河北省衡水中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（一）（PDF版，含答案）

河北省衡水中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷（一）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = {1,2,3,4,5}， = {3,4,5}，则 =( )
A. {1,2,3,4,5} B. {1,2} C. {3,4,5} D.
2.不等式 2 3 4 < 0的解集是( )
A. { | 4 < < 1} B. { | < 1或 > 4}
C. { | < 4或 > 1} D. { | 1 < < 4}
3.命题“ ≤ 0， 2 3 1 ≤ 0”的否定是( )
A. ≤ 0， 2 3 1 ≤ 0 B. > 0， 2 3 1 ≤ 0
C. ≤ 0， 2 3 1 > 0 D. > 0， 2 3 1 > 0
4.已知幂函数 ( ) = (2 2 5 2) 是定义域上的奇函数，则 =( )
1 1 1
A. B. 或3 C. D. 3
2 2 2
5.如果函数 = 2 + (2 + 1) + 2在区间( ∞,3)上单调递增，那么实数 的取值范围是( )
5
A. ( ∞, 3] B. [ , +∞) C. ( ∞, 7] D. [5,+∞)
2
6.已知函数 ( )为 上的奇函数，当 ≤ 0时， ( ) = 3 2 + ，则当 > 0时， ( )的解析式为( )
A. ( ) = 3 2 + B. ( ) = 3 2 C. ( ) = 3 2 D. 以上都不对
(3 1) + 4 ( > 1)
7.已知函数 ( ) = { 2 ，满足对任意的实数 1， 2且 1 ≠ 2，都有[ ( 1) + 2( 1) 3 ( ≤ 1)
( 2)]( 1 2) < 0，则实数 的取值范围为( )
1 1 1
A. ( , +∞) B. [ , +∞) C. ( ∞, 0] D. [0, )
3 3 3
2 2 + 1, ≥ 0
8.设 ( ) = { 1 ，若 (0)是 ( )的最小值，则 的取值范围为( )
, < 0

A. [ 1,0] B. [ 1,+∞) C. [ 2, 1] D. ( ∞,0]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组函数表示同一函数的是( )
2
| | 1
A. = 2 与 = 1 B. = 2与 =
2 1
C. = √ ( 1)2与 = 1 D. = 与 = + 1( ≠ 1)
1
10.若“ < 或 > + 2”是“ 1 < < 4”的必要不充分条件，则实数 的值可以是( )
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A. 5 B. 3 C. 3 D. 5
11.已知两个正数 ， ，满足 + 2 = 2，则( )
1 2 1
A. 的最大值为 B. + 的最小值3
2
1 1 21
C. 2 + 4 2的最小值为2 D. ( 2 + )(4 2 + )的最小值为
5 5 25
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12.函数 ( ) = √ 2 2 + 8 + 的定义域为______．
+1
13.已知关于 的不等式 2 4 > 0的解集为{ | < 1或 > 3}，则不等式 2 4 ≤ 0的解集为
______．
+ 1, >
14.已知 ( ) = {√ ，若对于任意实数 ，均存在 0，使得 ( 0) = ，则实数 的取值范围是______． 2 1, ≤
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知 ∈ ，集合 = { |3 2 ≤ ≤ }， = { | 4 ≤ ≤ 4}．
(1)若 = 1，求( ) ∩ ；
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)
时代在发展，科技在进步，越来越多的人开始给孩子买无人机当礼物.某电子厂于2019年引进新无人机生产
线，经分析，需要投入固定成本400万元.每生产 (万架)无人机，需另投入成本 ( )万元，且 ( ) =
2 + 220 , 0 < ≤ 40
{ 4900 .由市场调研知，每架无人机售价300元，且生产的无人机当年能全部销售完．
301 + 1100, > 40

(1)求出2019年销售利润 (万元)关于年产量 (万架)的函数关系式；(销售利润=销售总价 固定成本 生产
成本)
(2)当产量为多少万架时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
17.(本小题15分)
函数 ( ) = √ ( 2 6) 2 + ( + 2) + 8．
(1)若 ( )的定义域为[ 1,2]，求实数 的值；
(2)若 ( )的定义域为 ，求实数 的取值范围．
18.(本小题17分)
幂函数 ( ) = ( 2 5 + 7) 1为偶函数， ( ) = ( ) 1．
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(1)求函数 ( )的解析式；
(2)若 ( ) ≥ ( 1)对于 ∈ [0,2]恒成立，求 的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数 ( ) = 2 2 + ( 1) 在[1,3]的最小值为 ( )．
(1)求 ( )的解析式；
(2)若 ( + 1) > (2 3)，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】{ | 4 ≤ ≤ 2且 ≠ 1}
13.【答案】( 4,1)
5
14.【答案】{ | ≥ }
4
15.【答案】解：(1) ∈ ，集合 = { |3 2 ≤ ≤ }， = { | 4 ≤ ≤ 4}，
当 = 1时， = { | 5 ≤ ≤ 1}，
∴ = { | < 5且 > 1}，
∴ ( ) ∩ = { | 1 < ≤ 4}．
(2) ∵“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，
∴ ，
当 为空集时，则3 2 > ，解得 > 1，
3 2 ≤ 3 2 ≤
2
当 不为空集时，则{3 2 > 4或{3 2 ≥ 4，解得 ≤ ≤ 1，
3
≤ 4 < 4
2
综上，实数 的取值范围为{ | ≥ }.
3
2 + 220 , 0 < ≤ 40
16【. 答案】解：(1)每生产 (万架)无人机，需另投入成本 ( )万元，且 ( ) = { 4900 ，
301 + 1100, > 40

由市场调研知，每架无人机售价300元，且生产的无人机当年能全部销售完，
由题意可知 = 300 ( ) 400，
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当0 < ≤ 40时， = 300 2 220 400 = 2 + 80 400，
4900 4900
当 > 40时， = 300 301 + 1100 400 = + 700，

2 + 80 400,0 < ≤ 40
所以 = { 4900 ；
+ 700, > 40

(2)当0 < ≤ 40时， = 2 + 80 400 = ( 40)2 + 1400，
显然当 = 40时，利润 取得最大值 = 1400，
4900
当 > 40时， = + 700 ≤ 2 × 70 + 700 = 560，

4900
当且仅当 = ，即 = 70时，等号成立，

综上所述，当产量为40万架时，企业所获利润最大，最大利润为1400．
17.【答案】解：(1)由于 ( )的定义域需要满足( 2 6) 2 + ( + 2) + 8 ≥ 0，
结合 ( )的定义域为[ 1,2]，可知 = 1和 = 2是方程( 2 6) 2 + ( + 2) + 8 = 0的两个不相等
实数根，
2 6 ≠ 0
+2
因此 1+ 2 = 2 6，
8
{ 1 × 2 = 2 6
解得 = 2；
(2) ( )的定义域为 ，则( 2 6) 2 + ( + 2) + 8 ≥ 0对任意的 ∈ 均成立，
当 = 2时， 2 6 = 0，此时不等式为8 ≥ 0，则解是全体实数，符合，
当 = 3时， 2 6 = 0，此时不等式为5 + 8 ≥ 0，则解不是全体实数，不符合，舍去，
当 ≠ 3且 ≠ 2，此时 2 6 ≠ 0，不等式( 2 6) 2 + ( + 2) + 8 ≥ 0为一元二次不等式，
2 6 > 0
要使解集为全体实数，则{ ，
= ( + 2)2 32( 2 6) ≤ 0
98
解得 ≥ 或 < 2，
31
98 98
综上可得 ≥ 或 ≤ 2，即 的取值范围是( ∞, 2] ∪ [ ,+∞)．
31 31
18.【答案】解：(1)由于 ( ) = ( 2 5 + 7) 1为幂函数且为偶函数，
因此 2 5 + 7 = 1，所以 = 3或 = 2，
当 = 2时， ( ) = 1，定义域为 ， ( ) = ( )1 = 1 = ( )，
所以 ( )为奇函数，舍去；
当 = 3时， ( ) = 2，定义域为 ， ( ) = ( )2 = 2 = ( )，
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所以 ( )为偶函数，符合条件．
综上，函数 ( ) = 2．
(2)由于函数 ( ) = ( ) 1 = 2 1，
因此函数 ( ) ≥ ( 1)对于 ∈ [0,2]恒成立，所以 ( 2 + 1) ≥ + 1对于 ∈ [0,2]恒成立，
2 1 3 3所以 + 1 = ( )2 + ≥ ，
2 4 4
+1 +1
等价于 ≥ 对于 ∈ [0,2]恒成立，因此 ≥ ( ) ，
2 +1 2 +1
+1 1
设 + 1 = ， ∈ [1,3]， 2 = = = ， +1 2 2 3( 1) ( 1)+1 3 +3 3+

3 3 3
由于 + ≥ 2√ × = 2√ 3，当且仅当 = ，即 = √ 3时等号成立，

3 1 1 2√ 3+3
所以 + 3 ≥ 2√ 3 3, 3 ≤ = ． + 3 2√ 3 3 3

+1 2√ 3+3 2√ 3+3
因此( 2 ) = ，因此 ∈ [ ,+∞)． +1 3 3
19.【答案】解：已知函数 ( ) = 2 2 + ( 1) 在[1,3]的最小值为 ( )
1
(1)函数 ( ) = 2 2 + ( 1) ，对称轴为 = ，
4
1 1
①当1 < < 3即 11 < < 3时，函数 ( )在[1, ]上单调递减，
4 4
1 1 2 6 1
在[ , 3]上单调递增，所以 ( ) = ( ) = ， 4 4 8
2 6 1
即 ( ) = ；
8
1
②当 ≤ 1即 ≥ 3时，函数 ( )在[1,3]上单调递增，
4
所以 ( ) = (1) = 2 + 1 = 1，即 ( ) = 1；
1
③当 ≥ 3即 ≤ 11时，函数 ( )在[1,3]上单调递减，
4
所以 ( ) = (3) = 2 + 15，即 ( ) = 2 + 15，
2 + 15, ≤ 11
2
故 ( ) = { 6 1 , 11 < < 3．
8
1, ≥ 3
(2)由(1)知，当 ≤ 11时， ( ) = 2 + 15，函数 ( )单调递增，
2 6 1
当 11 < < 3时， ( ) = ，对称轴为 = 3，函数 ( )在[ 11, 3]上单调递增，
8
当 ≥ 3时， ( ) = 1，所以函数( ∞, 3]在 上单调递增．
由 ( + 1) > (2 3)，
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+ 1 < 3 + 1 ≥ 3
得{ 或{ ，
+ 1 > 2 3 2 3 < 3
解得 < 4或 4 ≤ < 0
故实数 的取值范围为( ∞, 0)．
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