中小学教育资源及组卷应用平台
专题3递推公式在求通项与求和中的应用--自检定时练--详解版
单选题
1.在数列中，已知对任意正整数n，有，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知等式可得n-1时等式，两式相减可得数列通项公式，进而可得为等比数列，即可利用等比求和公式求解.
【详解】由，
得，∴．
∵，∴，∴，
∴是以1为首项，4为公比的等比数列．
∴．
故选：D．
2.设数列的前n项和，数列的前m项和，则m的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．20
【答案】A
【分析】由结合题意可得，再由裂项求和法可化简，即可得答案.
【详解】由，
又，
则，
又时，，则.
则，
则.
令.
故选：A
3.设数列满足（），则数列的前2023项和为（ ）
A．2023 B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据求出数列得通项，再利用裂项相消法求解即可.
【详解】由①，
当时，，
当时，②，
由①②得，所以，
当时，上式不成立，
所以，
则，
故数列的前2023项和为
.
故选：C.
4.已知正项数列的前项和为，且，则（ ）
A．4049 B．4047 C．2025 D．2024
【答案】A
【分析】根据计算化简得出数列是首项为2，公差为1的等差数列，进而得出通项公式即可求解.
【详解】当时，，即，
由数列为正项数列可知，，又，即数列是首项为2，公差为1的等差数列，
即，则，
当时，；
所以.
故选：A.
5．已知数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先应用得出，再应用累乘法得出通项公式，代入即可求值.
【详解】由题得，即，
所以，
将上面个式子两端分别相乘，
可得，
即，
所以．
故选：B.
6.若数列满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由与的关系求得，从而为常数列， 得到，即可求的值.
【详解】由及得，
即，
即，
所以，即为常数列，
又，所以，即，
所以，
所以.
故选：B
多选题
7.数列的前项和为，若，，则有（ ）
A． B．为等比数列
C． D．为等比数列
【答案】AD
【分析】利用求出可判断BC；求出可判断AD.
【详解】，当时，，
两式相减得，，即，
当时，，
数列从第二项起为公比为3的等比数列，故B错误；
，故C错误；
由当时，，所以，
又满足上式，所以，故A正确；
由得，又，
为等比数列，故D正确.
故选：AD.
8.设为数列的前n项和.若，则（ ）
A． B．数列为递减数列 C． D．
【答案】BC
【分析】A选项，利用得到为公比为2的等比数列，求出；B选项，当时，，B正确；C选项，计算出，得到C正确；D选项，利用等比数列求和公式计算出，，D错误.
【详解】A选项，当时，，解得，
当时，，
故，
所以为公比为2的等比数列，，A错误；
B选项，当时，，
故，所以为递减数列，B正确；
C选项，，，，
故，C正确；
D选项，，，
故，D错误.
故选：BC
填空题
9.若数列的前n项和为，则通项公式 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用分段求解即可.
【详解】数列的前n项和为，
当时，，
当时，，不满足上式，
所以.
故答案为：
10.已知数列的前n项和为，且满足，，则 .
【答案】
【分析】由公式且)化简可证明为等差数列，求出首项和公差即可知道的通项，进而可求.
【详解】因为，所以，
所以，所以是等差数列，公差为3，又，
所以，即.
故答案为：.
解答题
11.已知数列的前n项和为S，且，．数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的通项公式及．
【答案】(1)；
(2)；.
【分析】（1）根据已知化简再应用计算得出进而得出的通项公式；
（2）应用（1）累加法求出通项，再等差数列前n项和公式计算即可.
【详解】（1）因为，所以，
当时，，所以，
当时，，
作差得，
所以，
所以，
所以.
（2）当时，因为，
所以，，，
所以累加法得出，
所以，所以，
当时，，所以，
所以，
所以.
12．已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据的关系式可得数列为等比数列，可得的通项公式；
（2）利用分组求和法以及错位相减法计算即可得出结果.
【详解】（1）由可得，
两式相减可得，即，
因此可得，易知，所以，
又可得，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
即，所以；
又满足，
即的通项公式为
（2）由（1）可得，
所以，
记，
则；
两式相减可得，
所以，
因此.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题3递推公式在求通项与求和中的应用--自检定时练--学生版
【1】知识清单
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议40分钟)
单选题
1.在数列中，已知对任意正整数n，有，则（ ）
A． B． C． D．
2.设数列的前n项和，数列的前m项和，则m的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．20
3.设数列满足（），则数列的前2023项和为（ ）
A．2023 B． C． D．
4.已知正项数列的前项和为，且，则（ ）
A．4049 B．4047 C．2025 D．2024
5．已知数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
6.若数列满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
多选题
7.数列的前项和为，若，，则有（ ）
A． B．为等比数列
C． D．为等比数列
8.设为数列的前n项和.若，则（ ）
A． B．数列为递减数列 C． D．
填空题
9.若数列的前n项和为，则通项公式 ．
10.已知数列的前n项和为，且满足，，则 .
解答题
11.已知数列的前n项和为S，且，．数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的通项公式及．
12．已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C A B B AD BC
【答案】
10.【答案】
11.【答案】(1)；
(2)；.
12.【答案】(1)
(2)
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
