天津市第五十五中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（含答案）

天津市第五十五中学 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过 (0,√ 3)、 ( 1,0)两点的直线的倾斜角为( )
2 5
A. B. C. D.
6 3 3 6
2.已知
1 1 1
= ( , , )， = (0, 1,0)，则异面直线 与 所成角的余弦值为( )
3 3 3
√ 3 √ 3 √ 6 √ 6
A. B. C. D.
9 3 3 6
3.如图是一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16 时，拱顶距离水面4 ，当水面上升1 后，桥洞内水面宽
为( )
A. 4 B. 4√ 3 C. 8√ 3 D. 12
5
4.设椭圆 1的离心率为 ，焦点在 轴上且长轴长为26，若曲线 2上的点到椭圆 1的两个焦点的距离的差的13
绝对值等于8，则曲线 2的标准方程为( )
2 2 2 2 2 2 2 2
A.
42 32
= 1 B. 2 2 = 1 C. 2 2 = 1 D. 2 2 = 1 13 5 3 4 13 12
2 2
5.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，左、右顶点分别为 ， ，过 2的直线 交
2
于 ， 两点(异于 、 )，△ 1 的周长为4√ 3，且直线 与 的斜率之积为 ，则椭圆 的标准方程3
为( )
2 2 2 2 2 2 2
A. + = 1 B. + = 1 C. + 2 = 1 D. + = 1
3 4 3 4 3 3 2
6.直线 ： + 1 = 0被圆 ： 2 + 2 + 6 4 3 = 0截得的最短弦长为( )
A. √ 6 B. 2√ 5 C. 4√ 2 D. 2√ 6
2 2
7.已知双曲线
2
2 = 1( > 0, > 0)的离心率为√ 3， 为坐标原点，右焦点为 ，过点 作一条渐近线的

垂线，垂足为 ，△ 的面积为√ 2，则双曲线的实轴长为( )
A. 4√ 2 B. 4 C. 2√ 2 D. 2
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2 2
8.已知抛物线 2 = 8 的准线与双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的两条渐近线分别交于 、 两点， 为点坐
标原点，若△ 的面积等于8√ 3，则双曲线的离心率为( )
A. 3 B. √ 13 C. 2√ 2 D. 4
2 2
9.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，过 1的直线与 轴相交于 点，与双
曲线 在第一象限的交点为 ，若 1 = 2 , 1 2 = 0，则双曲线 的离心率为( )
3√ 3
A. √ 2 B. √ 3 C. D. √ 3 + 1
2
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
10.已知抛物线 2 = 2 ( > 0)上横坐标为3的点到其焦点的距离为4，则 = ______．
2 2
11.已知双曲线 2 = 1( > 0)的一条渐近线为√ 3 + 2 = 0，则 =______；离心率 =______． 4
12.经过两圆 2 + 2 + 6 4 = 0和 2 + 2 + 6 28 = 0的交点，并且圆心在直线 4 = 0上的圆的
方程______．
2 2 1
13.已知椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)的右焦点为 ，左顶点为 ，点 在椭圆上，且 ⊥ ，若tan∠ = ， 2
2 2
则椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率 为______．
2 1
14.已知椭圆 + 2 = 1上两个不同的点 、 关于直线 = + 对称，则实数 的取值范围为______．
2 2
2 2
15.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，过原点 且斜率为正数的直线 分
别交双曲线的左、右两支于点 ， ，记四边形 1 2 的周长为 ，面积为 .若| 1 2| = 2| |，且 = 4√ 2 ，
则双曲线 的离心率为______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
已知直线2 3 = 0与直线 3 + 1 = 0交于点 ．
(1)求过点 且垂直于直线 + + 2 = 0的直线 1的方程；
(2)求过点 并且在两坐标轴上的截距相等的直线 2的方程．
17.(本小题15分)
已知圆 经过点(0,1)，(0,3)，(2,1)．
(1)求圆 的方程；
(2)若直线 经过原点，并且被圆 截得的弦长为2，求直线 的方程．
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18.(本小题15分)
已知抛物线 ： 2 = 4 ，过点( 1,0)的直线与抛物线 相切，设第一象限的切点为 ．
( )求点 的坐标；
(Ⅱ)若过点(2,0)的直线 与抛物线 相交于两点 ， ，圆 是以线段 为直径的圆过点 ，求直线 的方程．
19.(本小题15分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ， = = 2， 1 = 3， 为 1 1的中点，点 ， 分别在
棱 1和棱 1上，且 = 1， = 2．
(Ⅰ)求证： 1 //平面 ；
(Ⅱ)求平面 1 1与平面 夹角的余弦值；
(Ⅲ)求点 1到平面 的距离．
20.(本小题16分)
2 2 1
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的上顶点与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为 ． 4
(1)求椭圆 的离心率；
1
(2)点 (√ 3, )在椭圆 上，椭圆的左顶点为 ，上顶点为 ，点 的坐标为(1,0)，过点 的直线 与椭圆在第
2
| |
一象限交于点 ，与直线 交于点 ，设 的斜率为 ，若 = 3√ 2sin∠ ，求 的值．
| |
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】2
√ 7
11.【答案】√ 3
2
12.【答案】 2 + 2 + 7 32 = 0
1
13.【答案】
2
√ 6 √ 6
14.【答案】( ∞, ) ∪ ( , +∞)
3 3
√ 6
15.【答案】
2
2 3 = 0
16.【答案】解：(1)由 { ，
3 + 1 = 0
= 2
得 { ，∴交点 (2,1)，
= 1
由题直线 1的斜率 = 1，
则直线 1的方程为 1 = 2，即 1 = 0．
(2)当直线 2过原点时，
1 1
直线 2斜率为 ，此时直线方程为： = ，即 2 = 0， 2 2

当直线 2不过原点时，设直线 2： + = 1，
2 1
代入点 (2,1)得 + = 1，解得 = 3，

此时直线 2方程： + 3 = 0，
综上，直线 2的方程为： 2 = 0或 + 3 = 0．
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17.【答案】解：(1)设圆 的方程为 2 + 2 + + + = 0，
根据题中条件知，
1 + + = 0 = 2
{9 + 3 + = 0 ，解得{ = 4，
5 + 2 + + = 0 = 3
所以圆 的方程为 2 + 2 2 4 + 3 = 0，即( 1)2 + ( 2)2 = 2，
所以圆 的方程为 2 + 2 2 4 + 3 = 0，
即( 1)2 + ( 2)2 = 2；
(2)因为直线 经过原点，
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 = ，即 = 0，
| 2|
则圆心 (1,2)到直线 的距离 = ，
√ 2 +1
又被圆 截得的弦长为2，圆 的半径为√ 2，
则12 + 2 = 2，故 = 1，
| 2|
即 = = 1，
√ 2 +1
3
解得 = ，则方程为3 4 = 0，
4
又当直线 的斜率不存在时，方程为 = 0，
圆心 (1,2)到直线 的距离为1，符合题意，
故所求直线 的方程为3 4 = 0或者 = 0．
18.【答案】解：(Ⅰ)由题意知可设过点( 1,0)的直线方程为 = 1，
= 1
联立{ 2 2 = 4 ，得： 4 + 4 = 0.①
∵直线与抛物线相切，∴△= 16 2 16 = 0，即 = ±1．
∵ 为第一象限的切点，∴ = 1，
则①化为 2 4 + 4 = 0，解得 = 2，此时 = 1，
则点 坐标为(1,2)；
(Ⅱ)设直线 的方程为： = + 2， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= +2
联立{ ，得 2 2 = 4 4 8 = 0，
则△= 16 2 + 32 > 0恒成立，
1 2 = 8， 1 + 2 = 4 ，
2
(
则 = 1 2
)
1 2 = 4， 1 + 2 = ( 1 +
2
16 2
) + 4 = 4 + 4．
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由题意可得： = 0，
即 1 2 ( 1 + 2) + 1 + 1 2 2( 1 + 2) + 4 = 0，
1 3
∴ 4 2 + 8 + 3 = 0，解得： = 或 = ．
2 2
2 4
则直线 的方程为 = 2 + 4或 = + ．
3 3
19.【答案】(Ⅰ)证明：取 的中点 ，连接 ， ，则 // 1// 1，
因为 为 1 1的中点，
1 + 1 1+3所以 = = = 2，
2 2
所以 // 1 且 = 1 ，
所以四边形 1 为平行四边形，
所以 1 // ，
又 1 平面 ， 平面 ，
1 //平面 ．
(Ⅱ) 解：直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ，
以 为原点，以 , , 1的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 (0,2,0)， (0,0,2)， (2,0,1)，
所以 = (0, 2,2), = (2, 2,1)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
则{
= 0 2 + 2 = 0, 1，即{ 令 = 1，得 = ( , 1,1)，
= 0 2 2 + = 0, 2
易知平面 1 1的一个法向量为 = (0,1,0)．
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设平面 1 1与平面 的夹角为 ，
| | 1 2
则 = |cos <
, > | = = =
| || | √ 9 3
，
1
4
2
所以平面 1 1与平面 夹角的余弦值为 ． 3
(Ⅲ) 解：因为 1(2,0,3)， 1 = (0,0, 2)，
| | | 2| 4
所以点 1到平面 的距离 =
1 = =
| | 3 3．
2
2 2
20.【答案】解：(1)设椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的上顶点为 (0, )，
左顶点为 ( , 0)，右顶点为 ( , 0)，
1
因为椭圆的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为 ，
4
1
所以 = ，即4 2 = 2，又 2 = 2 + 2，
4
√ 3
所以4( 2 2) = 2，解得 = ；
2
1
(2)因为点 (√ 3, )在椭圆 上，
2
3 1
所以 2 + 2 = 1，又4
2 = 2，
4
解得 2 = 1， 2 = 4，
2 2
所以椭圆方程为 + = 1， ( 2,0)，
4 1
| | √ 2 √ 2 sin∠
则 =
| |
= ，

sin∠ sin∠
| |
因为 = 3√ 2sin∠ ，
| |
√ 2 sin∠
所以3√ 2sin∠ = ，

又∠ = ∠ ，
3
所以3√ 2( ) = √ 2 ，则 = 4
，
3
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 2 = 1， 4
当 = 0时，则sin∠ = 0，不合题意；
当 ≠ 0时，设直线方程为 = ( + 2)，
与题意方程联立，消去 得：(1 + 4 2) 2 + 16 2 + 16 2 4 = 0
2
16 4
则 2 1 = 2 ，
1+4
第 7 页，共 8 页
2 2
2 8 4 2 8 4
所以 1 = 2 , 1 = 2，则 ( 2 , 2)，
1+4 1+4 1+4 1+4
= + 1 1 2 3
因为 ： = + 1，由{ ，得 ( , )， = ( + 2) 1+ 1+
3 3 3 4
因为 = ，所以 = × ， 4 1+ 4 21+4
化简得 2 = ，因为 ≠ 0，则 = 1．
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