(共16张PPT)
人教2019A版必修 第一册
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第五章 三 角 函 数
授课教师：
黟县中学 郭启光
问题探究
１.两角差的余弦公式
如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α＋β，α－β的正弦、余弦吗？
下面，我们来探究cos(α－β)与角α，β的正弦、 余弦之间的关系
不妨令kπ＋β，k∈Z． 如图5.5.1，设单位圆与轴的正半轴相交于点A（１，０），以轴非负半轴为始边作角α，β，α—β。
１.两角差的余弦公式
它们的终边分别与单位圆相交于点(cosα，sinα)， cosβ，sinβ)，P(cos(α－β)，sin(α－β))．
根据圆的旋转对称性可知，
与重合，从而， 所以AP＝
连接，AP．若把扇形OAP绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点 重合．
根据两点间的距离公式，得
+=+，
化简得:
=+
当kπ＋β （k∈Z）时，容易证明上式仍然成立．
所以，对于任意角α，β有
=+
此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，
称为差角的余弦公式，简记作Ｃ(α－β).
１.两角差的余弦公式
D
达标检测
C
证明: (1)= +
=0＋1×
=．
(2)= +
=(-1)×．
＝－ ．
例１ 利用公式证明：
（１）=
（２）= ．
典例解析
证明: (1)= +
=0＋（-1）×
=．
(2)=
=+
=1×．
＝．
利用公式证明：
（１）=
（２）= ．
跟踪训练
解：由，∈(,),得
又由，是第三象限角，得．
所以=+
=() ×()+() ×()
=
例２ 已知，∈(,), ，是第三象限角，求的值．
已知 ，θ是第二象限角，求 的值．
1
已知 ，且 ， ，
求 的值．
2
答案： ．
答案： ．
达标检测
思考？
课堂小结
课堂小结
人教A版必修第一册5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
（第一课时）教学设计
授课教师：黟县中学 郭启光
教学目标
1．经历探索两角差余弦公式的过程，发展学生逻辑推理素养．
2．掌握公式，初步体会公式的意义，发展学生逻辑推理、数学运算素养．
教学重难点
教学重点：经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义．
教学难点：发现差角余弦公式与圆的旋转对称性间的联系．
课前准备
PPT课件．
教学过程
一、创设情景，引入新课
引导语：本节我们主要的研究内容是：三角恒等变换，即在不改变含有三角函数的式子的值的前提下，对式子变形．三角恒等变形在求值、化简、证明中有着十分广泛的应用．之前我们学习过的同角三角关系和诱导公式，都是三角恒等变换的重要工具．今天我们在此基础上学习新的恒等变换公式．
活动一、问题1：我们知道 ，，由此我们能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？
根据第一章所学的知识可知猜想是错误的！
如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α＋β，α－β的正弦、余弦吗？
引入新课
二、新授课
活动二：探究cos（α－β）与角α，β的正弦、 余弦之间的关系．
问题1:写出P,A1,P1的坐标，A1P1与AP相等吗？
提示：平面上任意两点,P1（x1,y1）, P2（x2,y2）间的距离公式为：
P1P2=
由此得到
达标检测
1．Cos15°等于( )
A． B． C． D．
2．cos43°cos13°＋sin43°sin13°的值为( )
A． B．－ C． D．－
例1：教材216页 证明：（1）
（2）
达标检测
证明：（1）
（2）cos(-α)=cosα
例2：教材216页
已知sinα＝，α∈（），cosβ＝－,β是第三象限角，求cos（α－β）的值．
解：因为，
由此得
又因为是第三象限角，
所以
所以
达标检测
1．已知，是第二象限角，求的值．
2．已知，且，，求的值．
预设答案：1． ； 2．．
设计意图：通过两个比较简单的求值问题，促使学生巩固同角三角关系及公式，提升数学运算素养．可对学生是否达到目标“能否运用公式解决简单的三角恒等变换问题”提供评测依据．
思考：1. 已知锐角α，β满足cos α＝， cos(α＋β)＝－，则cos β等于( )
A． B．－ C． D．－
2．已知α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝，求α－β.
三、课堂小结
1.要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.
2.牢记公式
3.注意答题格式的规范性。
设计意图：回顾反思，在头脑中形成思维网络．
四、课下作业
1.整理笔记
2.课后作业 教材228页习题5.5 1，2
3
