福建省莆田市第二十四中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

福建省莆田市第二十四中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设 是实数，则“ > 1”是“ < 1”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.设命题 ： ∈ ， 2 > 2 ，则￢ 为( )
A. ∈ ， 2 > 2 B. ∈ ， 2 ≤ 2
C. ∈ ， 2 ≤ 2 D. ∈ ， 2 = 2
3.若函数 = ( )的定义域为 = { | 2 ≤ ≤ 2}，值域为 = { |0 ≤ ≤ 2}，则函数 = ( )的图像可
能是( )
A. B.
C. D.
, ≤ 0
4.设函数 ( ) = { 2 ，若 ( ) = 4，则实数 =( ) , > 0
A. 4或 2 B. 4或2 C. 2或4 D. 2或2
5.设偶函数 ( )在区间( ∞, 1]上单调递增，则( )
3 3
A. ( ) < ( 1) < (2) B. (2) < ( ) < ( 1)
2 2
3 3
C. (2) < ( 1) < ( ) D. ( 1) < ( ) < (2)
2 2
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6.函数 ( )在( ∞,+∞)单调递减，且为奇函数．若 (1) = 1，则满足 1 ≤ ( 2) ≤ 1的 的取值范围是
( )
A. [ 2,2] B. [ 1,1] C. [0,4] D. [1,3]
2 1
7.函数 ( ) = 的图象大致为( )

A. B.
C. D.
( 5) 2, 2 ( ) ( )
8.函数 ( ) = { ，若对任意 ， ∈ ( ≠ )，都有 1 2 < 0成立，则实
2 2( + 1) + 3 , < 2 1 2 1 2 1 2
数 的取值范围为( )
A. ( ∞, 1] B. (1,5) C. [1,5) D. [1,4]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( )
2
A. = B. = | | + 1 C. = 3 D. = 1 2
10.已知 (2 + 1) = 4 2定义域为[1,3]，则( )
A. (1) = 4 B. ( 1) = 4
C. ( ) = ( 1)2， ∈ [3,7] D. 函数 ( 1)的定义域为[1,2]
11.下列 的取值中，能使函数 ( ) = 2 2 3在区间( ∞,1)上单调递减的是( )
A. ∈ (1,+∞) B. = 0 C. ∈ ( ∞,1] D. ∈ [0,1]
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
5 3 1
12.√ ( )2 ( 1)0 (3 )3 = ______．
2 8
3 1
13.已知 < ，则 = +2 1的最大值______．
2 2 3
14.已知 ( )是奇函数，当 > 0时， ( ) = (1+ )，则当 < 0时， ( ) =______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数 ( ) = 2 4| |．
(1)将 ( )写成分段函数的形式，并作出函数的图象；
(2)写出其单调区间(不用证明)．
16.(本小题15分)
已知集合 = { | ≤ 4}，集合 = { | 1 ≤ ≤ +1, ∈ }．
(Ⅰ)当 = 4时，求 ∩ ；
(Ⅱ)当 ∩ = 时，求 的取值范围．
17.(本小题15分)
+
已知 ( ) = 是定义在( 1,1)上的奇函数．
2+1
(1)求 ( )的解析式；
(2)判断 ( )在( 1,1)上的单调性，并用定义证明；
(3)解关于 的不等式： ( 1)+ ( ) < 0．
18.(本小题17分)
已知幂函数 ( )的图象经过点 (4,16)．
(1)求 ( )的解析式．
( )+1
(2)设函数 ( ) = ．

①判断 ( )的奇偶性；
1
②若 ( ) ≥ 2 2 在[2,+∞)上恒成立，求 的取值范围．
2
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19.(本小题17分)
已知函数 ( ) = 3 2 + 1， ( ) = 2 2 | | + ．
(1)求关于 的不等式 ( ) + 3 < 4 + 3 1解集；
(2)若 = 1，求 ( )在 ∈ [ 2,2]上的值域；
(3)设 ( ) = ( ) ( )，记 ( )的最小值为 ( )，求 ( )的最小值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】0
13.【答案】0
14.【答案】 ( 1)
15.【答案】解：(1)函数 ( ) = 2 4| |，
当 ≥ 0时， ( ) = 2 4 ，
当 < 0时， ( ) = 2 + 4 ，
2 4 , ≥ 0
故 ( ) = {
2
，
+ 4 , < 0
画出 ( )的图象如下图：
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(2)由图可知： ( )的单调递增区间：[ 2,0]，[2,+∞)；
单调递减区间：( ∞, 2]，[0,2]．
16.【答案】解：(Ⅰ)当 = 4时，集合 = { | 1 ≤ ≤ +1, ∈ } = { |3 ≤ ≤ 5}，
又 = { | ≤ 4}，
所以 ∩ = { |3 ≤ ≤ 4}．
(Ⅱ)若 ∩ = ，
则 1 > 4，
解得 > 5，
∴实数 的取值范围为{ | > 5}．
+
17.【答案】解：(1) ( ) = 2 是定义在( 1,1)上的奇函数， +1
所以 (0) = = 0，

此时 ( ) = 2，经检验 ( )为奇函数，符合题意， 1+

故 ( ) = ；
1+ 2
(2)判断 ( )在( 1,1)上的单调递增，证明如下：
任取 1 < 1 < 2 < 1，
2 21 2 1+ 1 2 2 2 1 ( 1 2)(1 1 2)则 ( 1) ( 2) = = = < 0， 1+ 21 1+ 22 (1+ 2 21)(1+ 2) (1+ 21)(1+ 22)
所以 ( 1) < ( 2)，
所以 ( )在( 1,1)上单调递增；
(3)由 ( 1) + ( ) < 0可得 ( 1) < ( ) = ( )，
所以 1 < 1 < < 1，
1
解得0 < < ，
2
1
故 的范围为{ |0 < < }.
2
18.【答案】解：(1)设 ( ) = ，则4 = 16，
解得 = 2，
则 ( ) = 2；
( )+1 2+1 1
(2) ( ) = = = + ，

①函数 ( )的定义域为( ∞, 0) ∪ (0,+∞)，
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1 1
又 ( ) = = ( + ) = ( )，

则函数 ( )为奇函数；
1
②依题意，当 ≥ 2时， 2 2 ≤ ( )
2
，
由双勾函数的性质可知，函数 ( )在[2,+∞)上单调递增，
5
则 ( ) = (2) = ， 2
1 2 5故 2 ≤ ，即 2 4 5 ≤ 0，
2 2
解得 1 ≤ ≤ 5，
故实数 的取值范围为[ 1,5]．
19.【答案】解：(1)不等式可化为 2 + ( 1) < 0，
即( + )( 1) < 0，
当 < 1时，解得1 < < ，
当 > 1时，解得 < < 1，
当 = 1时，无解，
综上所述，当 < 1时，解集为{ |1 < < }；
当 > 1时，解集为{ | < < 1}；
当 = 1时，解集为 ；
2 2 +1, ≥ 1
(2) ( ) = 2 2 | 1| + = { 2 ， 2 + 2 1, < 1
当 ∈ [ 2,1)， ( ) = 2 2 +2 1，
1 1 1 3
因为 ( )在[ 2, )单调递减，在( , 1)单调递增，且 ( ) = , ( 2) = 3，
2 2 2 2
3
所以函数 ( )在 ∈ [ 2,1)上值域为[ , 3]，
2
当 ∈ [1,2]， ( ) = 2 2 +1， ( )在[1,2]单调递增，
又因为 (1) = 3， (2) = 9，
所以函数 ( )在 ∈ [1,2]上值域为[3,9]，
3
综上所述，函数 ( )在 ∈ [ 2,2]上值域为[ , 9]；
2
2 + 1, ≥
(3)由题意可知， ( ) = {
2
，
+ 1, <
1 1 1
①当 < 时，函数 ( )在( ∞, )单调递减，在( ,+∞)上单调递增，
2 2 2
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1 5
函数 ( )的最小值为 ( ) = ；
2 4
1 1
②当 ≤ ≤ 时，函数 ( )在( ∞, ]单调递减，在( ,+∞)上单调递增，
2 2
所以函数 ( )的最小值为 ( ) = 2 1；
1 1 1
③当 > 时，函数 ( )在( ∞, ]单调递减，在( ,+∞)上单调递增，
2 2 2
1 5
故函数 ( )的最小值为 ( ) = ，
2 4
5 1
, ≤
4 2
1 1
综上所述， ( ) = 2 1, < ≤ ，
2 2
5 1
{ + , >4 2
1 5 3
当 ≤ 时，函数 ( )的最小值为 ，此时 ( ) ≥ ；
2 4 4
1 1
当 < ≤ 时，函数 ( )的最小值为 2 1，此时 ( ) ≥ 1；
2 2
1 5 3
当 > 时，函数 ( )的最小值为 + ，此时 ( ) ≥ ，
2 4 4
综上所述， ( )的最小值为 1．
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