2024-2025学年河南省郑州市郑州七中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省郑州七中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线经过点，，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
2.若椭圆的长半轴长等于其焦距，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线：与直线：垂直，则实数( )
A. B. C. D.
4.抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
5.已知圆的圆心在第二象限，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.在四面体中，为棱的中点，点为线段上一点，且，设，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知点为圆：上一动点，若直线上存在两点，，满足，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知正方体的棱长为，为棱的中点，为侧面的中心，点，分别为直线，上的动点，且，当取得最小值时，点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，满足，，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知直线的方程为，圆的方程为，则下列结论正确的是( )
A. 直线恒过定点 B. 圆的半径为
C. 直线与圆恒有两个交点 D. 圆心到直线距离的最大值为
11.已知点为抛物线：的焦点，点为抛物线上位于第一象限内的点，直线为抛物线的准线，点在直线上，若，，，且直线与抛物线交于另一点，则下列结论正确的是( )
A. 直线的倾斜角为 B. 抛物线的方程为
C. D. 点在以线段为直径的圆上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，，，则 ______．
13.已知双曲线：的一条渐近线与双曲线：的一条渐近线关于直线对称，且这两条渐近线的夹角为，则双曲线与的离心率之积为______．
14.过圆：上的一个动点作圆：的两条切线，切点分别为，，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆：经过点，，且圆与直线：，：均相切．
若经过圆心的直线与，平行，求直线的方程；
求圆的标准方程．
16.本小题分
如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面
，，且，，，
求直线与直线所成角的余弦值；
证明：，，，四点共面．
17.本小题分
已知点在双曲线：上，且的实轴长为，，分别为的左、右焦点．
求双曲线的标准方程；
过点的直线与交于另一点，且点位于轴下方，若，求点的坐标．
18.本小题分
如图，在平行六面体中，底面是矩形，，，点，分别为，的中点，且．
证明：平面平面；
若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长度．
19.本小题分
已知点，，定义，的“倒影距离”为，我们把到两定点，的“倒影距离”之和为的点的轨迹叫做“倒影椭圆”．
求“倒影椭圆”的方程；
求“倒影椭圆”的面积；
设为坐标原点，若“倒影椭圆”的外接椭圆为，为外接椭圆的下顶点，过点的直线与椭圆交于，两点均异于点，且的外接圆的圆心为异于点，证明：直线与的斜率之积为定值．
参考答案
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15.解：圆：经过点，，且圆与直线：，：均相切．
直线到直线，的距离都等于圆的半径，
设直线的方程为，
则，解得，
所以直线的方程为；
由题意可得，
解得，
所以圆的标准方程为．
16.解：连接，四边形为菱形，
又，为等边三角形，
取的中点，连接，则，．
平面，平面，平面，，，
以为原点，以，，所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，由，
可知，，
；
证明：，，分别为，中点，
则，，连接，，则，，
设，由知 ，
则，
则
解得，
，
故，，，四点共面．
17.解：因为点在双曲线上，且双曲线的实轴长为，
所以，
解得，
则双曲线的标准方程为；
因为，
所以点， 到直线的距离相等，
因为点位于轴下方，
所以，
由知，，，
所以，
则直线的方程为，
联立，消去并整理得，
解得或，
当时，
解得，
即；
当时，
解得，
即．
综上，点的坐标为或．

18.证明：设，则，
因为，
所以，
所以，即，
因为为的中点，
所以，且，
所以，即，
又，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
解：由，可得，则，
以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
则，，，，，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，
则，，
解得舍负，
所以的长度为．
19.解：设，定点，，
由“倒影距离”的定义可知，，
，
由题意，即，
“倒影椭圆”的方程为；
由，
得，
当时，，
当时，由对称性知，，
其图象如图所示，
故“倒影椭圆”的面积；
证明：由上图知，“倒影椭圆”的外接椭圆的长半轴长为，且经过点，
可得椭圆的方程为，
由知，，
由题意可知，直线的斜率存在，
设直线的方程为，，，
联立，消得，
则恒成立，
则，
线段得中点为，即，
又，
则线段的中垂线的方程为，
即，
同理线段的中垂线的方程为，
设的外接圆的圆心的坐标为，
则，是方程的两根，
，
又，
，即，
即，
则，即，
直线与的斜率之积为定值．
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