天津市第二中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

天津市第二中学 2024-2025 学年高二上学期 12 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知直线 的方程为√ 3 + 3 1 = 0，则直线的倾斜角为( )
A. 30° B. 60° C. 150° D. 120°
2 2
2.双曲线 ： = 1上的点 到左焦点的距离为9，则 到右焦点的距离为( )
16 20
A. 5 B. 1 C. 1或17 D. 17
3.已知两条直线 1： + + 6 = 0， 2：( 2) + 3 + 2 = 0，若 1与 2平行，则 为( )
A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 0
4.设 ， ∈ ，向量 = ( , 1,1)， = (1, , 1)， = (2, 4,2)且 ⊥ ， // ，则| + | =( )
A. 2√ 2 B. 3 C. √ 10 D. 4
5.已知圆 2 2 + 2 = 0( > 0)截直线 = 0所得弦长是2√ 2，则 的值为( )
A. √ 2 B. 2 C. √ 6 D. 3
6.如图：在平行六面体 1 1 1 1中， 为 1 1与 1 1的交点．若 = ，
= ， 1 = ，则下列向量中与 相等的向量是( )
1 1
A. + +
2 2
1 1
B. + +
2 2
1 1
C. +
2 2
1 1
D. +
2 2
2 2
7.设 是椭圆 ： + = 1上的上顶点，点 在 上，则| |的最大值为( )
9 4
9√ 5
A. B. √ 15 C. √ 13 D. 4
5
2 2
8.已知 1， 2分别为双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左，右焦点，双曲线 上的点 满足| 1| = 2| 2|，
且 1的中点在 轴上，则双曲线 的离心率为( )
√ 3+1
A. B. √ 3 C. 2 D. √ 3 + 1
2
9.已知 是抛物线 2 = 4 上的一点，过点 作直线 = 3的垂线，垂足为 ，若 是圆 ：( + 3)2 + (
3)2 = 1上任意一点，则| | + | |的最小值是( )
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A. 3√ 5 1 B. 4 C. 5 D. 6
2 2
10.已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点 与抛物线
2 = 8 的焦点重合，过 作与一条渐近线平行

的直线 ，交另一条渐近线于点 ，交抛物线 2 = 8 的准线于点 ，若三角形 ( 为原点)的面积3√ 3，则
双曲线的方程为( )
2 2 2 2 2 2
A. = 1 B. = 1 C. 2 = 1 D. 2 = 1
12 4 4 12 3 3
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11.已知点 是抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点， 为坐标原点，若以 为圆心，| |为半径的圆与直线√ 3
+ 6 = 0相切，则抛物线 的方程为 ．
2 2
12.若双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为______．
13.平行六面体 1 1 1 1中，向量 、 、 1两两的夹角均为60°，且| | = 1，| | = 2，| 1 | =
3，则| 1 |等于 ．
14.已知圆 ：( 1)2 + ( 2)2 = 25，直线 ：(2 + 1) + ( + 1) 7 4 = 0， ∈ ，则直线 截
圆 所得弦长| |的最小值为 ．
2
15.已知直线 ： 9√ 5 = 0，点 为椭圆 ： 2 + = 1上的一个动点，则点 到直线 的距离的最小值
4
为______．
3 1 2
16.已知棱长为1的正方体 ，若点 在正方体内部且满足 = + + ，则点 到
4 2 3

的距离为______，正方体 ， 是平面 内一动点，若 与 所成角为 ，则动点 的轨迹
4
方程______．
三、解答题：本题共 3 小题，共 40 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知直线 ：( 1) 2 + 5 3 = 0( ∈ )恒过定点 ，圆 经过点 (5, 1)和点 ，且圆心在直线
2 + 2 = 0上．
(1)求定点 的坐标；
(2)求圆 的方程．
18.(本小题14分)
如图，在四棱锥 中， 是 的中点， // , ⊥ , ⊥平面 ，且 = 3， = = 2，
= 1．
(1)求证： ⊥ ；
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(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 夹角的大小．
19.(本小题14分)
2 2 √ 3 1
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)离心率等于 且椭圆 经过点 (√ 3, )． 2 2
(1)求椭圆的标准方程 ；
1
(2)若直线 = + 与轨迹 交于 ， 两点， 为坐标原点，直线 ， 的斜率之积等于 ，试探求△
4
的面积是否为定值，并说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】 2 = 8

12.【答案】
3
13.【答案】5
14.【答案】4√ 5
15.【答案】4√ 10
5
16.【答案】 2 + 2 + 1 4 4 4 = 0
6
17.【答案】解：(1)直线 ：( 1) 2 + 5 3 = 0( ∈ )可化为( 3) 2 + 5 = 0，
3 = 0
令{ 得 点坐标为(3,1)；
2 + 5 = 0
(2)设圆心在 的垂直平分线上，设 垂直平分线上的点为( , )，则√ ( 5)2 + ( + 1)2 =
√ ( 3)2 + ( 1)2，化简得： 4 = 0，
2 + 2 = 0
又因为圆心在直线 2 + 2 = 0上，所以{ ，
4 = 0
所以圆心坐标为(10,6)，半径 = √ (10 3)2 + (6 1)2 = √ 74，
所以圆的方程为：( 10)2 + ( 6)2 = 74．
18.【答案】证明：(1) ⊥ ， ⊥平面 ，
平面 ， 平面 ，
则 ⊥ ， ⊥ ，
以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
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= 3， = = 2， = 1， 是 的中点，
则 (0,0,0)， (2,0,0)， (0,3,0)， (0,0,2)， (1,0,1)， (2,1,0)，
故 = (0, 3,0), = (2,0, 2)，
则 = 2 × 0 + 0 × ( 3) + ( 2) × 0 = 0，
所以 ⊥ ，即 ⊥
(2)解： (0,3,0)， (2,1,0)， (0,0,2)， (1,0,1)，
= (2, 2,0), = ( 1, 1,1), = (2,0, 2), | | = 2√ 2，
设平面 的法向量 = ( , , )，
2 2 = 0
则{ = 0，即{ ，令 = 1，则 = 1， = 2，
= 0 + = 0
∴ = (1,1,2)，| | = √ 1 + 1 + 4 = √ 6，

设直线 与平面 所成的角为 ， ∈ [0, ]，
2

| | 2 √ 3则 = |cos , | = = = ，
| || | 2√ 2×√ 6 6
所以 与平面 所成角的正弦值为√ 3．
6
(3)解： (2,1,0)， (0,0,2)， (2,0,0)，
= (0,1,0), = ( 2, 1,2)，
= 0
设平面 的法向量 = ( , , )，则{ = 0，即{ ，
= 0 2 + 2 = 0
不妨令 = 1，则 = 1，即 = (1,0,1)，| | = √ 1 + 0 + 1 = √ 2．
又平面 的法向量 = (1,1,2), | | = √ 6，
设平面 与平面 夹角为 ，则 为锐角，
3 √ 3
∴ = |cos , | = | | = = ，
| || | √ 2×√ 6 2
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∴ = ，
6

故平面 与平面 夹角为 ．
6
19. √ 3
1
【答案】解：(1)因为离心率等于 且椭圆 经过点 (√ 3, )，
2 2
√ 3=
2
所以 3 1
2 + 2 = 1
，

4
{ 2 = 2 + 2
解得 2 = 4， 2 = 1，
2
则椭圆 的方程为 + 2 = 1；
4
(2)不妨设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= +
联立{ 2 2 2 2 ，消去 并整理得(1 + 4 ) + 8 + 4
2 4 = 0，
+ = 1
4
此时 = 64 2 2 4(1 + 4 2)(4 2 4) > 0，
即4 2 + 1 > 2，
8 4 2 4
由韦达定理得 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2，①
1+4 1+4
1
因为直线 ， 的斜率之积等于 ，
4
1
所以 = ， 4
1 2 1即 = ，
1 2 4
( + )( + ) 1
此时 1 2 = ，
1 2 4
2
1
2
整理得 2
+ ( 1+ 2)+ 1= ，②
1 2 4
联立①②，可得2 2 = 4 2 + 1，
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2 2
2 2 (1+ )(64 +16 16
2)
又| | = √ (1 + )[( 1 + 2) 4 1 2] = √ ， 2 2
(1+4 )
| |
而 点到直线 的距离 = 2， √ 1+
2
1 1 2(64 +16 16 2)
所以 △ = | | = √ 2 2 2 2(1+4 )
1 2 2 2
1 (4 +1)(64 +16 32 8)
= √ 2 2 2 = 1， 2 (1+4 )
故△ 的面积为定值，定值为1．
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