2024-2025学年北京市海淀区首都师大附中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市海淀区首都师大附中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
2.直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则、的值是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.在平行六面体中，若，则的值等于( )
A. B. C. D.
4.方程表示圆心为，半径为的圆，则，，的值依次为( )
A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、
5.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6.若直线：与直线：互相平行，则的值是( )
A. B. C. 或 D. 或
7.一个封闭的正三棱柱容器，高为，内装水若干如图甲，底面处于水平状态将容器放倒如图乙，一个侧面处于水平状态，这时水面所在的平面与各棱交点，，，分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为( )
A. B. C. D.
8.唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( )
A. B. C. D.
9.已知动直线与圆：交于、两点，且若与圆相交所得的弦长为，则的最大值与最小值之差为( )
A. B. C. D.
10.在平面直角坐标系中，为坐标原点，曲线的方程是，为上的任意一点，给出下面四个命题：
曲线上的点关于轴、轴对称；
曲线上两点间的最大距离为；
的取值范围为；
曲线围成的图形的面积小于．
则以上命题中正确命题为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题6分，共30分。
11.直线的倾斜角为______，经过点且与直线垂直的直线方程为______．
12.已知正方体的棱长为，则在正方体的顶点中，满足到平面的距离为的一个顶点为______．
13.直线过点且与圆相切，那么直线的方程为 ．
14.设，过定点的直线：与过定点的直线：相交于点，则点坐标为______，的最大值为______．
15.如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，点在线段上运动，给出下列四个结论：
平面截正方体所得的截面图形是五边形；
直线到平面的距离是；
存在点，使得；
面积的最小值是．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图，在侧棱垂直底面的四棱柱中，，，，，，，点是的中点，点是平面与直线的交点．
证明：；
求直线与平面所成的角的正弦值．
17.本小题分
已知圆过原点和点，圆心在轴上．
求圆的方程；
直线经过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程．
18.本小题分
图是边长为的正方形，将沿折起得到如图所示的三棱锥，且．
证明：平面平面；
棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.点中任填一个即可答案不唯一
13.或
14.
15.
16.证明：因为，平面，平面，
所以则平面，
又因为平面，平面平面，所以，
所以；
因为平面，，，所以，
故以点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，，则，
设直线与平面所成的角为，
则，
故直线与平面所成的角的正弦值为．
17.解：已知圆过原点和点，圆心在轴上，
设圆心为，由题意可得，
则，解得，所以圆的半径为，
故圆的方程为；
直线经过点，且被圆截得的弦长为，
由题意可知，圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时，圆心到直线的距离为，合乎题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由题意可得，解得，
此时，直线的方程为，即；
综上所述，直线的方程为或；
过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，
设点，其中，则，设点，
因为，则，
可得，可得，
因为点在圆上，则，即，
故点的轨迹方程为．
18.证明：在图中，连接，交于点，
因为四边形是边长为的正方形，所以，，
在图中，有，，，
因为，所以，即，
又，，、平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面．
解：由知，，，两两垂直，
故以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
假设在棱上存在点，满足，使得二面角的余弦值为，
则，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
易知平面的一个法向量为，
所以，化简得，
解得或舍去，
所以，
即棱上存在点，当时，二面角的余弦值为．
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