2024-2025学年北京市北京十二中高一（上）期中数学试卷(含答案）

2024-2025学年北京十二中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知命题，则为( )
A. B.
C. D.
3.下列函数中，在区间上是减函数的是( )
A. B. C. D.
4.对于实数，，，下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5.使“函数的最小值为”为假命题的的一个值可以是( )
A. B. C. D.
6.已知边长为的正方形中，为的中点，动点在正方形边上沿运动设点经过的路程为，的面积为，则与的函数图象大致为图中的( )
A. B.
C. D.
7.关于的方程有两个实数根，，且，那么的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
8.已知函数的定义域为，，是偶函数，且在单调递增，则( )
A. B. C. D.
9.某礼服租赁公司共有套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在元的基础上提高元，则被租出的礼服会减少套若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
10.已知定义在上的函数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
11.已知，，若，或，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.设集合，在上定义运算：，其中为被除的余数，，，则使关系式成立的有序数对总共有( )
A. 对 B. 对 C. 对 D. 对
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.函数的定义域是______．
14.已知幂函数的图象经过点，则 ______．
15.若集合，则实数的取值范围是______．
16.写出同时满足以下两个条件的一个函数 ______．
，，；
，且，．
17.已知函数若，则的值域是______；若的值域是，则实数的取值范围是______．
18.几位同学在研究函数时给出了下面几个结论：
函数的值域为；
存在，使得；
在是增函数；
若规定，且对任意正整数都有：，则对任意恒成立．
上述结论中正确结论的序号为______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
设全集，集合，．
Ⅰ当时，求，；
Ⅱ若，求的取值范围．
20.本小题分
如图所示，某学校要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为，如果池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元不计靠墙一面的造价，设垃圾池的高为，墙高．
Ⅰ试将垃圾池的总造价元表示为的函数，并指出的取值范围；
Ⅱ垃圾池的高为何值时，能使总造价最低？最低总造价是多少？
21.本小题分
已知函数．
Ⅰ若函数的单调减区间为，求实数的值；
Ⅱ当时，解关于的不等式；
Ⅲ关于的不等式仅包含一个整数解，写出一个的值结论不要求证明．
22.本小题分
已知函数是上的奇函数，且．
Ⅰ求的解析式；
Ⅱ求在区间上的最大值；
Ⅲ若对所有的，恒成立，求实数的取值范围．
23.本小题分
对于正整数集合，，记，记集合所有元素之和为，若，存在非空集合，，满足：；；，则称存在“双拆”若，均存在“双拆”，称可以“任意双拆”．
Ⅰ判断集合和是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”不必写过程，直接写出判断结果；
Ⅱ，判断是否能“任意双拆”，并证明；
Ⅲ若可以“任意双拆”，求中元素个数的最小值．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.答案不唯一
17.
18.
19.解：Ⅰ当时，，
集合，
所以，或；
Ⅱ，
因为，所以，
综上：的取值范围为．
20.解：Ⅰ无盖长方体垃圾池的容积为，长为，高为，
则宽，
又池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，
则，
即，．
Ⅱ由知，，
当且仅当，即时取等号，
所以当垃圾池的高为，宽为时，垃圾池总造价最低为元．
21.解：Ⅰ当时，函数的单调递减区间是，不满足题意；
当时，由函数的单调减区间为，得，解得，
所以．
Ⅱ不等式，，
当时，不等式为，解得或；
当时，不等式为，解得或，
当时，不等式为，解得；
当时，不等式为，解得；
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
Ⅲ由Ⅱ知，当时，原不等式的解集为，解集中有无数个整数，不符合题意；
当时，原不等式的解集为，解集中有无数个整数，不符合题意；
当时，原不等式的解集为，解集中有无数个整数，不符合题意；
当时，原不等式的解集为，中仅有一个整数，
则，解得，取，
所以的一个值为．
22.解：Ⅰ函数是上的奇函数，
则，
所以，
由，得，解得，
所以，
又因为，
所以函数是奇函数，
所以的解析式是；
Ⅱ，且，
即，则，，
则，
即，
因此函数在上单调递增，
所以在区间上的最大值为．
Ⅲ由及对所有的恒成立，
得，
即，，
令，
因此，恒成立，
则，即，
解得或，
所以实数的取值范围是．
23.解：Ⅰ对于集合，，且，因此集合可“双拆”，
，在集合中，任意两个数的和都不等于第三个数，
则集合不可“任意双拆”；
对于集合，，，
因此集合可“双拆”，
，在集合中，任意两个数的和与另外两个数的和也都不等，
任意一个数与其它个数的和都不等，因此集合不可“任意双拆”．
Ⅱ集合不能“任意双拆”，证明如下：
不妨设，反证法：如果集合可以“任意双拆”，
若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有，或，
若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有，或，
由可得，矛盾；由可得，矛盾；
由可得，矛盾；由可得，矛盾．
因此，当时，集合一定不能“任意双拆”．
Ⅲ设集合，由，，，
得均为偶数，因此均为奇数或偶数，
若为奇数，则也均为奇数，由于，则为奇数；
如果为偶数，则也均为偶数，
此时设，则也是可“任意双拆”的，
重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“任意双拆”集，此时各项之和也为奇数，
因此集合中元素个数为奇数，
当时，显然集合不可“任意双拆”；
当时，由可知，不可“任意双拆”，则，
当时，取集合，
，，，，
，，，
则集合可“任意双拆”，
所以集合中元素个数的最小值为．
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