2024-2025学年福建省龙岩市非一级达标校联盟高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省龙岩市非一级达标校联盟高二（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线的焦距是( )
A. B. C. D.
2.已知数列，，，，，，，根据该数列的规律，是该数列的第( )
A. 项 B. 项 C. 项 D. 项
3.圆与圆的位置关系为( )
A. 相交 B. 外切 C. 相离 D. 内切
4.罗星塔是航海灯塔，是福州港口的标志，是国际上公认的海上重要航标之一，世界许多航海图上都标有罗星塔如图，该塔为七层仿楼阁式石塔，假设该塔底层第一层的底面直径为米，且每往上一层，底面直径减少米，则该塔顶层第七层的底面直径为( )
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
5.已知是双曲线的右焦点，则点到的渐近线的距离为( )
A. B. C. D.
6.若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.已知直线：及两点，，若直线与线段相交，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知，若直线上存在点，使得，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆：，下列结论正确的是( )
A. 过点且与圆相切的直线的方程为
B. 过点且与圆相切的直线的方程为
C. 直线：与圆交于，两点，则
D. 直线：与圆交于，两点，则
10.已知数列的前项和为，，则( )
A. B.
C. D. 的前项积
11.已知椭圆：与双曲线：有公共焦点，，与在第一象限的交点为，且，记，的离心率分别为，下列结论正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，则
C. 的最小值为
D. 记的内心为，的右顶点为，则轴
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线：，：，且，则 ______．
13.已知椭圆：的离心率为，左焦点为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为，则椭圆的标准方程为______．
14.在数列中，设数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等，且过点．
求直线的方程；
若圆经过原点和点，且圆心在直线上，求圆的方程．
16.本小题分
已知单调递增的等差数列满足．
求的通项公式；
求的前项和，并求的最小值及此时的值；
求使成立的的最小值．
17.本小题分
已知双曲线：的左、右焦点分别为，，的右顶点在圆上，且．
求的方程；
点在上，且轴，过点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求．
18.本小题分
已知数列满足，；数列满足，．
求，的通项公式；
设，求数列的前项和；
若满足不等式的正整数的个数为，求的取值范围．
19.本小题分
古希腊数学家阿波罗尼斯，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家他的著作圆锥曲线论是古代数学光辉的科学成果，其中一发现可表述为“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆如平面内动点到两个定点，的距离之比为定值，则点的轨迹就是阿氏圆，记为．
求的方程；
若与轴分别交于，两点，不在轴上的点是直线：上的动点，直线，与的另一个交点分别为，，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标．
参考答案
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15.解：不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等，且过点．
设直线的方程为，
因为直线过点，将点的坐标代入直线方程可得，
化简方程即，解得，
所以直线的方程为．
设圆的标准方程为，
因为圆经过原点和点，
将原点坐标代入圆的方程可得，
将点代入圆的方程可得，
又因为圆心在直线上，所以，
相减整理可得：
，即，
联立方程，解得，，
把，代入得，
所以圆的方程为．
16.解：单调递增的等差数列满足．
令的公差为，且，则，
所以，可得，则，
所以．
由可得，
当或时最小为．
由有，则，
又，故时成立，故的最小值为．
17.解：根据题意可知，又因为，所以，
又因为，，
根据，解得，
因此双曲线方程．
根据第一问知：，将代入双曲线，可得，
令，又因为双曲线渐近线为，如下图示，
因此，，所以．

18.解：，
时，，
所以，
而，综上所述的通项公式为；
因为，，所以是首项为，公比为的等比数列，从而；
由，
可得；
令，则，
从而，注意到，
因为满足不等式的正整数的个数为，
所以可得的取值范围是．
19.解：设，根据，
得，即，
所以的方程为；
根据圆的对称性，不妨设，，
设，则，，
所以直线的方程为，直线的方程为，
设，，
联立方程得，
所以，即，
则，所以，
联立方程得，
所以，即，
则，所以，
当时，，
所以直线的方程为，
化简得，所以直线过定点，
当时，，此时直线过定点，
综上，直线过定点．
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