广西名校联盟2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

广西名校联盟 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“ > 0， 2 3 2 > 0”的否定是( )
A. > 0， 2 3 2 ≤ 0 B. ≤ 0， 2 3 2 ≤ 0
C. > 0， 2 3 2 ≤ 0 D. ≤ 0， 2 3 2 ≤ 0
2 2 + 3, ≥ 0
2.已知函数 ( ) = { ，则 ( ( 1)) =( )
+ 2, < 0
A. 6 B. 6 C. 4 D. 4
3.已知集合 = { | 2 < < 5}， = { |2 1 < < 2 + 6}，若 ∩ = { |3 < < 5}，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.函数 ( ) = 2 + 5在( 1, +∞)上单调递增，则 的取值范围是( )
A. ( ∞, 2] B. ( ∞, 1] C. [1, +∞) D. [2, +∞)
5.已知 = 0.91.2， = 1.10.9， = 1，则 ， ， 的大小关系是( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
6.甲、乙、丙三人进入某比赛的决赛，若该比赛的冠军只有1人，则“甲是冠军”是“乙不是冠军”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知 ( )是定义在 上的奇函数，且 ( )是(0, +∞)上的增函数，若 (4) = 0，则不等式 ( ) > 0的解集
是( )
A. ( ∞, 4) ∪ (0,4) B. ( 4,0) ∪ (4, +∞)
C. ( ∞, 4) ∪ (4, +∞) D. ( 4,0) ∪ (0,4)
2 2 +6
8.若 < 1，则 有( )
+1
A. 最小值4 B. 最小值2 C. 最大值 8 D. 最大值 10
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 > > ，则下列不等式不一定成立的是( )
A. > B. 2 2 > C. 3 > 3 > 3D. 2 > 2 > 2
10.函数 = ( 1) + 2 与 = ( > 0, ≠ 1)的大致图象可能是( )
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A. B.
C. D.
11.已知 ( )是定义在 上的奇函数，且 ( ) = (4 )，当0 < 2时， ( ) = 2 2 ，则( )
A. (3) = 1
B. ( )的图象关于直线 = 1对称
C. ( )的图象关于点(4,0)中心对称
D. 当4 6时， ( ) = 2 + 10 24
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1 1 √ 6
12.计算：(2 ) 2 + ( )2 = ______．
4 3
13.已知某商品的原价为 元，由于市场原因，先降价 %(0 < < 100)出售，一段时间后，再提价 %出售，
则该商品提价后的售价______该商品的原价. (填“高于”“低于”或“等于”)
2 + 2, > 1
14.已知函数 ( ) = { 是 上的增函数，则 的取值范围是______．
(4 2 ) , ≤ 1
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合 = { | 3 < < 5}， = { |2 + 1 < 2 + 7}．
(1)当 = 1时，求 ∪ ， ∩ ；
(2)若 ∩ = ，求 的取值范围．
16.(本小题12分)
已知幂函数 ( ) = ( 2 3 3) 1是奇函数．
(1)求 ( )的解析式；
(2)若不等式(3 3) 1 < ( 2 ) 1成立，求 的取值范围．
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17.(本小题12分)
已知 > 0， > 0，且 + = 4．
(1)求 的最大值；
2 8
(2)求 + 的最小值．

18.(本小题12分)
已知 ( )是定义在(0, +∞)上的函数， > 0， > 0， ( ) = ( ) + ( )，且当 > 1时， ( ) < 0．
(1)求 (1)的值．
(2)证明： ( )是(0, +∞)上的减函数．
1
(3)若 (2) = 3，求不等式 ( 7) ( ) > 9的解集．

19.(本小题12分)
已知 ( )是定义在 上的函数，对任意的 ∈ ，存在常数 > 0，使得 ( ) 恒成立，则称 ( )是 上的
受限函数，其中 称为 ( )的限定值．
(1)若函数 ( ) = 2 2 + 5在(0, ]上是限定值为8的受限函数，求 的最大值；
(2)若函数 ( ) = √ 4 2 + 2，判断 ( )是否是限定值为4的受限函数，请说明理由；
(3)若函数 ( ) = 2 +1 4 在[0,1]上是限定值为9的受限函数，求 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
4
12.【答案】
3
13.【答案】低于
14.【答案】[1,2)
15.【答案】解：集合 = { | 3 < < 5}， = { |2 + 1 < 2 + 7}．
(1)当 = 1时， = { |3 < ≤ 9}，
则 ∪ = { | 3 < ≤ 9}， ∩ = { |3 < < 5}；
(2)由 ∩ = ，得2 + 1 ≥ 5或2 + 7 ≤ 3，解得 ≥ 2或 ≤ 5，
所以 的取值范围是( ∞, 5] ∪ [2, +∞)．
16.【答案】解：(1) ∵幂函数 ( ) = ( 2 3 3) 1，∴ 2 3 3 = 1，即 2 3 4 = 0，
∴ ( 4)( + 1) = 0，解得 = 4或 = 1．
当 = 4时， ( ) = 3，此时 ( ) = 3 = ( )，∴ ( )是奇函数，则 = 4符合题意；
当 = 1时， ( ) = 2，此时 ( ) = 2 = ( )，∴ ( )是偶函数，则 = 1不符合题意．
故 ( ) = 3．
(2)由(1)可知 = 4，∴不等式(3 3) 1 < ( 2 ) 1，
即不等式(3 3)3 < ( 2 )3，
∵ = 3为增函数，
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∴ 3 3 < 2 ，即 2 4 + 3 > 0，
∴ ( 1)( 3) > 0，解得 > 3或 < 1，即 的取值范围是( ∞, 1) ∪ (3, +∞)．
17.【答案】解： > 0， > 0，且 + = 4，
(1)所以4 = + ≥ 2√ ，当且仅当 = 时，等号成立，解得 ≤ 4，
则 的最大值是4．
2 8 1 2 8 1 2 8 1 2 8 9
(2)因为 + = ( + )( + ) = ( + + 10) ≥ (10 + 2√ ) = ，
4 4 4 2
2 8 4 8
当且仅当 = ，即 = ， = 时，等号成立，
3 3
2 8 9
即 + 的最小值是 ．
2
18【. 答案】解： ( )是定义在(0, +∞)上的函数， > 0， > 0， ( ) = ( ) + ( )，且当 > 1时， ( ) < 0．
(1)令 = = 1，得 (1) = (1) + (1)，则 (1) = 0．
(2)证明：设 1 = > 0， 2 = > 0，且 1 > 2，则 > 1．
因为 ( ) = ( ) + ( )，所以 ( 1) ( 2) = ( ) ( ) = ( )．
当 > 1时， ( ) < 0，所以 ( 1) ( 2) < 0，所以 ( 1) < ( 2)，
则 ( )是(0, +∞)上的减函数．
(3)令 = = 2，得 (4) = (2) + (2) = 6．
令 = 2， = 4，得 (8) = (2) + (4) = 9．
因为 ( ) = ( ) + ( )，所以 ( ) ( ) = ( )，
1 1
所以 ( 7) ( ) = ( 2 7 )，则不等式 ( 7) ( ) > 9等价于不等式 ( 2 7 ) > (8)．

7 > 0,
1
由(2)可知 ( )是(0, +∞)上的减函数，则{ > 0,

2 7 < 8,
1
解得7 < < 8，即不等式 ( 7) ( ) > 9的解集为(7,8)．

19.【答案】解：(1)由于函数 ( )的限定值为8，因此函数 ( ) = 2 2 + 5 ≤ 8，
所以 2 2 3 ≤ 0，解得 1 ≤ ≤ 3．
由于函数 ( )是(0, ]上的受限函数，因此(0, ] [ 1,3]，
所以0 < ≤ 3，所以 的最大值是3．
(2)函数 ( )是限定值为4的受限函数，理由如下：
根据题意，得4 2 ≥ 0，所以 2 ≤ ≤ 2，
当 2 ≤ ≤ 2时，0 ≤ 4 2 ≤ 4，因此0 ≤ √ 4 2 ≤ 2，
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因此2 ≤ √ 4 2 + 2 ≤ 4，所以2 ≤ ( ) ≤ 4，
因此函数 ( )是[ 2,2]上的限定值为4的受限函数．
(3)由于函数 ( )在[0,1]上是限定值为9的受限函数，
因此函数 ( ) ≤ 9在[0,1]上恒成立，所以 2 +1 4 ≤ 9在[0,1]上恒成立，
9+4 1 9
因此 ≤ +1在[0,1]上恒成立，所以 ≤ (2
+ )在[0,1]上恒成立．
2 2 2
设 = 2 ，由于0 ≤ ≤ 1，因此 = 2 ∈ [1,2]，
9 9 13
易证函数 = + 在[1,2]上单调递减，所以

= 2 + = ．
2 2
13 13
因此 ≤ ，所以 的取值范围为( ∞, ]．
4 4
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