河南省鹤壁高中2023-2024学年高一下学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

河南省鹤壁高中 2023-2024 学年高一下学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 > > 0，下列不等式一定成立的是( )
+2 1 1 1 1 2 +
A. < B. + > + C. > D. >
+2 +2
2.设 = log310， = 2
0.3， = 0.83，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
3.已知 0是函数 ( ) =
+ 2的零点，则( )
A. 0 > 1 B. ln(2 0) = 0 C.
0
0 > 0 D.
2 0 < 0
4.有甲、乙两个袋子，甲袋子中有3个白球，2个黑球；乙袋子中有4个白球，4个黑球.现从甲袋子中任取2个
球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为( )
2 13 1 3
A. B. C. D.
5 25 2 5
5.如图所示，测量队员在山脚 测得山顶 的仰角为 ，沿着倾斜角为 的斜坡向上走200 到达 处，在 处
测得山顶 的仰角为 .若 = 45°， = 34°， = 75°，(参考数据： 34° ≈ 0.56， 41° ≈ 0.66， 34° ≈ 0.83，
41° ≈ 0.75，√ 2 ≈ 1.41，√ 3 ≈ 1.73)，则山的高度约为( )
A. 181.13 B. 179.88 C. 186.12 D. 190.21
2
6.在锐角△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，△ 的面积为 ，若sin( + ) = 2 ，则 +
2
1
的取值范围为( )
3 ( )
2√ 3 2√ 3 4 2√ 3 4 2√ 3 4
A. [ ,+∞) B. [ , ] C. ( , ) D. [ , )
3 3 3 3 3 3 3
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7.如图，在△ 中，已知 = 2， = 5，∠ = 60°， 、 边上的两条中线 ， 相交于点 ，
则∠ 的余弦值为( )
4√ 91 2√ 91 √ 91 4√ 91
A. B. C. D.
91 91 91 91
8.复数 满足| 1| + | + 1| = 4，则| |的取值范围是( )
A. [√ 3, 2] B. [1,2] C. [2,3] D. [1, √ 3]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ( ) = log ( > 0，且 ≠ 1)，则下列结论正确的是( )
A. 当 > 1时， ( )在(0,+∞)上是增函数
B. 不等式 ( ) < 0的解集是(0,1)
C. ( )的图象过定点(1,0)
D. 当 = 2时， ( )的图象与 ( ) = 0.01 的图象有且只有一个公共点
10.如图，在正方体 1 1 1 1中， 为棱 上的动点， ⊥平面 1 ， 为
垂足，下列结论正确的是( )
A. 1 =
B. 三棱锥 1的体积为定值
C. 1 ⊥ 1
D. 1与 所成的角为45°
11.已知函数 ( ) = √ 3 ，则( )
A. ( )的最大值为2

B. 函数 = ( )的图象关于点( , 0)对称
3

C. 直线 = 是函数 = ( )图象的一条对称轴
3

D. 函数 = ( )在区间( , 0)上单调递增
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 ( ) = 4 ( √ 3 ) + 1相邻的两个零点分别为 1， 2( 1 < 2)，则cos( 1 2) = ______．
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13.在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为锐角， = 1 ，△ 的面积为2，
则△ 的周长的最小值为______．
14.已知四棱锥 的侧棱长都相等，且底面是边长为3√ 2的正方形，它的五个顶点都在直径为10的
球面上，则四棱锥 的体积为________．
四、解答题：本题共 4 小题，共 62 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
对于函数 = 3 + 2 + ( 1) + ( 1)( ≠ 0)，若存在 ∈ ，使得 30 0 +
2
0 + ( 1) 0 + (
1) = 成立，则称 30 0为函数 = +
2 + ( 1) + ( 1)( ≠ 0)的“囧点”．
(1)当 = 2， = 3， = 2时，求函数 = 3 + 2 + ( 1) + ( 1)( ≠ 0)的“囧点”；
(2)当 = 0时，对任意实数 ，函数 = 3 + 2 + ( 1) + ( 1)( ≠ 0)恒有“囧点”，求 的取值
范围．
16.(本小题15分)
如图所示，△ 的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的 、 、 点
2
上.岛屿 到补给站 的距离为岛屿 到 的 ，岛屿 和岛屿 到补给站 的距离相等，补给站 在靠近岛屿 的
5
的三等分点上.设 = , = ．
(1)用 , 表示 , ；
4 3
(2)若三个岛屿围成的△ 的面积为10(√ 2 + 1)平方公里，且满足 + = 1，求岛屿 和岛屿 之

间距离的最小值．
17.(本小题17分)
如图，在棱长为2的正方体 1 1 1 1中，为 梭 1的中点， 为梭 1 1的中点，平面 1 与平
面 1 将该正方体截成三个多面体，其中 ， 分别在棱 ， 1上.
(1)求证：平面 1//平面 1 ；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值．
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18.(本小题17分)
2 已知函数 ( ) = 2√ 3sin cos 2 + 1， > 0， ∈ ，在曲线 = ( )与直线 = 2的交点中，
2 2 2
若相邻交点的距离为 ．
(1)求函数 ( )的解析式；

(2)若 ∈ [ , ]，解不等式 ( ) ≥ √ 3；
3

(3)若 ∈ [ , ]，且关于 的方程 2( ) ( + 1) ( ) + = 0有三个不等的实根，求实数 的取值范围．
3
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
3
12.【答案】±
4
13.【答案】4 + 2√ 2
14.【答案】6或54
15.【答案】解：(1)当 = 2， = 3， = 2时， = 2 3 3 2 + + 1，
由“囧点”的定义可得：2 3 3 2 + + 1 = ，即2 3 3 2 +1 = 0 3 2( 1) ( 3 1) = 0，即(
1)2(2 + 1) = 0，
1
解得 1 = 1， 2 = ， 2
所以当 = 2， = 3， = 2时，函数 = 3 + 2 + ( 1) + ( 1)( ≠ 0)的“囧点” 1 = 1， 2 =
1
；
2
(2)当 = 0时， = 2 + ( 1) + ( 1)( ≠ 0)，
所以 2 + ( 1) + ( 1) = 有解，即 2 + ( 2) + ( 1) = 0，对任意实数 有解．
所以 = ( 2)2 4 ( 1) ≥ 0，即 2 4( + 1) + 4 + 4 ≥ 0，对任意实数 成立．
又因为 是任意实数，所以[4( + 1)]2 16( + 1) ≤ 0，即16 ( + 1) ≤ 0，
解得 1 ≤ ≤ 0，又 ≠ 0．
故 ∈ [ 1,0)．
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2 2
16.【答案】解：(1)岛屿 到补给站 的距离为岛屿 到 的 = ，
5 5
又点 为 中点，且
1
= ， = , = ，
3
则 =
1
+ =
1
+
1 1
= ，
2 3 3 2
故 = +
2 2 = + = + (
2 3 2 3
) = + = + ．
5 5 5 5 5 5
4 3
(2)由 + = 1 4 + 3 = 3 + 3 =

，
3
整理得3 ( + ) = ( )，即3 = ( ) > 0 < < < 2 +
4 4
9
< ，①
4 4
2
( )
设 = ， = ，由正弦定理知3 = ( ) = ，
3
2 2
( ) (sin2 ) 2
故 △ = = = (1 2 2 ) = 10(√ 2 + 1)， 6 6 12
120(√ 2+1) 120(√ 2+1)
所以 2 = = ，
1 2 2 1 √ 2sin(2 + )
4
5
由①得 = 时， 2取得最小值120，即 的最小值为2√ 30，
8
所以岛屿 和岛屿 之间距离的最小值为2√ 30公里．
17.【答案】(1)证明：由平面 1 与平面 1 将该正方体截成三个多面体，
可得平面 1 //平面 1 ；
(2)解：由(1)可得 // 1 ，
可得 1 与 所成的角等于异面直线 与 所成的角，
则∠ 1 或补角为所求的角，
由点 为 1的中点，可得 为 1的中点，
连接 1 ， 1 1，
由正方体 1 1 1 1中的棱长为2，
可得 1 = 2√ 2， = √ 22 +12 = √ 5， 1 = √ 1
2 2
1 + 1 = √ 8 + 1 = 3，
1
2+ 2
在△ 中，由余弦定理可得 1 8+5 9 √ 101 cos∠ 1 = = = ． 2 1 2×2√ 2×√ 5 10
所以异面直线 与 所成角的余弦值为√ 10．
10
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18.【答案】解：(1) ( ) = 2√ 3sin cos 2 2 +1， 2 2 2

= √ 3 = 2 ( )
6 ，
由题意可得， = ，

故 = 2， ( ) = 2 (2 )6 ；

(2)由不等式 ( ) = 2 (2 ) ≥ √ 36 可得，
√ 3
sin(2 ) ≥ ，
6 2
4
解得 +2 ≤ 2 ≤ + 2 ， ∈ ，
3 6 3
3
所以 + ≤ ≤ + ， ∈ ，
12 4

因为 ∈ [ , ]3 ，
3 11
所以 ≤ ≤ 或 ≤ ≤ ，
3 4 12
3 11
故 的范围为{ | ≤ ≤ 或 ≤ ≤ }；
3 4 12
(3)关于 的方程 2( ) ( + 1) ( ) + = 0有三个不等的实根，
则 ( ) = 1或 ( ) = 有三个不等实根，

因为 ∈ [ , ]3 ，
结合函数图象可知， ( ) = 1有一个根，
故 ( ) = 有两个不等实数根，
所以 2 < ≤ 1，
故 的范围为( 2, 1]．
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