北京市中央民族大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

北京市中央民族大学附属中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试
卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.设集合 = {1,2,3}，集合 = {2,3,4}，则 ∩ =( )
A. {1} B. {1,4} C. {2,3} D. {1,2,3,4}
2.函数 ( ) = 3 5的零点所在的区间是( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
3.命题“ ∈ [ 1,3]， 2 3 + 2 < 0”的否定为( )
A. 0 ∈ [ 1,3],
2
0 3 0 + 2 ≥ 0 B. ∈ [ 1,3]，
2 3 + 2 > 0
C. ∈ [ 1,3]， 2 3 + 2 ≥ 0 D. 20 [ 1,3], 0 3 0 + 2 ≥ 0
4.下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是( )
A. = 2
1
+ 1 B. = C. = √ D. = | |

5.已知 ： 3 < ≤ 1， ： 3 < < 0，则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
1 1
6.已知 > 0， > 0，且 + 2 = 1，则2 + 的最小值为( )

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4
7.函数 = 2 的图象大致为( ) +1
A. B.
C. D.
8.已知 > > 0，则下列不等式一定成立的是( )
1 1
A. > B. < 2 C. 2 < 2 D. 2 >

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2
9.已知函数 ( ) = { + 3, ≤ ，在定义域上是单调函数，则实数 的取值范围为( )
+ 1, >
A. [ 2,0) B. ( ∞, 2] C. (0,2] D. [2, +∞)

10.当 ∈ [0,1]时，若函数 ( ) = ( 1)2的图象与 ( ) = | + |的图象有且只有一个交点，则正实数 的
2
取值范围是( )
5 5
A. [2, +∞) B. (0,2] ∪ [ , +∞) C. [ , +∞) D. (0,1] ∪ [2, +∞)
2 2
二、填空题：本题共 5 小题，共 35 分。
1
11.函数 ( ) = √ + 3 + 的定义域为______．
5
12.已知方程 2 4 + 1 = 0的两根为 1和 2，则
2
1 +
2
2 = ______；| 1 2| = ______．
13.已知 ( + 1) = 2 3 + 2，则 (1) = ______．
1
14.当 < 1时， ( ) = + 的最大值为______.此时 的取值为______．
+1
2 + 4 + 3, ≤ 0
15.设函数 ( ) = { 1 .给出下列四个结论：
, > 0

①函数 ( )的值域是 ；
( 1) ( 2)
② 1， 2 ∈ ( 2, +∞)( 1 ≠ 2)，有 > 0； 1 2
③ 0 > 0，使得 ( 0) = ( 0)；
④若互不相等的实数 1， 2， 3满足 ( 1) = ( 2) = ( 3)，则 1 + 2 + 3的取值范围是( 3, +∞)．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共 6 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
5
已知集合 = { | > 4}，集合 = { | > 0}，集合 = { | ≤ ≤ 2 2}．
1
(1)求 ∩ ( )；
(2)若 ∪ = ，求 的取值范围．
17.(本小题12分)
已知二次函数 ( ) = 2 + + ( ≠ 0)， ( + 1) ( ) = 2 ，且 (0) = 1．
(1)求 的值；
(2)求函数 ( )的解析式；
(3)求函数 ( )在区间[ 1,1]上的值域．
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18.(本小题12分)
已知 ( ) = 2 ( + 1) + ．
(1)若 ( ) > 1恒成立，求实数 的取值范围；
(2)求不等式 ( ) < 0的解集．
19.(本小题12分)
已知函数 ( )是定义在 上的奇函数，且当 ≤ 0时， ( ) = 2 + 2 ．
(1)已知函数 ( )的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数 ( )的解析式和单调递减
区间；
(2)若关于 的方程 ( ) = 有3个不相等的实数根，求实数 的取值范围. (只需写出结论)
(3)写出解不等式 ( ) ≥ 0的解集．
20.(本小题12分)
+
已知函数 ( ) = 2 是定义域为( , 2 1)的奇函数． +1
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)用定义证明 ( )在定义域上是增函数；
(3)求不等式 ( 2) > (1 )的解集．
21.(本小题12分)
已知集合 = { | = 2 , , ∈ }．
(1)分别判断 1、0、1是否属于集合 ；
(2)写出所有满足集合 的不超过15的正偶数；
(3)已知集合 = { | = 2 + 1, ∈ }，证明：“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】[ 3,5) ∪ (5, +∞)
12.【答案】14 2√ 3
13.【答案】2
14.【答案】 3 2
15.【答案】①③④
5
16.【答案】解：(1)集合 = { | > 4}，集合 = { | > 0} = { | < 1或 > 5}，
1
∴ = { |1 ≤ ≤ 5}，
∴ ∩ ( ) = { |4 < ≤ 5}．
(2) ∵集合 = { | ≤ ≤ 2 2}， ∪ = ，
∴ ，
若 = ，则 > 2 2，∴ < 2，
≥ 2
若 ≠ ，则{ ，∴ > 4，
> 4
综上， 的取值范围为{ | < 2或 > 4}．
17.【答案】解：(1)因为 (0) = = 1，所以 = 1．
(2)因为 ( ) = 2 + + 1，
又因为 ( + 1) ( ) = 2 ，所以[ ( + 1)2 + ( + 1) + 1] ( 2 + + 1) = 2 ，
所以2 + + = 2 ，
2 = 2 = 1
所以{ ，所以{ ，
+ = 0 = 1
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即 ( ) = 2 + 1．
1
(3)因为 ( )是开口向上，对称轴为 = 的抛物线．
2
1 1 1 3
因为 ( )在[ 1, )递减，在[ , 1]递增，所以 ( ) = ( ) = ， 2 2 2 4
因为 ( 1) = 3， (1) = 1，
所以 ( ) = ( 1) = 3，
3
所以 ( )在[ 1,1]上的值域为[ , 3]．
4
18.【答案】解：(1) ( ) = 2 ( + 1) + > 1恒成立，则 2 ( + 1) + + 1 > 0对 ∈ 恒成立，
故 = ( 1)2 4( + 1) < 0，化简得 = ( + 1)( 3) < 0，
解得 1 < < 3，
故实数 的取值范围( 1,3)．
(2) ( ) = 2 ( + 1) + < 0，即( )( 1) < 0，
当 > 1时，不等式的解为{ |1 < < }，
当 < 1时，不等式的解为{ | < < 1}，
当 = 1时，不等式的解为 ．
19.【答案】解：(1)因为 ( )是定义在 上的奇函数，其图象关于原点对称，则补充图象如图，
因为当 ≤ 0时， ( ) = 2 + 2 ，
所以当 > 0时， < 0，所以 ( ) = 2 2 ，
因为 ( )是定义在 上的奇函数，所以 ( ) = ( ) = 2 + 2 ，
所以当 > 0 时， ( ) = ( ) = 2 + 2 ，
2
故 ( )
+ 2 , > 0
的解析式为 ( ) = { ，
2 + 2 , ≤ 0
结合图象可知，函数 ( )的单调递减区间为( ∞, 1)和(1, +∞)；
(2)因为 ( ) = 有3个不相等的实数根，等价于 = ( )与 = 的图象有3个交点，
结合(1)中 = ( )的图象可知，当 ∈ ( 1,1)时， = ( )与 = 的图象有3个交点，
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所以 ∈ ( 1,1)；
(3)因为 ( ) ≥ 0，
≥ 0
所以当{ ( ) ≥ 0时，结合图象可得：0 ≤ ≤ 2，
< 0
当{ ( ) ≤ 0时，结合图象可得 2 ≤ < 0，
综上所述，不等式 ( ) ≥ 0的解集为[ 2,2]．
+
20.【答案】解：(1)由题意 + 2 1 = 0， = 1， ( ) = 2 ，又 (0) = = 0， +1

( ) = 2 = ( )满足题意． +1

所以 ( ) = 2 ( ∈ ( 1,1))； +1
( )(1 )
(2)设任意的 1 < 且 ，
1 2 1 2 1 2
2 1 2 ∈ ( 1,1)， ( 1) ( 2) = 2

+1 2
= ，
1 2+1 (
2 2
1+1)( 2+1)
又 1 < 1 < 2 < 1，所以 1 2 < 0，1 1 2 > 0，所以 ( 1) ( 2) < 0， ( 1) < ( 2)，
所以 ( )在定义域( 1,1)上是增函数；
2 > 1
(3)由(2)得{
3 3
2 < 1 ，解得 < < 2.解集为( , 2)．
2 2
1 > 1
21.【答案】(1)解：因为 1 = 02 12，0 = 12 ( 1)2，1 = 12 02，集合 = { | = 2 , , ∈ }．
所以， 1、0、1都属于集合 ．
(2)解：集合 = { | = 2 2 , , ∈ }， 2 2 = ( )( + )，
①当 、 一奇一偶时， + 、 均为奇数，( )( + )为奇数，
②若 、 同奇或同偶时， + 、 均为偶数，( )( + )为4的倍数；
综上，所有满足集合 的偶数为4 ( ∈ )．
因此，满足集合 的不超过15的正偶数有4、8、12．
(3)证明：集合 = { | = 2 + 1, ∈ }，则恒有2 + 1 = ( + 1)2 2，
所以，2 + 1 ∈ ，即一切奇数都属于 ，
又8 ∈ ，而8 ，
所以，“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件．
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