2024-2025学年甘肃省金昌市高中联考高二（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年甘肃省金昌市高中联考高二（上）月考
数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，是实数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.古代数学著作九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“女子善于织布，每天织的布都是前一天的倍，已知她天共织布尺，问这名女子每天分别织布多少？”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为尺，则所需的天数为( )
A. B. C. D.
4.观察下列式子：，，，，则可归纳出小于( )
A. B. C. D.
5.如果圆上有且仅有两个点到原点的距离为，那么实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6.如图，三棱锥中，平面，是棱的中点，已知，，，则异面直线，所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知函数，其导函数为，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数有两个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共100分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中的真命题是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10.已知数列的前项和为，则下列说法正确的是( )
A. B. 为的最小值
C. D.
11.我们把离心率为的双曲线称为黄金双曲线．如图所示，、是双曲线的实轴顶点，、是虚轴顶点，、是焦点，过右焦点且垂直于轴的直线交双曲线于、两点，则下列命题正确的是( )
A. 双曲线是黄金双曲线
B. 若，则该双曲线是黄金双曲线
C. 若，则该双曲线是黄金双曲线
D. 若，则该双曲线是黄金双曲线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12. ______．
13.在正四棱柱中，，，动点，分别在线段，上，则线段长度的最小值是 ．
14.已知变量，线性相关，由观测数据算得样本的平均数，线性回归方程中的系数，满足，则线性回归方程为______．
15.古埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给个人，每人不够，每人余，再将这分成份，每人得，这样每人分得形如的分数的分解：，，，按此规律，______．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知，集合，函数的定义域为．
若，求的取值范围；
若是的必要不充分条件，求的取值范围．
17.本小题分
已知点，点是圆：上的任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点．
求点的轨迹方程；
若直线与点的轨迹有两个不同的交点和，且原点总在以为直径的圆的内部，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图所示，在多面体中，底面是梯形，，，，底面，，，点为的中点，点在线段上．
证明：平面；
如果直线与平面所成的角的正弦值为，求点的位置．
19.本小题分
已知在处取得极值．
Ⅰ求实数的值；
Ⅱ求的单调区间；
Ⅲ求在区间上的最大值和最小值．
20.本小题分
某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价单位：元件及相应月销量单位：万件，对近个月的月销售单价和月销售量的数据进行了统计，得到如表数据：
月销售单价元件
月销售量万件
Ⅰ建立关于的回归直线方程；
Ⅱ该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为元件时，其月销售量达到万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：Ⅰ中得到的回归直线方程是否理想？
Ⅲ根据Ⅰ的结果，若该产品成本是元件，月销售单价为何值时销售单价不超过元件，公司月利润的预计值最大？
参考公式：回归直线方程，其中，．
参考数据：，．
21.本小题分
已知．
若函数在处取得极值，求实数的值；
若，求函数的单调递增区间；
若，存在正实数，，使得成立，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：，
的定义域，则，解得，即，
若，则或，即或，
则，的范围为，即的取值范围为．
若是的必要不充分条件，则，
，解得．
故的取值范围为
17.解：由题意知，，，
的轨迹是以、为焦点的椭圆，其轨迹方程为：；
设，，
则将直线与椭圆的方程联立得：，
消去，得：，，，
，，
因为在以为直径的圆的内部，故，即，
而，
由，
得：，，且满足式的取值范围是
18.解：证明：在梯形中，，则，
，，，
点为的中点，，，
四边形是平行四边形，，，
又底面，底面，，
又平面，平面，，平面；
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则、、、、，
，
设，则，
则，，
设平面的法向量，
则，取，得平面的一个法向量为，
则，
解得或舍，即，
当点与点重合时直线与平面所成的角的正弦值为．
19.解：Ⅰ，
由于在处取得极值，
故，解得，
经检验，当时，在处取得极值，
故．
Ⅱ，由，得或；由，得，
故的单调增区间为，；单减区间为．
Ⅲ由Ⅱ，得，，又，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为．
20.解：Ⅰ因为，．
所以，所以，
所以关于的回归直线方程为：．
Ⅱ当时，，则，
所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的．
Ⅲ设销售利润为，则，所以时，取最大值，
所以该产品单价定为元时，公司才能获得最大利润．
21.解：，
函数在处取得极值，，解得：，
当时，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
当时，函数在处取得极小值．
，
，
令，则或，
当时，令可得：，
函数的单调递增区间为；
当时，令，可得：或，
函数的单调递增区间为；
当时，在上恒成立，
函数的单调递增区间为；
当时，令可得：或，
函数的单调递增区间为；
，，
，，
整理可得：，
令，则，，令，解得：，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
当时，取得极小值最小值为，即，
，即，
解得：舍去或，
的取值范围为．
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