上海市延安中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

上海市延安中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 < < 0，则下列不等式中不成立的是( )
1 1 1 1
A. | | > | | B. 2 > 2 C. > D. >

2.设 1， 1， 1， 2， 2， 2均为非零实数，不等式
2
1 + 1 + 1 > 0和
2
2 + 2 + 2 > 0的解集分别

为 和 ，那么“ 1 = 1 = 1”是“ = ”的( )
2 2 2
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
3.若 < < ，则函数 ( ) = ( )( ) + ( )( ) + ( )( )的两个零点分别位于区间
( )
A. ( , )和( , )内 B. ( ∞, )和( , )内
C. ( , )和( , +∞)内 D. ( ∞, )和( , +∞)内
4.已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以下结论：三个正数的算术平
+ + 3
均数大于等于它们的几何平均数，即当 ， ， 均为正实数时， ≥ √ ，当且仅当 = = 时等号
3
成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为( )
1 1 27
A. 若0 < < 1，则 2(1 ) ≤ B. 若 > 0，则2 + 2 ≥ 9 8
1 2
C. 若0 < < 1，则 2(1 ) ≥ D. 若 > 0，则 2 + ≥ 3
9
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。
5.已知集合 = {1,2,3,4,5}, = { | > √ 5}，则 ∩ = ______．
1
6.设 ∈ ，则不等式 < 3的解集为______．

3
4 38
7.已知 > 0， > 0，化简式子： 1 3 1 1 = ______．
( 6
4
2)( 12 2)
3
7
8.已知 2 ≤ ≤ 3,2 ≤ ≤ ，则 2 的取值范围为______．
2
5 4
9.当 < 0时，化简：3√ 5 + √ 4 + | | = ______．
1 1
10.集合 = { | = + , ∈ }，与集合 = { | = + , ∈ }的关系是______．
4 2 2 4
11.若正数 ， 满足 = + + 3，则 的取值范围是 ．
12.已知 ∈ ，则方程| 7| + |3 4 | = |5 10|的解集为______．
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13.已知关于 的一元二次方程 2 + + = 0的两个实根分别为 和 ，且 2 + 2 = 3，则实数 = ______．
1
14.已知关于 的不等式( 2 1) 2 + ( + 1) + > 0对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围为______．
2
1
15.已知 ∈ ，[ ]表示不大于 的最大整数，如[ ] = 3, [ ] = 0, [ 1.2] = 2，则不等式[ ]2 5[ ] 6 ≤ 0的
2
解集为______．
1 1 2
16.若三个非零且互不相等的实数 1， 2， 3满足 2 1 = 3 2和 + = ，则称( 1, 2, 3)构成一组1 2 3
“有序好数对”；已知集合 = { || | ≤ 60, ∈ }，则由 中的三个元素组成的所有“有序好数
对”( 1, 2, 3)的个数为______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 48 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
设 ， 为实数，比较 2 + 4 2与2 12 10的值的大小．
18.(本小题9分)
1
已知 ∈ ，集合 = { | ≤ 0}, = { | 2 + (2 ) 2 < 0}；
3
1
(1)当 = 时，集合 = { | ∈ 且 }，求集合 ；
2
(2)已知 ∪ = ，求实数 的取值范围．
19.(本小题10分)
已知 ∈ ，关于 的方程 2 3 + 1 = 0；
(1)若方程有两个正实数根，求实数 的取值范围；
(2)若方程有两个整数根 1， 2，且 为整数，求| 1 2|的值．
20.(本小题10分)
窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一；规定：两个全等的矩形中心重合，
且对应边互相垂直，所形成的图形称为“正十字形”；如图所示，窗花是由一张圆形纸片剪去一个“正十
字形”剩下的部分，其中“正十字形”的顶点都在圆周上；已知两个矩形的宽和长都分别为 ， (单位：分
米)且宽小于长，若剪去的“正十字形”部分面积为4平方米；
(1)请用 表示 ，并写出 的取值范围；
(2)现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小；当 取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其
最小值；(结果精确到0.01)．
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21.(本小题13分)
已知集合 = { 1, 2, … , }(0 ≤ 1 < 2 < < ， ∈ ， ≥ 3)具有性质 ：对任意 ， (1 ≤ ≤ ≤ )，
+ 与 至少有一个属于集合 ．
(1)判断集合 = {0,2,4}与 = {2,3,4}是否具有性质 ，并说明理由；
(2)已知 = { 1, 2, 3}具有性质 ，当 2 = 2024时，求集合 ；
+ + +
(3)已知 = { 1, 2, … , }具有性质 ，求
1 2 2024
2024 的值． 2024
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】{3,4,5}
1
6.【答案】( ∞, 0) ∪ ( , +∞)
3
7.【答案】 6 √
8.【答案】[ 9, 1]
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】[9, +∞)
3
12.【答案】{ | ≤ 或 ≥ 7}
4
13.【答案】 1
14.【答案】( ∞, 1] ∪ (3，+∞)
15.【答案】{ | 1 ≤ < 7}
16.【答案】30
17.【答案】解：根据题意，两个代数式作差可得：
2 + 4 2 (2 12 10) = 2 2 + 4 2 + 12 + 10 = 2 2 + 1 + 4 2 + 12 + 9 = ( 1)2 +
3
4( + )2 ≥ 0，
2
3
当 = 1, = 时等号成立，
2
所以 2 + 4 2 ≥ 2 12 10．
1
18.【答案】解：(1)由 ≤ 0，可得 = { | ≤ 1或 > 3}，
3
易知 = { |( + 2)( ) < 0}，
1 1
当 = 时，可得 = { | 2 < < }，
2 2
由集合 = { | ∈ 且 }，
1
可得 = { | ≤ 2或 ≤ ≤ 1或 > 3}；
2
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(2)由 ∪ = ，可得 ，
当 = 时，可得 = 2；
当 ≠ 时，若 > 2，可得 = { | 2 < < }，
由 可得 ≤ 1，即 2 < ≤ 1；
若 < 2，可得 = { | < < 2}，
此时 恒成立，即 < 2即可；
综上，实数 的取值范围为( ∞, 1]．
19.【答案】解：(1)因为关于 的方程 2 3 + 1 = 0有两个正实数根，
≠ 0
所以{ = 9
2 4 ( 1) ≥ 0，
1
> 0

4
解得 ≤ 或 > 1，
5
4
即实数 的取值范围为{ | ≤ 或 > 1}；
5
(2)由方程有两个整数根 1， 2，
1 1
所以 ≠ 0且 1 + 2 = 3， 1 2 = = 1 ，
由 1， 2， ∈ ，
所以 = 1或 = 1，
当 = 1时， 1 + 2 = 3， 1 2 = 0，
所以 1 = 0， 2 = 3或 1 = 3， 2 = 0，
所以| 1 2| = 3，
当 = 1时， 1 + 2 = 3， 1 2 = 2，
所以 1 = 1， 2 = 2或 1 = 2， 2 = 1，
所以| 1 2| = 1，
综上所述，| 1 2|的值为1或3．
20.【答案】解：(1)已知两个矩形的宽和长都分别为 ， (单位：分米)且宽小于长，
若剪去的“正十字形”部分面积为4平方米，
根据题意可知 > > 0，剪去的“正十字形”部分面积可表示为2 2 = 4，
4+ 2
可得 = ，
2
4+ 2
由宽小于长可得 = > > 0，解得0 < < 2，
2
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4+ 2
因此 = (0 < < 2)；
2
(2)若所用圆形纸片面积最小，可知圆的半径最小即可，
2
2 4+ 2
2 (
2+ 2) [ +( ) ]
设圆的半径为 ，则圆的面积为 = = 2
4 4
2
( 2
4
+ + 2+2)4 5
2 4 5 2 4 (√ 5+1)
= = ( + 2 + 2) ≥ (2√ + 2) = ， 4 4 4 4 4 2 2
5 2 4 2
当且仅当 = 2，即 = 4 ≈ 1.34时，等号成立， 4 √5
(√ 5+1)
此时圆形纸片面积的最小值为 ≈ 5.08(平方分米)．
2
21.【答案】解：集合 = { 1, 2, … , }(0 ≤ 1 < 2 < < ， ∈ ， ≥ 3)具有性质 ：对任意 ， (1 ≤
≤ ≤ )， + 与 至少有一个属于集合 ，
(1)集合 = {0,2,4}中，因为0 + 2 ∈ ，0 + 4 ∈ ，4 2 ∈ ，0 ± 0 = 0 ∈ ，2 + 2 = 4 ∈ ，2 2 = 0 ∈ ，
4 4 = 0 ∈ ，所以集合 具有性质 ．
集合 = {2,3,4}中，因为3 + 3 = 6 ，3 3 = 0 ，所以集合 不具有性质 ．
(2)因为 1 < 2 < 3，且 = { 1, 2, 3}具有性质 ，所以 3 + 3 ， 3 3 = 0 ∈ ，
则 1 = 0，又因为 2 + 3 > 3，所以 2 + 3 ，则 3 2 ∈ ，
由集合的互异性知 3 2 = 2，而 2 = 2024， 7 = 2023， 99 = 2，
所以 3 = 4048，故 A= {0,2024,4048}．
(3)因为 = { 1, 2, , }(0 ≤ 1 <

2 < < , ∈ , ≥ 3)具有性质 ，
所以 + ，则 = 0 ∈ ，则 1 = 0．
又因为0 ≤ 1 < 2 < < ，所以0 ≤ < 1 < < 1
又因为 + > ( = 1,2, , 1)，所以 + ，则 ∈ ，
所以 1 = ， 2 = 1， 3 = 2， ， = 1．
所以 1 + 2 + 3 + + = ( ) + ( 1) + ( 2) + + ( 1)，

即 1 + 2 + 3 + + = ， 2
2024
所以 = { 1, 2, … , 2024}具有性质 ，则 1 + 2 + + 2024 = 2 2024，
1+ 2+ + 所以 2024
2024
= = 1012．
2024 2
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