上海市上海师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

上海师范大学第二附属中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设 、 是全集 的两个子集， ，则下列式子成立的是( )

A. B. ∪ = C. ∩ = D. ∩ =
2.已知 、 、 都是实数，则下列命题中，真命题是( )
A. 若 > ，则 2
1 1
> 2． B. 若 > ，则 < ．

C. 若 > ，则√ > √ ． D. 若 2 > 2，则 > ．
3.下列四组函数中， ( )与 ( )表示同一函数的是( )
2 1
A. ( ) = 1, ( ) = B. ( ) = , ( ) = (√ )2
+1
0 , ≥ 0C. ( ) = ， ( ) = 1 D. ( ) = | |, ( ) = {
, < 0
( 3) + 7 + 2, < 1 ( ) ( )
4.已知 ( ) = { 2 在( ∞, +∞)上满足
1 2 < 0，则实数 的取值范围为( )
+ , ≥ 1 1 2
1 2 2
A. (0,3) B. [ , 3) C. [ , 3) D. ( , 3)
2 9 9
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。
5.已知集合 = { |0 < ≤ 3, ∈ }，用列举法表示集合 = ______．
6.设集合 = { | 2 < < 1}， = {0 ≤ ≤ 3}，则 ∩ = ______．
1
7.代数式5 化成分数指数幂为______．
√ 2
8.指数式2 = 化成对数式为______．
9.“ = 1”是“ 2 = 1”的______条件．(从“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充要”或“既不充
分也不必要”中选择适当的一种填空)
10.已知集合 = ( ∞, 3]， = [ , +∞)，若 ∪ = ，则实数 的取值范围是______．
11.若 ( ) = ( + 1) 2 + ( 1) + 2是闭区间[4 2 , + 1]上的偶函数，则 + = ______．
12.若集合{ | 2 + 4 + 1 = 0}只含有一个元素，则实数 的取值范围为______．
13.设 ( )是定义在 上的奇函数，当 ≤ 0时， ( ) = 2 2 ，则 (3) = ______．
14.已知关于 的不等式 2 + < 0的解集为( ∞, 4) ∪ ( 3, +∞)，则关于 的不等式 2 + + > 0
的解集为______．
15.已知 2 = ，用含 的代数式表示 125 = ______．
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16.设有两个命题：①方程 2 + + 9 = 0没有实数根；②实数 为非负数.如果这两个命题中有且只有一个
是真命题，那么实数 的取值范围是______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
求下列不等式或不等式组的解集：
3
(1) ≤ 1；
2 4
|1 2 | < 9
(2) { ．
2 12 > 0
18.(本小题12分)
已知全集 = [0,5]， = { | + 1 ≤ ≤ 2 1}．
(1)若 = 2，求 ∩ ；
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要非充分条件，求实数 的取值范围．
19.(本小题12分)
判断下列函数的奇偶性，并说明理由：
(1) = |3 + 2| + |3 2|．
(2) = √ 2 16 + √ 16 2．
20.(本小题12分)
7 2+2
已知函数 ( ) = ．
3
(1)求 [ (1)]的值；
5
(2)若 ( ) = 3 ( ) + ，试判断函数 ( )在(0,1)上的单调性，并说明理由．

21.(本小题12分)
随着中国经济的腾飞，互联网的快速发展，网络购物需求量不断增大．某物流公司为扩大经营，今年年初
用192万元购进一批小型货车，公司每年需要付保险费共计12万元，除保险费外，从第一年到第 年所需维
修费等各种费用总额为3 ( 1)万元，且该批小型货车每年给公司带来69万元的收入．
(1)该批小型货车购买后第几年开始盈利？
(2)求该批小型货车购买后年平均利润的最大值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】{1,2,3}
6.【答案】{ |0 ≤ < 1}
2
7.【答案】 5
8.【答案】 = log2
9.【答案】充分而不必要
10.【答案】( ∞, 3]
11.【答案】6
12.【答案】{0,4}
13.【答案】 21
1 1
14.【答案】( , )
4 3
15.【答案】3(1 )
16.【答案】( 6,0) ∪ [6，+∞)
3 3 7 (3 7)(2 4) ≥ 0 7
17.【答案】解：(1)由 ≤ 1得 ≥ 0，等价于{ ，解得 ≥ 或 < 2，
2 4 2 4 2 4 ≠ 0 3
7
故不等式的解集为{ | ≥ 或 < 2}；
3
(2)由不等式|1 2 | < 9得 9 < 1 2 < 9，解得 4 < < 5，
由不等式 2 12 > 0得 > 4或 < 3，
所以不等式组的解集为{ |4 < < 5或 4 < < 3}．
18.【答案】解：(1)当 = 2时， = {3}，又 = [0,5]，
所以 ∩ = {3}；
(2)因为“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要非充分条件，于是得 真包含于 ，
①当 = 时，2 1 < + 1，∴ < 2；
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2 1 ≥ + 1
②当 ≠ 时，由 真包含于 得{2 1 ≤ 5 (等号不能同时成立)，∴ 2 ≤ ≤ 3，
+ 1 ≥ 0
综上所述， 的取值范围是( ∞, 3]．
19.【答案】解(1)令 ( ) = |3 + 2| + |3 2|，定义域为 ，
所以 ( ) = | 3 + 2| + | 3 2| = |3 2| + |3 + 2|，
所以 ( ) = ( )，
所以函数 = |3 + 2| + |3 2|为偶函数；
(2)令 ( ) = √ 2 16 + √ 16 2，
2 16 ≥ 0
由{ ，可得 = 4或 = 4，
16 2 ≥ 0
当 = 4或 = 4时， ( ) = 0，
所以既有 ( ) = ( )，又有 ( ) = ( )，
所以函数 = √ 2 16 + √ 16 2既是奇函数又是偶函数．
7 2+2
20.【答案】解：(1)根据题意，函数 ( ) = ，
3
7+2
则 (1) = = 3，
3
7×9+2 65
所以 [ (1)] = (3) = = ，
9 9
5 7 2+7 1
(2)根据题意， ( ) = 3 ( ) + = = 7( + )，

函数 ( )在(0,1)上单调递减，证明如下：
设0 < 1 < 2 < 1，
1 1 1
则 ( 1) ( 2) = 7( 1 + ) 7( 2 + ) = 7( 1 2)(1 )， 1 2 1 2
1
由于 1 2 < 0， 1 2 < 1，则1 < 0， 1 2
故 ( 1) ( 2) > 0，即 ( 1) > ( 2)
所以 ( )在(0,1)上为减函数．
21.【答案】解：(1)由题意可得，69 192 12 3 ( 1) > 0，即 3 2 + 60 192 > 0，化简整理
可得， 2 20 + 64 < 0，解得4 < < 16，
故该批小型货车购买后第5年开始盈利．
(2)设该批小型货车购买 年后的年平均利润为 ，
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3 2+60 192 64 64
则 = = 3( + ) + 60 ≤ 3 × 2√ 64 + 60 = 12，当且仅当 = ，即 = 8时，等号成立，

故该批小型货车购买后年平均利润的最大值为12万元．
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