 的正根在 0 与 1 之间
9. 如图,八边形 是正八边形,且 . 若 ,则 为( )
A. B. C. D.
10. 已知二次函数 ,设该函数的最大值为 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
卷 II
说明:本卷共有 2 大题,14 小题,共 90 分. 请用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题纸的相应 位置上.
二、填空题 (本大题有 6 小题, 每小题 3 分, 共 18 分)
11. 若 ,则 _____▲_____ .
12. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶, 被国际气象界誉为“中国第五大发明”. 梅好同学购买了四张“二十四节气”主题邮票,其中“立春”“立夏”“立秋”“立冬”各一张,每张邮票的形状大小都相同,将他们背面朝上放置,从中随机抽取一张恰好抽到“立春”的概率是_____▲_____ .
13. 如图是一张书法练习纸, 其中的竖格线都互相平行, 且相邻两竖格线间的距离相等. 不同竖格线上的三点 在同一直线上,若线段 ,则线段 的长为_____ cm.
(第 13 题图) (第 14 题图) (第 15 题围) (第 16 题围)
14. 如图 1, “东方之门”通过简单的几何曲线处理, 将传统文化与现代建筑融为一体, 最大程度地传承了苏州的历史文化. 如图 2, “门”的内侧曲线呈抛物线形, 已知其底部 的宽度为 80 米,高度为 200 米, 长 20 米,则 离地面 的垂直高
度为_____▲_____米.
15. 如图, 为 的直径, 是 上一点,以 为圆心,适当长为半径作弧交直径 所在的直线于点 , ；分别以 , 为圆心,大于 长为半径作弧,两弧交于点 ；连结 并延长交 于点 ,交 于点 ; 以 为圆心, 长为半径作弧交 于点 ,连结 . 若 ,则 的半径长是_____▲_____.
16. 在一次课题学习中,某学习小组受赵爽弦图的启发,将正方形改编成矩形,如图所示,由两对全等的直角三角形 ( ) 和矩形 拼成大矩形 . 若 ,矩形 与矩形 的面积比为 ,则 _____▲_____ .
三、解答题(本大题有 8 小题,共 72 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17. (本题 8 分)
已知抛物线 为常数,且 ) 的图象如图所示.
(1)求该抛物线的函数表达式.
(2)当 时,直接写出 的取值范围.
18. (本题 8 分)
如图,已知 是 的外接圆, 是 的中点.
(1)请只用无刻度的直尺,在 上找一点 ,连结 ,使得 . (不写作法,保留作图痕迹)
(2) 在 (1) 的条件下,若 ,求 的长.
19. (本题 8 分)
“立定跳远”是田径运动项目之一. 运动员起跳后的腾空路线可以近似地看做是抛物线的一部分,建立如图所示的平面直角坐标系 (起跳点为原点,地面所在直线为 轴,起跳点所在的竖直方向为 轴),从起跳到落地的过程中,设运动员距离地面的竖直高度为 ,距离起跳点的水平距离为 . 已知,运动员跳到最高处时距离地面的竖直高度为 ,距离起跳点的水平距离为 .
(1)求该运动员腾空路线的表达式.
（2）求该运动员落地时距离起跳点的水平距离.
20. (本题 8 分)
小明为帮助自己记忆古诗,将 5 句重点古诗分别制成表面看上去无差别的卡片,并分别放入甲、 乙两个口袋中 (如图). 甲口袋中装有 三张卡片,乙口袋中装有 两张卡片.
( 1 )若从乙口袋中随机抽取 1 张卡片,抽到思乡的古诗的概率是_____▲_____.
从两个口袋中分别随机抽取 1 张卡片,求抽取的两张卡片至少有一张是励志古诗的概率.
21. (本题 8 分)
如图,小区门口道闸的栅栏 长度不变,立柱 垂直于地面, 绕点 旋转得到 ,若 .
(1)求栅栏最右端 离地面的最大高度.
(2)若想使栅栏最右端 离地面的高度达到 ,请你给出一种改造的方案.
22. (本题 10 分)
如图,四边形 是菱形, 经过 两点,且交对角线 于点 ,连结 ,此时 .
(1)求证: .
(2)若 ,求点 到 的距离.
23. (本题 10 分)
已知二次函数 的图象经过点 .
(1)求二次函数的表达式.
(2)若 ,
①当 时,求 的最大值;
②若 的最大值与最小值之和为 27,求 的值.
24. (本题 12 分)
【问题提出】
(1)如图 1, 为 的直径, , , , 为 上的一动点,连结 ,求 的最小值.
【问题探究】
(2)如图 2, 为 内部一点,且满足 ,求 的最小值.
【问题解决】
(3)如图 3,正方形 是某社区的一块空地,经测量, . 社区管委会计划对该空地及周边区域进行重新规划利用,在射线 上取一点 ,沿 修两条小路,并在小路 上取点 ,将 段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道(通道宽度忽略不计). 根据设计要求, ,为了节省铺设成本,要求休闲通道 的长度尽可能小,问 的长度是否存在最小值 若存在,求出 长度的最小值; 若不存在,请说明理由.
参考答案及评分标准
一、选择题 (本大题有 10 小题, 每小题 3 分, 共 30 分)
1-5:CBCAD 6-10:ABDBD
(选对一题给 3 分,不选、多选、错选均不给分)
二、填空题(本大题有 6 小题, 每小题 3 分,共 18 分)
11.
12.
13. 4.5
14.
15.
三、解答题(本大题有 8 小题,共 72 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17. (本题 8 分)
解:(1)将 代入 ,
得 解得
该抛物线的函数表达式是 . (4 分)
(2) 由图象知,当 或 时, . (4 分)
18.(本题 8 分)
解:(1)如图,点 即为所求. (4 分)
(2) . (1 分)
,
, (1 分)
, (1 分)
解得 或 (舍去).
. (1 分)
19.(本题 8 分)
解: (1) 由题意得, 抛物线的顶点坐标为 (1.1, 0.4).
设腾空路线的表达式为 , (1 分)
路线经过点 , (1 分)
解得 . (1 分)
该运动员腾空路线的表达式为 . (1 分)
(2) . (4 分)
20.(本题 8 分)
(1) (4 分)
(2) . (4 分)
21.(本题 8 分)
解:(1)如图,作 于点 于点 .
当点 与地面接触时,栏杆最右端 离地面最高,
.
,且 , ,
,即 ,
栏杆最右端 离地面的最大高度是 . (4 分)
(2)方案:设把立柱 升高 ,则 .
当点 与地面接触时,栏杆最右端 离地面最高,
此时 .
,且 ,
,即 .
答: 可以把立柱 升高 . (注:答案不唯一) (4 分)
(本题 10 分) (1)证明: . 四边形 是菱形, , , . (5 分)
解:如图,连结 ,过点 作 于点 . . . 根据菱形的轴对称性,得 , 又 . 答: 点 到 的距离是 4 . (5 分)
(本题 10 分) 解: 图象经过点 , 解得 . 二次函数的表达式是 . (3 分)
( 2 )① 的对称轴是 , 当 时,在 范围内, . (3 分) ② 当 时, 当 时, 有最小值为 12, 当 时, 有最大值为 , (舍去). (2 分) 当 时, 当 时, 有最大值为 16, 的最大值与最小值之和为 27, 的最小值为 11, , (舍去). 综上所述, 的值是 1 或 . (2 分)
(本题 12 分) 解:(1)如图 1,当 共线时, 最小. , , (2 分) . (2 分)
如图 2,作 的外接圆 ,过点 作 直线 于 , 连结 ,连结 交 于点 , . . . (1 分) , . (1 分) , (1 分) . (1 分)
(3) 的长度存在最小值.
图 1 图 2 图 3
如图 3 所示,连结 ,
,
. (1 分)
,
,
又 ,
, (1 分)
则点 的运动轨迹是以 为圆心, 为直径的半圆,且 ,
在 Rt 中, , (1 分)
长度的最小值为 . (1 分)