湖南省邵阳市第二中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

湖南省邵阳市第二中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关系中正确的是( )
1
A. 0 ∈ B. ∈ C. ∈ D. √ 2
2
2
2.函数 ( ) = 的定义域为( )
√ 1
A. ( ∞, 1) B. (1, +∞) C. ( ∞, 1] D. [1, +∞)
3.命题“ > 0， 2 3 1 > 0”的否定是( )
A. > 0， 2 3 1 ≤ 0 B. ≤ 0， 2 3 1 ≤ 0
C. > 0， 2 3 1 ≤ 0 D. ≤ 0， 2 3 1 ≤ 0
4.“ > 0”是“1 < < 4”的( )
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.若实数 ， ， 满足 > > 0， < 0，则( )

A. > B. > C. + < + D. >

6.一元二次不等式14 4 2 ≥ 的解集为( )
7 7
A. { | 2 ≤ ≤ } B. { | ≤ 2 或 ≥ }
4 4
7 7
C. { | ≤ ≤ 2} D. { | ≤ 或 ≥ 2}
4 4
1 1 12
7.已知实数 满足0 < < ，则 + 的最小值为( )
3 1 3
A. 9 B. 18 C. 27 D. 36
2 2 8 > 0
8.已知关于 的不等式组{ 2 仅有一个整数解，则 的取值范围为( ) 2 + (2 + 7) + 7 < 0
A. ( 5,3) ∪ (4,5) B. [ 5,3) ∪ (4,5] C. ( 5,3] ∪ [4,5) D. [ 5,3] ∪ [4,5]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题是假命题的是( )
A. ∈ ， 4 + 2 > 0 B. ∈ ，5 + 1 = 0
C. ∈ ， 2 1 ≠ 0 D. ∈ ，1 < 4 < 3
10.下面各组中的函数为同一个函数的是( )
第 1 页，共 6 页
A. ( ) = √ 2， ( ) = (√ )2 B. ( ) = 1( ≠ 0)， ( ) = 0
3 2
C. ( ) = ， ( ) = √ 3 D. ( ) = ， ( ) =

11.已知关于 的不等式 2 + + > 0的解集为{ | < 2或 > 3}，则下列选项中正确的是( )
A. < 0
B. 不等式 + > 0的解集是{ | < 6}
C. + + > 0
1 1
D. 不等式 2 + < 0的解集为{ | < 或 > }
3 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.一元二次函数 = 2 2 + 4 3的图象的顶点坐标是______．
13.已知函数 ( )满足 ( + 1) = ，则 (2) = ______．
14.若不等式2 2 + 2 3 < 0对一切实数 都成立，则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
1
已知 ( ) = ， ( ) = 2 + 1．
+2
(1)求 ( )， ( )的定义域；
(2)求 (2)， (2)的值；
(3)求 ( (3))的值．
16.(本小题15分)
解下列一元二次不等式. (本题答案必须用集合表示)
(1) 2 + 2 15 > 0；
(2)( 3)2 4( 3) 5 < 0；
3 +1 1
(3) ≤ ．
3 2
17.(本小题15分)
已知全集 = ，集合 = { |( 2)( 4) < 0}， = { |( )( 3) < 0}．
(1)当 = 3时，求 ∩ ；
(2)命题 ： ∈ ，命题 ： ∈ ，若 是 的必要条件，求实数 的取值范围．
18.(本小题17分)
已知二次函数 ( ) = 2 + + ( ≠ 0)满足 ( + 1) ( ) = 2 1，且 (1) = 0．
第 2 页，共 6 页
(1)求 ( )的解析式；
(2)若 ( )在[0, ]上的值域为[0,1]，求 的取值范围．
19.(本小题17分)
已知二次函数 ( ) = 2 + ( , ∈ )， (1) = 1且不等式 ( ) ≤ 2 + 1对一切实数 恒成立．
(1)求函数 ( )的解析式；

(2)在(1)的条件下，设函数 ( ) = 2 ( ) 2，关于 的不等式 ( 1) + 4 ( ) ≤ ( ) 4 2 ( )在 ∈

3
[ , +∞)有解，求实数 的取值范围．
2
第 3 页，共 6 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】(1, 1)
13.【答案】1
14.【答案】( 6,0]
1
15.【答案】解：(1)对于函数 ( ) = ，由 + 2 ≠ 0，得 ≠ 2，
+2
∴函数 ( )的定义域为{ | ≠ 2}；
函数 ( ) = 2 + 1的定义域为 ．
1
(2) ∵ ( ) = ， ( ) = 2 + 1，
+2
1 1
∴ (2) = = ， (2) = 22 + 1 = 5．
2+2 4
1
(3) ∵ ( ) = ， ( ) = 2 + 1，
+2
∴ (3) = 32 + 1 = 10，
1 1
则 ( (3)) = (10) = = ．
10+2 12
16.【答案】解：(1)由 2 + 2 15 > 0可得( + 5)( 3) > 0，解得 > 3或 < 5，
故不等式的解为{ | > 3或 < 5}，
(2)由( 3)2 4( 3) 5 < 0可得[( 3) 5][( 3) + 1] < 0，
即( 8)( 2) < 0，解得2 < < 8，
故不等式的解为{ |2 < < 8}
第 4 页，共 6 页
3 +1 1 3 +1 1 7 1 1
(3)由 ≤ 得 ≤ 0 ≥ 0，故 > 3或 ≤ ，
3 2 3 2 2( 3) 7
1
故不等式的解为{ | ≤ 或 > 3}
7
17.【答案】解：(1)由题意可知， = (2,4)，
当 = 3时， = (3,6)．
则 ∩ = (3,4)．
(2)若 是 的必要条件，即 ，
可知 ，由 = { | < < + 3}， = (2,4)，
≤ 2
从而可得{ 1 ≤ ≤ 2，
+ 3 ≥ 4
所以实数 的取值范围是[1,2]．
18.【答案】解：(1)设二次函数 ( ) = 2 + + ，
则 ( + 1) ( ) = ( + 1)2 + ( + 1) + ( 2 + + ) = 2 + + ，
而 ( + 1) ( ) = 2 1，
可得2 + + = 2 1，
2 = 2
则{ ，解得 = 1， = 2，
+ = 1
则 ( ) = 2 2 + ，又 (1) = 1 = 0，解得 = 1，
所以 ( )的解析式是 ( ) = 2 2 + 1；
(2) ( ) = 2 2 + 1 = ( 1)2，开口向上，对称轴 = 1，
∈ [0, ]时，
因为 (0) = 1， ( ) = (1) = 0，由二次函数的对称性可得 (2) = 1，
所以 ( )在[0, ]上的值域为[0,1]时，即1 ≤ ≤ 2．
即 的取值范围为[1,2]．
19.【答案】解：(1) ∵二次函数 ( ) = 2 + ( , ∈ )， (1) = 1；∴ + = 1①，
又不等式 ( ) ≤ 2 + 1对一切实数 恒成立，
可得( 1) 2 + + 1 ≤ 0对一切实数 恒成立，
当 1 = 0时， + 1 ≤ 0不恒成立，所以 = 1不合题意，舍去，
当 1 ≠ 0时，要使得( 1) 2 + + 1 ≤ 0对一切实数 恒成立，
1 < 0
需要满足{ ，②
1 4( 1)( 1) ≤ 0
1 1
由①②解得 = ， = ，
2 2
第 5 页，共 6 页
1 1
故函数 ( )的解析式为： ( ) = 2 + ；
2 2
1 1
(2)把 ( ) = 2 + 代入函数 ( ) = 2 ( ) 2，得 ( ) = 2 1，
2 2
3
则关于 的不等式 ( 1) + 4 ( ) ≤ ( ) 4 2 ( )在 ∈ [ , +∞)有解，
2
2
即为4( 2 1) + ( 1)2 1 ≤ 2 1 + 4
2( 2 1)，

2
即 2 4
2 2 ≥ ( 1)2 4，

1 2 3 2 3可得 2 4 ≥ 2 + 1在 ∈ [ , +∞)上有解， 2
3 2 1 1 4
由 = 2 + 1 = 3( + )
2 + ，
3 3
3 1 2
由 ∈ [ , +∞)，可得0 < ≤ ，
2 3
3 2 2 1 4 5
则 = 2 + 1的最小值为 3( + )
2 + = ，
3 3 3 3
1 5
即 4 2 ≥ ，即(3 2 + 1)(4 2 3) ≤ 0，
2 3
√ 3 √ 3
解得 ≤ < 0或0 < ≤ ．
2 2
第 6 页，共 6 页