陕西省西安市陕西省师范大学附属中学2024-2025学年高一上12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

陕西省师范大学附属中学 2024-2025 学年高一上 12 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = { ∈ | 1 ≤ ≤ 7}，集合 = {0,2,3,5,6}， = {1,3,5,7}，则集合 ∩ ( )等于( )
A. {0,2,6} B. {2,6} C. {0,2} D. {0,6}
2.圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为( )
2
A. B. C. √ 3 D. 2
3 3
4
3.已知 > 0，则2 3 的最大值是( )

A. 2 + 4√ 3 B. 2 4√ 3 C. 2 + 2√ 3 D. 2 2√ 3
1
4.已知sin( ) = ，则cos( + ) =( )
4 3 4
2√ 2 2√ 2 1 1
A. B. C. D.
3 3 3 3
5.若 ， ， ∈ ，则下列命题正确的是( )
1 1 +1
A. 若 < ，则 > B. 若 > > 0，则 <
+1
C. 若 > ， > ，那么 + > + D. 若 2 > 2，则 >
(2 1) + 4 , < 1 ( ) ( )
6.已知函数 ( ) = { 2 满足对任意 ， ，当 ≠ 时都有
1 2 > 0成立，则 的
+ 5, ≥ 1 1 2 1 2 1 2
取值范围是( )
1 1
A. ( , 1] B. ( , 2] C. [2, +∞) D. [1,2]
2 2
√ 3

7.若 = 4 2 2 ， = log147， = log126，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
8.设函数 ( ) = ( + )ln( + )，若 ( ) ≥ 0，则 2 + 2的最小值为( )
1 1 1
A. B. C. D. 1
8 4 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
+2 1
A. 不等式 > 1的解集{ | < 或 > 1}
2 +1 2
B. “ > 1”是“ > 2”成立的必要不充分条件
C. 命题 ： ∈ [ 1,3]， 2 3 ≤ 0，则 ： ∈ [ 1,3], 20 0 3 0 > 0
D. “ 2 3 + 2 = 0”是“ = 1”成立的充分不必要条件
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10.已知函数 ( )的定义域为 ， (1) = 4，且对任意实数 ， ，有 ( + ) = ( ) + ( ) 2，当 > 0时，
( ) > 2.则下列结论正确的是( )
A. ( 1) = 0 B. ( )是 上的单调递增函数
C. ( )为偶函数 D. ( ) 2为奇函数
| |, > 0
11.已知函数 ( ) = { ，下面关于 的方程 ( ( )) + = 0的实数根的个数，说法正确的是( )
+ 1, ≤ 0
1 1
A. 当 = 时，原方程有6个根 B. 当 = 时，原方程有6个根
3 2
C. 当 = 0时，原方程有4个根 D. 不论 取何值，原方程都不可能有7个根
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分。
1 1 5
12.已知 > 1， = ，则 = ．
8 4 2

13.已知 为锐角，且有2 ( ) 3 ( + ) + 5 = 0，tan( + ) + 6 ( + ) 1 = 0，则 的
2
值是______．
2 4 2, ≤ 0
14.已知函数 ( ) = {| 2 |,0 < ≤ 4 方程 ( ) = 有六个不同的实数根 1， 2， 3， 4， 5， 6，则
| 8| 2, > 4
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 58 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题10分)
求下列各式的值：
3 2 1
(1)( 3 ) 3 + (0.002) 2 10(√ 5 2) 1 + (√ 2 √ 3)0；
8
(2)sin( 1200°) 1290° + cos( 1020°) sin( 1050°) + 945°．
16.(本小题10分)
3
设命题 ：实数 满足( )( 3 ) < 0，其中 > 0，命题 ：实数 满足 ≤ 0．
2
(1)若 = 1，且 和 都是真命题，求实数 的取值范围；
(2)若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
17.(本小题12分)
已知二次函数 ( )过坐标原点，有 ( 1) = (3)，且 ( )在 上的值域为( ∞, 1]．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)求解关于 的不等式2 > ( )，其中 为实数．
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18.(本小题12分)
已知函数 ( )对任意的 ， ∈ ，都有 ( + ) 1 = ( ) + ( )，且当 > 0时， ( ) + 1 > 0．
(1)判断函数 ( )的单调性并证明；
(2)若 (1) = 1，不等式 | | + 2 4 ≤ (3)对任意的 ∈ [0,4]恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题14分)
3
已知函数 ( ) = | | + ( ∈ )．

(1)若 = 1，求关于 的方程 ( ) = 1的解；
2
(2)若关于 的方程 ( ) = 有三个不同的正实数根 1， 2， 3且 1 < 2 < 3
．
( )求 的取值范围；
( )证明： 1 2 3 > 3．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】64
3√ 10
13.【答案】
10
65
14.【答案】(14, )
4
2 3 2 1 1 10
15.【答案】解：(1)原式= ( 1) (3 ) + ( ) 3 3 2 + 1
8 500 √ 5 2
4
= + 10√ 5 10√ 5 20 + 1
9
167
= ；
9
(2)原式= 60° ( 30°) + 60° 30° + 45°
√ 3 √ 3 1 1
= ( ) × ( ) + × + 1
2 2 2 2
3 1
= + + 1
4 4
= 2．
16.【答案】解：(1)命题 ：实数 满足( )( 3 ) < 0，其中 > 0，
当 = 1时，命题 ：( 1)( 3) < 0，解得1 < < 3，
3
命题 ：实数 满足 ≤ 0.整理得2 < ≤ 3．
2
由于命题 和 都是真命题，
1 < < 3
所以{ ，整理得2 < < 3，
2 < ≤ 3
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故实数 的取值范围为(2,3)．
(2)命题 ：实数 满足( )( 3 ) < 0，解得 < < 3 ，
3
命题 ：实数 满足 ≤ 0.故2 < ≤ 3．
2
由于 是 的充分不必要条件，
所以(2,3] ( ，3 )，
< 2 ≤ 2
所以{ 或{ ，
3 > 3 3 < 3
故1 < ≤ 2．
17.【答案】解：(1)由 ( 1) = (3)，
得二次函数 ( )的图象为对称轴为 = 1的抛物线，
又 ( )在 上的值域为( ∞, 1]，
∴二次函数的图象为开口向下的抛物线，且顶点纵坐标为1，
由此设 ( ) = ( 1)2 + 1，且 < 0，
已知二次函数 ( )的图象过坐标原点，可得 (0 1)2 + 1 = 0，
解得 = 1，则 ( ) = ( 1)2 + 1 = 2 + 2 ；
(2)又2 > ( )，得2 > 2 + 2 ，即( 2)( ) > 0，
当 > 2时，解得 > 或 < 2，
当 = 2时，解得 ≠ 2，
当 < 2时，解得 < 或 > 2．
∴当 > 2时，不等式2 > ( )的解集为{ | > 或 < 2}，
当 = 2时，不等式2 > ( )的解集为{ | ≠ 2}，
当 < 2时，不等式2 > ( )的解集为{ | > 2或 < }．
18.【答案】解：(1)函数 ( )在 上单调递增，证明如下：
由 ( + ) 1 = ( ) + ( )，可得 ( + ) ( ) = ( ) + 1，
当 > 0时，有 + > ， ( ) + 1 > 0，
令 1 = + ， 2 = ，即有 1 > 2且 ( 1) ( 2) > 0，
所以 ( 1) > ( 2)，
故函数 ( )在 上单调递增．
(2)由 (1) = 1，则 (1 + 1) 1 = (1) + (1)，即 (2) = 2 (1) + 1 = 3，
(2 + 1) 1 = (2) + (1)，即 (3) = (2) + (1) + 1 = 5，
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即有 | | + 2 4 ≤ 5，即 | | + 2 9 ≤ 0对任意的 ∈ [0,4]恒成立，
当 = 0时，有 9 ≤ 0，对任意 恒成立，满足题意；
当 ∈ [0,4]时，
①若 ≤ 0，则 | | + 2 9 ≤ 0可化为 2 + (2 ) 9 ≤ 0，
9 2 9
即2 ≤ = ，

9
因为 = ， = 在 ∈ (0,4]上均单调递减，

9
所以函数 = 在 ∈ (0,4]上单调递减，

9 9 7
故 = ≥ 4 = ，
4 4
7 7
则2 ≤ ， ≥ 2 + ，
4 4
15
即 ≥ ，与 ≤ 0矛盾，故舍去；
4
②若 ≥ 4，则 | | + 2 9 ≤ 0可化为 2 + (2 + ) 9 ≤ 0，
2+9 9
即2 + ≤ = + ，

9
由对勾函数的性质可知： = + 在(0,3]上单调递减，在(3,4]上单调递增，

9 9
故 = + ≥ 3 + = 6，即2 + ≤ 6，即 ≤ 4，又 ≥ 4，
3
故 = 4时，符合要求；
2 + (2 + ) 9,0 < <
③若0 < < 4，令函数 ( ) = | | + 2 9 = {
2
，
+ (2 ) 9, ≤ ≤ 4
则 ( ) ≤ 0对任意的 ∈ [0,4]恒成立，
2+
1.当0 < < 时， ( ) = 2 + (2 + ) 9，有 = + 1，
2×( 1) 2
由 (0) = 9 < 0， ( ) = 2 9 < 0，

故当 + 1 ≤ 0或 + 1 ≥ 时，即 ≤ 2或 ≤ 2时，即0 < ≤ 2时，符合要求，
2 2

当0 < + 1 < ，即 > 2，即2 < < 4时，
2
须有 = (2 + )2 36 ≤ 0，解得 8 ≤ ≤ 4，即2 < < 4，符合要求，
即当0 < < 4时， ( ) ≤ 0在(0, )上恒成立；
2
2.当 ≤ ≤ 4时， ( ) = 2 + (2 ) 9，有 = 1 < ，
2 2
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( ) = 2 9 ≤ 0 15 9 15
故只需{ ，解得 ≤ ≤ ，即 ≤ < 4；
(4) = 16 + 8 4 9 ≤ 0 4 2 4
15
故 ≤ < 4时， ( ) ≤ 0在[ , 4]上恒成立；
4
15
即当 ≤ < 4时， ( ) ≤ 0在(0,4]上恒成立；
4
15
综上所述，实数 的取值范围为[ , 4].
4
3
19.【答案】解：(1)当 = 1时，函数 ( ) = | 1| + 1，

3
那么根据 ( ) = 1，得| 1| = ，

3
当 < 1时，那么1 = ，所以 2 + 3 = 0，无实数解；

3 1 √ 13 1 √ 13
当 ≥ 1时，那么 1 = ，所以 2 3 = 0，解得 = + 或 = (舍去)，
2 2 2 2
1 √ 13
综上所述， = + ．
2 2
3
(2)( )由于函数 ( ) = | | + ，

3 3
当 > 时， ( ) = + = ，

3 3
当 ≤ 时， ( ) = + + = 2 ( + )，

3
根据对勾函数的性质可知， = 2 ( + )在(√ 3, +∞)上单调递减，在(0, √ 3)上单调递增，

3
易知 = 在(0, +∞)上单调递增，

3 3
当 ≤ √ 3( ≠ 0)时，则 = 在( , +∞)上单调递增， = 2 ( + )在(0, )上单调递增，

3 3
又当 = 时，2 ( + ) = ，所以 ( )在(0, +∞)上单调递增，

2
故方程 ( ) = 不可能存在3个不同正实根，

3
所以 ≥ √ 3，则 = 2 ( + )在(0, √ 3)上单调递增，在(√ 3, )上单调递减，

3
= 在( , +∞)上单调递增，

3 2 3 √ 7+√ 3
故2 ( + ) < < 2 (√ 3 + )，解得 < < √ 5，
√ 3 2
√ 7+√ 3
即 的取值范围为( , √ 5)；
2
3 2 2
( )证明： 1、
2
2是方程2 ( + ) = ，即 (2 ) + 3 = 0的两个根，故 1 2 = 3，
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3 2 2
3是方程 = 的较大根，即
2 3 = 0的较大根，

1 1 √ 7+√ 3
则 3 = + √ 2 + 3且在区间( , √ 5)上单调递减， 2
1 1
所以 1 2 3 = 3 3 > 3( + √ + 3) = 3√ 5 > 3． √ 5 5
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