吉林省长春市第三中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

吉林省长春市第三中学 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线 = 2的焦点坐标为( )
1 1 1 1
A. ( , 0) B. (0, ) C. ( , 0) D. (0, )
2 2 4 4
2
2.与双曲线 2

= 1有公共焦点，且长轴长为6的椭圆方程为( )
3
2 2 2 2 2 2 2 2
A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1
9 7 9 5 9 5 9 7
3.在等差数列{ }中， 2 + 6 = 6， 5 = 2，则 3 =( )
A. 4 B. 1 C. 1 D. 4
2 2
4.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的上顶点为 ，左、右两焦点分别为 1， 2，若△ 1 2为等边三角形，
则椭圆 的离心率为( )
1 √ 2 1 √ 3
A. B. C. D.
2 2 3 3
5.已知圆 1：
2 + 2 = 1与圆 2：
2 + 2 8 + 6 + = 0相内切，则 1与 2的公切线方程为( )
A. 3 4 5 = 0 B. 3 4 + 5 = 0 C. 4 3 5 = 0 D. 4 3 + 5 = 0
2
6.过点 (2,1)的直线 与双曲线 2 = 1相交于 ， 两点，若 是线段 的中点，则直线 的方程是( )
3
A. 6 11 = 0 B. 6 + 13 = 0 C. 2 3 1 = 0 D. 3 2 4 = 0
2 2
7.已知双曲线 ： = 1的右焦点为 ，点 (0, )，若直线 与 只有一个交点，则 =( )
4 12
A. ±2 B. ±4√ 3 C. ±2√ 3 D. ±4
8.图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径 = 6，
深度 = 2，信号处理中心 位于焦点处，以顶点 为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系 ，
15
若 是该抛物线上一点，点 ( , 2)，则| | + | |的最小值为( )
8
第 1 页，共 6 页
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2
9.已知曲线 1：4
2 + 3 2 = 48， 22： = 1，则( ) 3
A. 1的长轴长为4 B. 2的渐近线方程为 = ±√ 3
C. 1与 2的焦点坐标相同 D. 1与 2的离心率互为倒数
10.已知等差数列{ }的前 项和为 ，若 23 > 0， 24 < 0，则下列结论错误的是( )
A. 数列{ }是递增数列 B. 13 > 0
C. 当 取得最大值时， = 13 D. | 13| > | 12|
11.过抛物线 ： 2 = 2 上一点 (1,2)作两条相互垂直的直线，与 的另外两个交点分别为 ， ，则( )
A. 的准线方程是 = 1
B. 过 的焦点的最短弦长为2
C. 直线 过定点(5, 2)
D. 若直线 过点(1, 1)，则△ 的面积为24
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)上的一点到焦点的距离为 2，到 轴的距离为3，则 = ______．
13.公差为 的等差数列{ }的首项为 1 = 2，前 项和为 ，且满足2 5 = 3 + 5，则 13 = ______．
2 2 2 2
14.如图，我们把由半椭圆 + = 1( ≤ 0)和半椭圆 + = 1( > 0)
16 9 25 16
合成的曲线称作“果圆”. 1， 2， 3是相应半椭圆的焦点，则△ 1 2 3的
周长为______．
第 2 页，共 6 页
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在等差数列{ }中， 3 = 7， 9 = 5，{ }的前 项和为 ．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)求 的最大值和 取得最大值时 的值．
16.(本小题15分)
2 2
已知点 是椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)上的一点， 1和 2分别为左右焦点，焦距为6，且过(5,0)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若动直线 过 2与椭圆交于 、 两点，求△ 1的周长．
17.(本小题15分)
已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ， ( 0, 9)是抛物线 上的点，且| | = 15．
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知直线 交抛物线 于 ， 两点，且 的中点为(6, 4)，求直线 的方程．
18.(本小题17分)
2 2 2√ 3
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的虚轴长为2，且离心率为 ． 3
(1)求 的方程和焦点坐标；
(2)设 的右焦点为 ，过 的直线交 于 ， 两点，若 中点的横坐标为3，求| |．
19.(本小题17分)
2 2 √ 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率 = ，且点(4,1)在椭圆 上． 2
(1)求椭圆 的方程；
(2)若经过定点(0, 1)的直线 与椭圆 交于 ， 两点，记椭圆的上顶点为 ，当直线 的斜率变化时，求△
面积的最大值．
第 3 页，共 6 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2
13.【答案】65
14.【答案】8 + 2√ 7
15.【答案】解：(1)设等差数列{ }的公差为 ，
+ 2 = 7
则{ 1 ，解得
+ 8 = 5 1
= 11， = 2，
1
所以 = 11 + ( 1) × ( 2) = 2 + 13．
( 1+ ) (11 2 +13)(2)由(1)知， = = =
2 + 12 = ( 6)2 + 36，
2 2
所以当 = 6时， 取得最大值 6 = 36．
16.【答案】解：(1)由2 = 6，得 = 3，
又椭圆过(5,0)，∴ = 5，
得 2 = 2 2 = 25 9 = 16，
2 2
∴椭圆的标准方程为 + = 1；
25 16
(2)动直线 过 2与椭圆交于 、 两点，
∴ | 1| + | 2| = 2 ，| 1| + | 2| = 2 ，
∴ | 1| + | 2| + | 1| + | 2| = | 1| + | 1| + | | = 4 = 20，
∴△ 1的周长为20．
第 4 页，共 6 页

17.【答案】解：(1)因为| | = 9 + = 15，所以 = 12，
2
故抛物线 的方程为 2 = 24 ．
(2)易知直线 的斜率存在，设直线 的斜率为 ， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2 = 24 ,
则{ 1 1
2
2 = 24 2,
1+ 2
两式相减得 21
2
2 = 24( )，整理得
1 2
1 2 = ． 1 2 24
1 12 1因为 的中点为(6, 4)，所以 = 2 = = ，
1 2 24 2
1
所以直线 的方程为 + 4 = ( 6)，即 + 2 + 2 = 0．
2
2√ 3
18.【答案】解：(1)因为 的离心率为 = = ，又 的虚轴长为2，
3
所以2 = 2，又 2 = 2 + 2，
解得 2 = 3， 2 = 1， 2 = 4，
2
所以 的方程为 2 = 1，左、右焦点坐标分别为( 2,0)，(2,0)；
3
(2)由(1)知 (2,0)，根据题意易得过 的直线斜率存在，
设为 = ( 2)， ( , )， ( , )，
= ( 2),
联立{ 2 2 2 2
2
化简得(1 3 ) + 12 12 3 = 0，
3 2 = 3,
则 = 144 4 + 4(1 3 2)(12 2 + 3) > 0，
2 2
12 12 +3
所以 + = 2 , = 2 ，
3 1 3 1
2
12
因为 中点横坐标为3，所以 + = 2 = 6，
3 1
2 15解得 = 1，所以 = ， 2
2 2 2 15则( ) = ( + ) 4 = 6 4 × = 6， 2
则| | = √ (1 + 2)( )2 = √ 2 × 6 = 2√ 3．
2 2
19.【答案】解：(1)椭圆 的离心率 √ 2 = ，则√ 2 1
2 = =
√ 1 ，即 = ，
2 2 2 2
2 2
故 = √ 2 = √ 2 ，椭圆方程为 2 + 2 = 1，
2
将点(4,1)代入方程得 2 = 9，
2故所求方程为
2
+ = 1．
18 9
(2)点(0, 1)在椭圆 内，直线 的斜率存在，
第 5 页，共 6 页
设直线 的方程为 = 1，
2 2
由{
+ = 1,
18 9 得(2 2 + 1) 2 4 16 = 0，
= 1,
4 16
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 , > 0，
2 +1 2 +1
2 2
4√ ( +1)(9 +4)
| | = √ ( 2 + 1)[( + )2 4 ] = ， 1 2 1 2 2
2 +1
2
4 1 8√ 9 +4
点 (0,3)到 的距离 = , △ = | | = 2 ，
√ 2
2 2 +1
+1
1 9( 1)
令 = 2 2 + 1( ≥ 1)，则 2 = ，则 +4 81 1 1 9
2 √
2
△ = 8 2 = 8√ ( )
2，
8 2 2
1 1
因为0 < ≤ 1，所以当 = 1( = 0)时，
△
= 16是所求最大值，
第 6 页，共 6 页