2024-2025学年陕西省西安市陕西师大附中高二（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年陕西师大附中高二（上）月考数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.椭圆的离心率为，则( )
A. B. C. D.
2.如果，，那么直线不经过的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.在等差数列中，，公差不为，为的前项和，若，，成等比数列，则( )
A. B. C. D.
4.圆：和圆：的公共弦的垂直平分线的方程是( )
A. B. C. D.
5.已知数列是首项不为零的等比数列，且公比大于，那么“”是“数列是递增数列”的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知是双曲线左支上的一个点，，是双曲线的焦点，，且：：，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知等差数列的前项和为，若，，则当最小时，的值为( )
A. B. C. D.
8.已知是曲线：上的动点，是圆上的动点，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是( )
A. 若为椭圆，则
B. 若为双曲线，则或
C. 曲线可能是圆
D. 若为焦点在轴上的椭圆，则
10.已知等比数列的公比，其前项和记为，且，则( )
A. B. C. D.
11.数学家笛卡尔研究了很多曲线，传说笛卡尔给公主克里斯蒂娜寄的最后一封信上只有一个数学表达式：，克里斯蒂娜用极坐标知识画出了该曲线图象“心形线”，明白了笛卡尔的心意已知利用关系式和可将信中表达式转化为直角坐标系下的曲线方程如图，该曲线图象过点，则( )
A.
B. 曲线经过
C. 当在曲线上时，
D. 当在曲线上时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.以为圆心，且过原点的圆的方程是______．
13.已知圆：的圆心与抛物线的焦点重合，两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为______．
14.已知圆：和定点，若过点有条弦成等差数列，最短弦长为首项，最长弦长为末项，若公差，则的所有可能取值所构成的集合为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记为等比数列的前项和．已知，．
求的通项公式；
求，判断，，是否成等差数列并说明理由．
16.本小题分
已知动点到两定点和的距离之比为．
求动点的轨迹的方程；
已知圆，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程．
17.本小题分
设数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
设求数列的前项和．
18.本小题分
设椭圆的离心率为，且短轴长为，过点的直线与轴相交于点，与椭圆相交于，两点．
求椭圆的方程；
若，求直线的方程．
19.本小题分
设抛物线：，过焦点的直线与抛物线交于点，当直线垂直于轴时，．
求抛物线的标准方程．
已知点，直线，分别与抛物线交于点，．
求证：直线过定点；
求与面积之和的最小值．
参考答案
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15.解：设数列的首项为，公比为，
因为，，
所以，解得，
所以．
解：因为，所以，
所以，，成等差数列，理由如下：
因为，，
所以，
即，所以，，成等差数列．
16.解：设，动点到两定点和的距离之比为．
可得，化简可得．
动点的轨迹的方程．
：，圆心半径为，圆，的圆心，半径为，
两个圆的圆心距为，，所以两个圆相交，有两条切线，
设切线方程为，可得，解得，，
所求切线方程为：．
17.解：数列的前项和为，且，，
则当时，，
得：，整理得：．
又当时，，
所以数列是以为首项为公比的等比数列，
所以．
由得，
所以，
，
得：
，
所以．
18.解：设椭圆半焦距为，则依题意有，
解得，所以椭圆方程为．
若直线的斜率不存在，则的方程为，则，，．
则，，，不满足题意；
所以直线的斜率一定存在，设直线的方程为，则，
联立，消去得，
因为点在椭圆内，所以恒成立，
设，，则，，
所以，，又，
所以，即，
解得．
所以直线的方程为．
19.解：由题意，当直线垂直于轴时，，代入抛物线方程得，
则，
所以，即，
所以抛物线：．
设，，
直线，
与抛物线：联立，得，因此，．
设直线：，与抛物线：联立，得，
因此，，则同理可得．
所以，
因此直线：，由对称性知，定点在轴上，
令得，
，
所以直线过定点．
因为，
，
所以，
当且仅当时取到最小值．
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