2024-2025学年福建省莆田市妈祖中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省莆田市妈祖中学高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.若幂函数在单调递减，则( )
A. B. C. D.
3.若、，则“”是“，”的( )
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，的解析式为( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.三个数，，的大小关系( )
A. B. C. D.
7.已知函数的图像恒过一点，且点在直线的图像上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数满足对任意，，当时都有成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合，则下列式子表示正确的有( )
A. B. C. D.
10.下列选项中正确的是( )
A. 不等式恒成立
B. 若、为正实数，则
C. 当，不等式恒成立
D. 若正实数，满足，则
11.已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数解，则下列选项中可以作为实数取值范围的有( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，共32分。
12.函数的定义域为______．
13.已知函数，则______
14.对于实数，，定义符号，其意义为：当时，；当时，例如：，若关于的函数，则该函数的最大值为______．
15.已知函数对任意实数，恒有且当，，且．
判断的奇偶性；
求在区间上的最大值；
解关于的不等式．
四、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
化简求值：
；
．
17.本小题分
已知集合，．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知，．
若，解不等式；
若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数在为奇函数，且．
求，值；
判断函数在的单调性，并用定义证明；
解关于的不等式．
参考答案
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15.解：取，
则；
则；
取，则，
对任意恒成立
为奇函数；
任取，且，则；
；
，
又为奇函数
；
在上是减函数；
对任意，恒有
而；
；
在上的最大值为；
为奇函数，
整理原式得；
即；
而在上是减函数，
；
．
当时，；
当时，且；
当时，；
当时，
当时，．
16.解：原式；
原式．
17.解：当时，，
又因为集合，
所以；
当时，，
解得，
当时，则，
解得，
综上所述，实数的取值范围为．
18.解：当，不等式，即，即，
解得，或，故不等式的解集为或．
由题意可得恒成立，
当时，显然不满足条件，
，解得，
故的范围为．
19.解：由题意知，，所以，
因为，所以，解得．
证明：在上单调递减，证明过程如下：
由知，，
任取，
则，
因为，所以，，，，
所以，即，
所以在上单调递减．
解：因为是定义在上的奇函数，
所以不等式可化为，
又在上单调递减，
所以，解得，
所以不等式的解集为．
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