内蒙古呼和浩特第二中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（含答案）

内蒙古呼和浩特第二中学 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2 2
1.已知椭圆 ： + = 1，则椭圆 的焦距为( )
25 9
A. 5 B. 10 C. 4 D. 8
2.无论 为何值，直线( + 2) + (1 ) 2 4 = 0都过一个定点，则该定点为( )
A. ( 2,0) B. (0,2) C. (2,0) D. (0, 2)
3.已知△ 的周长为20，且顶点 (0, 4)， (0,4)，则顶点 的轨迹方程是( )
2 2 2 2
A. + = 1( ≠ 0) B. + = 1( ≠ 0)
36 20 20 36
2 2 2 2
C. + = 1( ≠ 0) D. + = 1( ≠ 0)
6 20 20 6
4.方程 2 + 2 + 2 + 2 2 + 3 = 0表示的图形是半径为 ( > 0)的圆，则该圆圆心位于 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
1
5.已知直三棱柱 1 1 1，∠ = 90°， = = 1，那么异面直线 1 与 2 1 所成角的余弦值
为( )
√ 30 1 √ 15 √ 10
A. B. C. D.
10 2 5 10
6.如图，在正方体 1 1 1 1中， = 1， ， 分别是棱 ， 1的中
点，则点 1到直线 的距离为( )
√ 2
A.
4
√ 174
B.
12
C. 1
2
D.
3
2 2
7.设 是椭圆 ： + = 1上的上顶点，点 在 上，则| |的最大值为( )
9 4
9√ 5
A. B. √ 15 C. √ 13 D. 4
5
2 2
8.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2， (0, )，若经过 1的弦 满足| | = | 2|，
则椭圆 的离心率是( )
第 1 页，共 9 页
√ 3 √ 3 √ 6 √ 6
A. B. C. D.
3 4 3 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.直线 + 1 = 0上与点 ( 2,3)的距离等于√ 2的点的坐标是( )
A. ( 4,5) B. ( 3,4) C. ( 1,2) D. (0,1)
2 2
10.如图所示，已知椭圆方程为 2 + 2 = 1( > > 0)， 1、 2为左右焦
点，下列命题正确的是( )

A. 为椭圆上一点，线段 中点为 ，则 1
+2
1 为定值
B. 直线 = 与椭圆交于 ， 两点， 是椭圆上异与 ， 的点，且 、
2 均存在，则 = 1
2 √ 3
C. 若椭圆上存在一点 使∠ 1 2 = ，则椭圆离心率的取值范围是[ , 1) 3 2
D. 四边形 为椭圆内接矩形，则其面积最大值为2
11.已知 (4,2)， (4,0)，点 为圆 ： 2 + 2 = 4上一动点，过点 作圆 的切线，切点分别为 、 ，下列
说法正确的是( )
A. 若圆 ：( 2)2 + ( 3)2 = 1，则圆 与圆 有四条公切线
B. 若 ， 满足 2 + 2 = 4，则 4 ≤ √ 3 + ≤ 4
C. 直线 的方程为2 + 1 = 0
1
D. + 的最小值为√ 13
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在四面体 中，空间的一点 满足 = + 2 4 ，若 ， ， ， 四点共面，则 =
______．
13.在空间直角坐标系中， ( 0) + ( 0) + ( 0) = 0表示经过点( 0, 0, 0)，且法向量为( , , )
的平面的方程，则点 (1,1,3)到平面( 1) 2( + 1) + 2( 2) = 0的距离为______．
14.圆形是古代人最早从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的.一直到两千多年前我国的墨子(约公元前
468 前376年)才给圆下了一个定义：圆，一中同长也.意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.现
在以点(3,2)为圆心，2为半径的圆上取任意一点 ( , )，若|3 + 4 + | + |6 3 4 |的取值与 、 无关，
则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第 2 页，共 9 页
15.(本小题12分)
已知圆 1的圆心为坐标原点，且与直线3 + 4 10 = 0相切．
(1)求圆 1的标准方程；
(2)若直线 过点 (1,2)，直线 被圆 1所截得的弦长为2√ 3，求直线 的方程．
16.(本小题12分)
如图所示，在几何体 中，四边形 和 均为边长为2的正方形， // ， ⊥底面 ，
、 分别为 、 的中点， = 1．
(1)求证： //平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
17.(本小题12分)
已知在△ 中，点 ( 1,0)，角 的平分线所在直线的方程为 = + 2， 边上的高所在直线的方程为 +
2 7 = 0．
(1)求点 的坐标及直线 的方程；
(2)求点 的坐标．
18.(本小题12分)
2 2
已知 (0, √ 2)和 (√ 2, 1)为椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)上的两点．
(1)求椭圆 的离心率；
(2)设直线 ： = + 1与椭圆 交于 、 两点，求 △ 的取值范围．
19.(本小题12分)
刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2 与
多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体

每个顶点均有3个面角，每个面角均为 ，故其各个顶点的曲率均为2 3 × = .如图，在直三棱柱
3 3
2
1 1 1中，点 的曲率为 ， ， 分别为 ， 1的中点，且 = ． 3
(1)证明： ⊥平面 1 1；
第 3 页，共 9 页
(2)若 1 = √ 2 ，求二面角 1 1的余弦值；
(3)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面
体的顶点数为 ，棱数为 ，面数为 ，则有： + = 2.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率(多
面体有顶点的曲率之和)是常数．
第 4 页，共 9 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】3
2
13.【答案】
3
14.【答案】( ∞, 27]
| 10|
15.【答案】解：(1) ∵原点 到直线3 + 4 10 = 0的距离为 = 2，
√ 32+42
∴圆 1的标准方程为
2 + 2 = 4；
(2)当直线 的斜率不存在时，直线方程为 = 1，代入 2 + 2 = 4，
得 = ±√ 3，即直线 被圆 1所截得的弦长为2√ 3，符合题意；
当直线 的斜率存在时，设直线方程为 2 = ( 1)，即 + 2 = 0．
∵直线 被圆 1所截得的弦长为2√ 3，圆的半径为2，
| +2| 3
则圆心到直线 的距离 = √ 22 (√ 3)2 = 1 = ，解得 = ．
2 4√ +1
3 3
∴直线 的方程为 + 2 = 0，即3 4 + 5 = 0．
4 4
综上，直线 的方程为 = 1或3 4 + 5 = 0．
16.【答案】解：(1)证明：因为四边形 为正方形， ⊥底面 ，所以 ， ， 两两相互垂直，
如图，以 为原点，分别以 ， ， 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系 ，
第 5 页，共 9 页
由题意可得 (0,0,0)， (2,0,0)， (2,2,0)， (0,2,0)， (0,0,2)， (2,0,2)，
3
(0,1,2)， (0, , 1)， (1,0,2)，
2
3
所以 = (0, 2,2)， = ( 2, 1,2)， = (1, , 1)，
2
设平面 的一个法向量 1 = ( 1, 1, 1)，则 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，
1 = 0 2 故{ ，即{ 1
+ 2 1 = 0 ，令 1 = 2，得 2 + 2 = 0 1
= (1,2,2)，
1 = 0 1 1 1
所以
3 3
1 = (1,2,2) (1, , 1) = 1 × 1 + 2 × ( ) + 2 × 1 = 0， 2 2
所以 ⊥ 1 ，又 平面 ，所以 //平面 ．
(2)由(1)得，直线 的一个方向向量为 = (1,0,2)，平面 的一个法向量为 1 = (1,2,2)，
设直线 与平面 所成角为 ，
| 1
| |1×1+0×2+2×2| 5 √ 5
则 = |cos 1 , | = = = =| 1 | | | 3√ 5 3 ， √ 12+22√ 12+22+22
所以直线 与平面 所成角的正弦值为√ 5．
3
17.【答案】解：在△ 中，点 ( 1,0)，角 的平分线所在直线的方程为 = + 2， 边上的高所在直
线的方程为 + 2 7 = 0．
= + 2
(1)设 ( , )，联立方程组{ ，解得 = 1， = 3，所以点 的坐标为(1,3)，
+ 2 7 = 0
1
由题可得直线 的斜率为 = 1 = 2，

2
所以 的直线方程为 0 = 2( + 1)，即2 + 2 = 0．
(2)设 ( 1,0)关于直线 = + 2的对称点为 ′( 1, 1)，
1 0 × 1 = 1
+1
可得{ 1 ，解得 = 2， = 1，所以 ′( 2,1)，
1+0 1 1= + 2
2 2
因为角 的平分线所在直线的方程为 = + 2，可得点 ′( 2,1)在直线 上，
第 6 页，共 9 页
3 1 2 2
可得 = = ，所以 的直线方程为 3 = ( 1)，即2 3 + 7 = 0， 1 ( 2) 3 3
2 3 + 7 = 0 1 5 1 5
联立方程组{ ，解得 = , = ，所以点 的坐标为( , )．
2 + 2 = 0 4 2 4 2
2
2 = 1 2
18.【答案】解：(1)依题意有{ ，解得{ = 42 ， 2 1
2 + 2 = 1
= 2

所以 2 = 2 2 = 4 2 = 2，所以 = 2， = √ 2， = √ 2，
√ 2
所以椭圆离心率 = = ．
2
2 2
(2)由(1)有椭圆标准方程为 + = 1，
4 2
= + 1
联立{ 2 2 ，消去 得(1 + 2
2) 2 + 4 2 = 0，
+ = 1
4 2
= 16 2 + 8(1 + 2 2) = 32 2 + 8 > 0，
4 2
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2，
1+2 1+2
则| | = √ 1 + 2 √ ( 1 + )
2
2 4 1 2
2 4 8= √ 1 + √ ( 2)
2 2
1+2 1+2
√ 2 32 +8
= √ 1 + 2 2 ，
1+2
1
点 到直线 的距离 = ，
√ 2 +1
2
1 1 √ 32 +8
2
1 4 +1
所以 △ = | | = √ 1 + 2 = √ 2 √ ， 2 2 2 2 21+2 √ 2 (1+2 ) +1
令4 2 + 1 = ，则 ≥ 1，
1
则 △ = 2√ 2 √ 2 = 2√ 2 √ 1 ，
( +1) + +2

1
因为函数 = + 在[1,+∞)上单调递增，

1 1 1
所以 + + 2 ≥ 4，所以0 < 1 ≤ ， + +2 4

所以0 < △ ≤ √ 2，即 △ 的取值范围为(0, √ 2]．
19.【答案】解：(1)证明：因为在直三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ， ，
平面 ，
所以 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，
第 7 页，共 9 页
2
所以点 的曲率为2 2 × ∠ = ，得∠ = ，
2 3 3
因为 = ，所以△ 为等边三角形，
因为 为 的中点，
所以 ⊥ ，因为 1 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 1 ⊥ ，
因为 1 ∩ = ， 1， 平面 1 1，
所以 ⊥平面 1 1；
(2)取 1 1的中点 ，连接 1 ， ，
因为△ 1 1 1为等边三角形，所以 1 ⊥ 1 1，
因为三棱柱 1 1 1为直三棱柱，
所以平面 1 1 ⊥平面 1 1 1，
因为平面 1 1 ∩平面 1 1 1 = 1 1， 1 平面 1 1 1，
所以 1 ⊥平面 1 1 ，
因为 ， 平面 1 1 ，所以 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，
设 = √ 2，则 1 = 2， = 1 = √ 3， 1 = √ 6，
所以 2 + 1
2 = 21，
所以 ⊥ 1 ，
因为 1 ∩ 1 = 1， 1 ， 1 平面 1 ，
所以 ⊥平面 1 ，
因为 平面 1 ，
所以 ⊥ ，
所以∠ 1为二面角 1 1的平面角，
因为 √ 2 √ 6 = √ ( )2 + 12 = ， 1 = √ 3，
2 2
√ 2
所以在 △ 1中cos∠ 1 = = ； 1 2
所以二面角 1 1的余弦值为
√ 2；
2
(3)证明：设多面体有 个面，给组成多面体的多边形编号，分别为1，2，…， 号，
设第 号(1 ≤ ≤ )多边形有 条边，
+ + +
则多面体共有 = 1 2 条棱，
2
第 8 页，共 9 页
+ + +
由题意，多面体共有 = 2 + = 2 + 1 2 个顶点，
2
号多边形的内角之和为 2 ，
所以所有多边形的内角之和为 ( 1 + 2 + + ) 2 ，
所以多面体的总曲率为2 [ ( 1 + 2 + + ) 2 ]
1+ + + = 2 (2 + 2 ) [ ( 1 + 2 + + ) 2 ] 2
= 4 ．
所以简单多面体的总曲率为4 ．
第 9 页，共 9 页