2024-2025学年广东省江门市普通高中高二（上）调研数学试卷（一）（含答案）

2024-2025学年广东省江门市普通高中高二（上）调研数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过点与平行的直线方程是( )
A. B. C. D.
2.方程表示一个圆，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.若，，则( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列，，，的前项和为，则的值为( )
A. B. C. D.
5.两条直线和分别与抛物线相交于不同于原点的，两点，当直线经过抛物线的焦点时，则为( )
A. B. C. D.
6.阿基米德公元前年公元前年不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积若椭圆的对称轴为坐标轴，面积为，且两焦点与短轴的一个端点构成直角三角形，则椭圆的标准方程为( )
A. B. ，或
C. D. ，或
7.设双曲线的离心率为，双曲线渐近线的斜率的绝对值小于，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知为正方形的中心，，分别为，的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在平面直角坐标系中，已知点，，，，则( )
A. 直线的倾斜角不存在 B. 直线与直线的倾斜角相等
C. 直线与直线的斜率之和为 D. 点到直线的距离为
10.如图，在四面体中，，，，分别是，，，的中点，是和的交点，为空间中任意一点，则( )
A. ，，，四点共面
B.
C. 为直线的方向向量
D.
11.已知等差数列的前项和为，公差为，，，则( )
A. B. 为递减数列
C. 若，则，且 D. 当或时，取得最大值
12.已知抛物线：的焦点为，直线：，过的直线交抛物线于，两点，交直线于点，，，则( )
A. 的面积的最大值为 B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.直线被圆截得的弦长为______．
14.写出一个与双曲线有相同渐近线，且焦点在轴上的双曲线方程为______．
15.对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在梦溪笔谈中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题现有一货物堆，从上向下查，第一层有个货物，第二层比第一层多个，第三层比第二层多个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前项和 ______．
16.如图，已知正三棱柱的所有棱长均为，动点在线段上，则面积的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知等差数列和等比数列满足，，，，设数列的公比为．
求数列，的通项公式；
若，为数列的前项和，求．
18.本小题分
如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，．
求证：；
若，求异面直线与所成角的余弦值．
19.本小题分
已知动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
若直线：与曲线有且只有一个公共点，求的值．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，底面是菱形，是正三角形，，是的中点．
证明：；
求平面与平面夹角的余弦值．
21.本小题分
已知等比数列的前项和为，且
求数列的通项公式：
在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若数列满足，求数列的前项和．
22.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过右焦点的直线与椭圆相交于，异于，两点．
若直线的斜率为，求；
若直线与直线相交于点，求证：，，三点共线．
参考答案
1.
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14.答案不唯一
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16.
17.解：等差数列和等比数列满足，，，，
，解得，，
，；
由可知，
．
18.证明：由题意知平面，又因为平面，所以，
，，且和为平面内两相交直线，
所以平面，又因为平面，所以；
解：由题意知面，，
以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
令，，则，，
，，，
故，，
设异面直线与所成角为，
，
故异面直线与所成夹角的余弦值为．
19.解：设动点，由题意有，
即，
同时平方，有，整理得：，
所以曲线的方程为．
联立方程，
消去得，
当，即时，方程有个根，符合题意．
当，即且时，
因为直线与曲线有个公共点，
故，解得：，
综上所述，当或时，直线与曲线有且只有一个公共点．
20.证明：取的中点，连接，，，
因为是正三角形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为底面是菱形，所以，
因为是的中点，所以，
从而，
因为，所以平面，
因为平面，所以；
解：连接，因为，所以是正三角形，所以，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
令，则，，，
所以，，，，，
因为是的中点，所以，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，得，
设平面的一个法向量为，
由，，
可得，令，可得，，
则，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
21.解：等比数列的前项和为，且，
，可得，
，
又，，，
；
根据题意可得，
，
，，
两式相减可得，
．
22.解：易知，
可得直线的方程为，
联立，消去并整理得，
不妨设，，
由韦达定理得，，
所以；
证明：易知直线与轴不重合，
不妨设直线方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
易知直线的方程为，
令，
解得，
所以
，
即，
因为直线与直线有公共点，
所以，，三点共线．
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