广东省江门市广东省实验中学附属江门学校2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

广东省实验中学附属江门学校 2024-2025 学年高一上学期期中数学试
卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { ∈ | < 3}， = {1,2,4}，则 ∩ =( )
A. {1,2} B. {1,2,3} C. D. {0,1,2,4}
2.命题“ ∈ ， 3 + 1 ≤ 0”的否定为( )
A. ， 3 + 1 > 0 B. ∈ ， 3 + 1 ≤ 0
C. ∈ ， 3 + 1 > 0 D. ∈ ， 3 + 1 > 0
3.“1 ≤ ≤ 5”是“ 2 7 + 10 ≤ 0”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.下列各组函数中，是同一函数的是( )
A. ( ) = 0与 ( ) = 1
3
B. ( ) = | |与 ( ) = √ 3
2 4
C. ( ) = 与 ( ) = 2
+2
D. ( ) = + 1， ∈ (0,1)与 ( ) = | | + 1， ∈ (0,1)
5.已知函数 ( ) = (3 2 2 ) 是幂函数，若 ( )为增函数，则 等于( )
1 1
A. B. 1 C. 1 D. 或1
3 3
6.若二次函数 ( ) = 2 2( 1) + 1在区间(1,3)上单调递增，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 2] B. [2,4] C. [2, +∞) D. [4, +∞)
7.函数 ( )满足 (2 3) = 4 7，若 ( ) = 3，则实数 的值为( )
A. 0 B. 1 C. 4 D. 1
8.已知 ( )是定义在[2 ,1 ]上的偶函数，且在[2 ,0]上为增函数，则 ( 1) ≥ (2 )的解集为( )
2 1 1
A. [ 1, ] B. [ 1, ] C. [ 1,1] D. [ , 1] ∪ {1}
3 3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列等式中，正确的是( )
3 6
A. √( 3)3 = 3 B. √( 5)12 = 25
C. √ ( 4)2 = 4 D. 3 4 = 7
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10.下列说法正确的是( )
A. 命题“ ∈ ， 20 0 ≤ 2”的否定是“ ∈ ，
2 > 2”
B. 存在 0 ∈ ，使得2
2
0 + 0 + 1 = 0是真命题
1
C. 若命题“ 0 ∈ ，4
2
0 + 2 0 + = 0”为假命题，则实数 的取值范围是( , +∞) 4
D. 已知集合 = {0,1,3,4}，则满足条件 ∪ = 的集合 的个数为15
11.下列命题中正确的是( )

A. 函数 ( ) = | + |( , ∈ )， ( )是偶函数

+ ( )+ ( )
B. 若函数 ( ) = 2 + + ，则 ( 1 2) ≤ 1 2
2 2
1
C. 如果函数 = + 在[ , ]上单调递增，那么它在[ , ]上单调递减

D. 若函数 ( )的定义域是[ 2,2]，则函数 ( + 1)的定义域为[ 3,1]
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 = ( )是 上的奇函数，则 (0) = ______．
4
13.若 > 1，则 + 的最小值为 ．
+1
( 2) , ≤ 1
14.已知函数 ( ) = { 是减函数，则实数 的取值范围是______．
+1 5, > 1
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
化简或求值：
3 9 1
(1)4 2 + ( )2 (√ 3 1)0 +
3√( 3)3；
4
1 1 2 1 1 1 5
(2)(2 2 3)( 3 2) ÷ ( 6 6)．
3
16.(本小题15分)
已知集合 = { || | ≤ 2}，集合 = { |3 < < }．
(1)当 = 5时，求 ∪ ，( ) ∩ ；
(2)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
17.(本小题15分)
最近南京某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊
和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作.某工厂针对市场需求开
始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为50万元，每生产 万件，需另外投入成本
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1
2 + 30 , 0 < < 50
( )(万元)， ( ) = {2 ，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具
8100
51 + 400, ≥ 50

能全部销售完．
(1)写出年利润 (万元)关于年产量 (万件)的函数解析式；
(2)年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大？
18.(本小题17分)

已知函数 ( ) = ．
2+1
(1)写出函数 ( )的定义域，判断并证明函数 ( )的奇偶性；
(2)用单调性定义证明函数 ( )在( 1,1)上单调递增；
(3)若 ( )定义域为( 1,1)，解不等式 (2 1) + ( ) < 0．
19.(本小题17分)
我们知道，函数 = ( )的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数 = ( )为奇函数，有同学发现
可以将其推广为：函数 = ( )的图象关于点 ( , )成中心对称的充要条件是函数 = ( + ) 为奇函
数．
(1)若 ( ) = ( + 1)3 3 2．
①求此函数图象的对称中心；
②求 (2022) + (2023) + ( 2024) + ( 2025)的值；
(2)类比上述推广结论，写出“函数 = ( )的图象关于 轴成轴对称的充要条件是函数 = ( )为偶函数”
的一个推广结论(写出结论即可，不需证明)．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】0
13.【答案】3
14.【答案】[ 2, 1)
3 9 1
15.【答案】解：(1)4 2 + ( )2 (√ 3 1)0 +
3√( 3)3
4
3 1
= 4
9
2 + ( ) ( 3 1)0 + 32 √ √( 3)3
4
3 1
= (22)
3
2 + [( )2]2 1 3
2
3
= 2 3 + 4
2
19
= ；
8
1 1 2 1 1 1 5
(2)(2 2 3)( 3 2) ÷ ( 6 6)
3
1 2 1 1 1 5
+ + +
= 6 2 3 6 3 2 6
5
= 6 3．
16.【答案】解：(1)由题， = { | 2 ≤ ≤ 2}，
当 = 5时， = { | 2 < < 5}，所以 ∪ = { | 2 ≤ < 5}，
因为 = ( ∞, 2) ∪ (2, +∞)，所以( ) ∩ = (2,5)．
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(2)因为 ∩ = ，所以 ，又因为 = { | 2 ≤ ≤ 2}， = { |3 < < }，
{3 < 2所以 ，解得 > 5，所以实数 的取值范围是(5, +∞)
> 2
17.【答案】解：(1)当0 < < 50时，
1
( ) = 50 ( ) 50 = 2 + 20 50，
2
当 ≥ 50时，
8100
( ) = 50 ( ) 50 = 350 ( + )，

1
2 + 20 50,0 < < 50
则 ( ) = { 2 ；
8100
350 ( + ), ≥ 50

(2)当0 < < 50时，
1 1
( ) = 2 + 20 50 = ( 20)2 + 150，
2 2
当 = 20时， ( )取最大值150，
当 ≥ 50时，
8100 8100
( ) = 350 ( + ) ≤ 350 2√ × = 170，

8100
当且仅当 = ，即 = 90时取等号，

即 = 90时， ( )取最大值170，
又170 > 150，
即年产量为90万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大．

18.【答案】(1)解：因为函数 ( ) = ，
2+1
则函数 ( )的定义域为 ，
函数 ( )为奇函数，证明如下：

因为 ( ) = 2 = ( )，
( ) +1
所以 ( )为奇函数；
(2)证明：设 1 < 1 < 2 < 1，
1 2 ( 1 2 1)( 2 1)
则 ( 1) ( 2) = 2 2 = 2 2 ， 1+1 2+1 ( 1+1)( 2+1)
因为 1 < 1 < 2 < 1，
所以 1 2 1 < 0， 2 1 > 0，
故 ( 1) < ( 2)，
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所以 ( )在( 1,1)上单调递增；
(3)解：因为 (2 1) + ( ) < 0，
则 (2 1) < ( )，
1 < 2 1 < 1
1
所以{ 1 < < 1 ，解得0 < < ，
3
2 1 <
1
故不等式的解集为(0, )．
3
19.【答案】解：(1)①， ( ) = ( + 1)3 3 2 = ( + 1)3 3( + 1) + 1，
而 ( ) = ( 1) 1 = 3 3 满足 ( ) = 3 + 3 = ( )，
即 ( )为奇函数，所以 ( )的图象关于点( 1,1)中心对称．
②，由①得 ( 1 ) + ( 1 + ) = 2，即 ( ) + ( 2) = 2，
所以 (2022) + (2023) + ( 2024) + ( 2025) = (2022) + ( 2024) + (2023) + ( 2025) = 2 +
2 = 4．
(2)“函数 = ( )的图象关于 轴成轴对称的充要条件是函数 = ( )为偶函数”，
类比已知条件可得，一个推广结论为：
函数 = ( )的图象关于直线 = 对称的充要条件是函数 = ( + )为偶函数．
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