青海省西宁市第五中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

青海省西宁市第五中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
+ = 1
1.方程组{ 的解集是( )
= 1
A. { = 0, = 1} B. {0,1}
C. {(0,1)} D. {( , )| = 0或 = 1}
2.已知函数 ( ) = 2 8，在[5,10]上是单调函数，则 的取值范围是( )
A. ( ∞, 10] B. [20, +∞)
C. ( ∞, 10] ∪ [20, +∞) D.
3.若集合 = { | = 2 2}， = { |log2 < 1}，则 ∩ =( )
A. ( ∞, 2) B. [ 2, +∞) C. [ 2,2) D. (0,2)
2
4.不等式 ≥ 2的解集为( )

A. ( ∞, 2] B. ( 2, +∞] C. [ 2,0) D. (0, +∞)
√ 1
5.函数 ( ) = 的定义域为( )
1
A. ( , +∞) B. (1, ] C. ( ∞, 1) D. (0,1) ∪ (1, ]
6.已知 ( )是定义在 上的偶函数，且在(0, +∞)上是增函数，若 ( 3) = 0，则 ( ) > 0的解集是( )
A. ( 3,0) ∪ (3, +∞) B. ( ∞, 3) ∪ (3, +∞)
C. ( ∞, 3) ∪ (0,3) D. ( 3,0) ∪ (0,3)
2 1
7.已知 > 0， > 0，且 + = 1，若 + 2 ≥ 2 + 2 恒成立．则实数的取值范围是( )

A. ( ∞, 2] ∪ [4, +∞) B. ( ∞, 4] ∪ [2, +∞)
C. [ 2,4] D. [ 4,2]
1
8.已知指数函数 = ( ) ，当 ∈ (0, +∞)时，有 > 1，则关于 的不等式log ( 1) ≤ log (6 )的解集
为( )
7 7 7 7
A. [ , +∞) B. ( ∞, ] C. (1, ] D. [ , 6)
2 2 2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若 < < 0列结论正确的是( )
1
A. 2 < 2 B. < 2 C. ( )
1
< ( ) D. + > 2
2 2
10.下列各项说法正确的有( )
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A. 2 = 可以表示 是 的函数
B. = 2， ∈ 与 = 2， ∈ 是相同函数
2, ≥ 0
C. ( ) = { 2 是奇函数 , < 0
1
D. ( ) = 在定义域内是减函数

11.下列说法正确的是( )
A. ∩ ≠ 是 的既不充分也不必要条件
1 1
B. “ > ”是“ < ”的既不充分也不必要条件

C. 若 ， ∈ ，则“ 2 + 2 ≠ 0”是“ ， 不全为0”的充要条件
D. “ > > 0”是“ > ( ∈ , ≥ 2)”的充要条件
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若命题“ ∈ ， 2 + 2 + 1 0”是假命题，则实数 的取值范围是______．
13.已知幂函数 ( ) = ( 2 5 + 7) +1， ∈ 且 ( )为偶函数，则 ( )的解析式______．
, > 1
14.已知函数 ( ) = { 是 上的增函数，则实数 的取值范围是 ．
(4 ) + 2, ≤ 1
2
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合 = { | > 3 + 1}，集合 = { | 2 5 + 6 > 0}．
(1)当 = 3时，求 ∩ ；
(2)若 ∪ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题12分)
2
(1)解不等式 > 1；
+3
(2)已知 是实数，试解关于 的不等式： 2 + ( 1) ≥ 0．
17.(本小题12分)
+ 1 3
已知定义在( 1,1)上的奇函数 ( ) = 2 满足 ( ) = ． 1 3 8
(1)求 ( )的解析式；
(2)证明：函数 ( )在( 1,1)上单调递减；
(3)求关于 的不等式 (2 1) + ( ) > 0的解集．
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18.(本小题12分)

∣ 11
∣ 11 12 13∣
12
定义：二阶行列式∣ ∣∣ ∣∣ = 11 22 12 21；三阶行列式 =
∣ 21 22 23∣∣ ∣， 的某一元素 的余子21 22 ∣ 31 32 33∣
式 指的是在 中划去 所在的行和列后所余下的元素按原来的顺序组成的二阶行列式.现有三阶行列式
∣ln( 1) 1 2∣
∣ ∣
∣
∣ln(3 ) 1
2 ∣．
∣
∣ 2 0 2 ∣
(1)若元素1的余子式 22 = 0，求 的值；
(2)记元素2的余子式 33为函数 ( )，求 ( )的单调减区间．
19.(本小题12分)
我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式： ， ∈ ， 2 + 2 ≥ 2 ，当且仅当 = 时，等号成立.我
们从不等式 2 + 2 ≥ 2 出发，可以得到一个非常优美的不等式— —柯西不等式，柯西不等式的一般形式
为： 1， 2， ， ， 1， 2， ， ∈ ，且 ≠ 0，(
2 2 2 2 2 2
1 2 1 + 2 + + )( 1 + 2 + + ) ≥ ( 1 1 +

2 1
2
2 2 + + ) ，当且仅当 = = =
时，等号成立．
1 2
(1)若 + 2 + 2 = 3√ 3，求 2 + 2 + 2的最小值；
(2)求√ + √ 3 32 + √ 17 的最大值；
(3)若 > 3， > 3，不等式 3 + 3 3 2 3 2 ≥ ( 3)( 3)恒成立，求 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】[0,1)
13.【答案】 ( ) = 4
14.【答案】[4,8)
15.【答案】解：(1)当 = 3时，集合 = { | > 8}，集合 = { | 2 5 + 6 > 0} = { | < 2或 > 3}，
所以 ∩ = { | 8 < < 2或 > 3}；
(2)因为 ∪ = ，则 ，
2
所以3 + 1 ≥ 3，解得 ≥ ，
3
2
所以实数 的取值范围为[ , +∞)．
3
2 2 1 1
16.【答案】解：(1) 1 = > 0，则(2 + 1)( + 3) < 0，可得 3 < < ，
+3 +3 2
1
所以不等式解集为( 3, )；
2
(2) 2 + ( 1) = ( + )( 1) ≥ 0，
当 < 1，即 > 1时，解集为( , 1)；
当 = 1，即 = 1时，解集为 ；
当 > 1，即 < 1时，解集为(1, )；
综上，当 > 1时，解集为( , 1)；当 = 1时，解集为 ；当 < 1时，解集为(1, )．
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+ 1 3
17.【答案】解：定义在( 1,1)上的奇函数 ( ) = 2 满足 ( ) = ． 1 3 8
(1)因为 ( )为奇函数，所以 (0) = 0，即 = 0；
1 3 3
因为 ( ) = = ，所以 = 1，经检验函数是奇函数，
3 8 8

所以 ( )的解析式为 ( ) = ．
2 1
(2)证明： 1， 2 ∈ ( 1,1)，且 1 < 2，
因为 1 < 1 < 2 < 1，所以 1 2 < 0，1 + 1 2 > 0，
2
2 1 < 0，
2
1 1 < 0，
( 2 1) ( 2 1) ( )(1+ )
( 2) ( 1) =
2 1 = 2 1 1 2 1 2 1 2
2 1 2 1 ( 2 2
= 2 2 < 0，
2 1 2 1)( 1 1) ( 2 1)( 1 1)
所以 ( 2) ( 1) < 0，即 ( 2) < ( 1)，
所以函数 ( )在( 1,1)上单调递减；
(3)因为 ( )为奇函数，所以 (2 1) + ( ) > 0等价于 (2 1) > ( )，
2 1 <
1
因为 ( )在( 1,1)上单调递减，所以{ 1 < 2 1 < 1，解得0 < < ，
3
1 < < 1
1
即不等式的解集为(0, )．
3
∣ln( 1) 1 2∣
18. ∣ ∣【答案】解：(1)根据题意，三阶行列式∣ln(3 ) 1 2 ∣， ∣ ∣
∣ 2 0 2 ∣
ln( 1) 2
则元素1的余子式 = ∣∣ ∣22 ∣ ∣∣ = 2 ( 1) + 2 2 = 2 [2( 1)]， 2 2
3
若 22 = 0，则2 [2( 1)] = 0，解可得 = ； 2
3
故 = ；
2
∣ln( 1) 1 2∣
∣ ∣
(2)根据题意，三阶行列式∣
∣ln(3 ) 1
2 ∣，
∣
∣ 2 0 2 ∣
∣ln( 1) 1∣
元素2的余子式 33 = ∣ ∣ = ln( 1) + ln(3 )， ∣ln(3 ) 1 ∣
则函数 ( ) = ln( 1) + ln(3 )，
1 > 0
则有{ ，解得1 < < 3，所以 ( )的定义域为(1,3)，
3 > 0
则 ( ) = ln( 2 + 4 3)， ∈ (1,3)，
令 = 2 + 4 3 = ( 2)2 + 1， ∈ (0,1]，
则当 ∈ (1,2]，函数 = 2 + 4 3单调递增；
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当 ∈ [2,3)，函数 = 2 + 4 3单调递减，
又 = ， ∈ (0,1]单调递增，
所以 ( )在(1,2]上单调递增，在[2,3)上单调递减；
故 ( )单调减区间为[2,3)．
19.【答案】解：(1) ∵柯西不等式可得( 2 + 2 + 2)(12 + 22 + 22) ≥ ( + 2 + 2 )2，
又 + 2 + 2 = 3√ 3，
∴ ( 2 + 2 + 2)(12 + 22 + 22) ≥ (3√ 3)2，即得 2 + 2 + 2 ≥ 3．
√ 3 2√ 3
当且仅当 = , = = 取最小值3，
3 3
∴若 + 2 + 2 = 3√ 3，则 2 + 2 + 2的最小值为3；
1
(2) ∵柯西不等式可得[ + 3 32 + 4(17 )][12 + 12 + ( )2] ≥ (√ + √ 3 32 + √ 17 )2，
2
又 + 3 32 + 4(17 ) = 36，
1
∴ 36[12 + 12 + ( )2] ≥ (√ + √ 3 32 + √ 17 )2，
2
即得(√ + √ 3 32 + √ 17 )2 ≤ 81，化简得√ + √ 3 32 + √ 17 ≤ 9，
当且仅当 = 16，取等号，
∴ √ + √ 3 32 + √ 17 的最大值为9；
(3) ∵ 3 + 3 3 2 3 2 ≥ ( 3)( 3)，
2 2
2 ∴ ( 3) + 2( 3) ≥ ( 3)( 3)，∴ + ≥ ，
3 3
2
2

∴ ≤ ( + ) ， 3 3
2
2

∵由柯西不等式，得( + )( 3 + 3) ≥ ( + )2，
3 3
又 > 3， > 3，∴ + > 6，令 = + 6，
2 2 2 2 ( + ) ( +6) 36 36
∴ ( + ) ≥ = = + + 12 ≥ 2√ × + 12 = 24，
3 3 + 6
2 2
∴ ( + ) = 24，当且仅当 = = 6取最小值24； 3 3
∴ 的取值范围是{ | ≤ 24}．
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