高数人教A版（2019）选择必修第二册 5.2.3 简单复合函数的导数课件（22页ppt）

(共22张PPT)
选择必修
第五章 一元函数的导数及其应用
5.2 导数的运算
5.2.3 简单复合函数的导数
教学目标
学习目标 数学素养
1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 1.数学运算素养和逻辑思维素养.
2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 2.数学运算素养和逻辑思维素养.
温故知新
1.基本初等函数的导数公式
①若f (x)＝c（c为常数）,
则f '(x)＝0；
②若f (x)＝(α∈Q，且α≠0),
则f '(x)＝；
③若f (x)＝,
则f '(x)＝；
④若f (x)＝,
则f '(x)＝；
⑤若f (x)＝(a>0，且a≠1),
则f '(x)＝；
特别地，若f (x)＝,
则f '(x)＝；
⑥若f (x)＝(a>0，且a≠1),
则f '(x)＝；
特别地，若f (x)＝,
则f '(x)＝.
温故知新
2.导数的四则运算法则：
导数的运算法则1
[f(x)±g(x)]′=f'(x)±g'(x).
导数的运算法则2
[f(x) g(x)]′=f′(x) g(x)+f (x) g′(x)；
(g(x)≠0).
导数的运算法则3
[cf(x)]′=cf′(x) .
.
新知探究
若设，则y=lnu，从而函数y=ln(2x－1)可以看成是由y=lnu和复合而成的一个复合函数.
函数y= ln(2x－1)不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的, 所以无法用现有的方法求它的导数. 下面, 我们先分析这个函数的结构特点.
y=f(u)=f(g(x))= ln(2x－1).
如果把y与u的关系记作y=f(u)，u与x的关系记作u=g(x)，那么这个“复合”过程可表示为
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数(composite function).
记作：y=f(g(x)).
如何求函数y=ln(2x－1)的导数？
新知探究
如何求复合函数的导数呢 我们先来研究y=sin2x的导数.
我们遇到的许多函数都可以看成由两个函数经过“复合”得到的.例如函数y= ln(2x－1)由y=lnu和复合而成的.又如y=sin2x是由y=sinu和u=2x复合而成.
以表示对的导数，表示对的导数，表示的导数，一方面，
一个合理的猜想是，函数y=sin2x的导数一定与函数y=sinu，u=2x的导数有关.
，
新知探究
如何求复合函数的导数呢 我们先来研究y=sin2x的导数.
以表示对的导数，表示对的导数，表示对的导数，一方面，
一个合理的猜想是，函数y=sin2x的导数一定与函数y=sinu，u=2x的导数有关.
，
另一方面 = ， =2，
可以发现 .
知新探究
复合函数的导数法则：
一般地，对于由y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数 y=f(g(x))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为
y′x＝y′u·u′x.
写成：
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积，简单的理解就是复合函数的导数等于内外函数的导数之积.
⑶求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导．
注意
⑴中间变量的选择应是基本初等函数的结构；
⑵求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；
知新探究
【例1】求下列函数的导数：
⑴y＝; ⑵ ;
⑶.
解：
⑴设
⑵设则
∴y′x=
.
.
∴y′x=
.
.
知新探究
【例1】求下列函数的导数：
⑴y＝; ⑵ ;
⑶.
解：
⑶设则
∴y′x=
.
．
知新探究
注意：
⑴观察函数结构，识别构成复合函数的基本初等函数；
⑵引入中间变量，运用基本初等函数的求导公式与复合函数的求导法则运算；
⑶用中间变量关于自变量的函数替换掉中间变量，得到关于自变量的导数.
求复合函数的一般步骤
①计算过程要发挥中间变量的作用，确保准确识别函数结构，选对求导公式；
②最后结果写成关于的函数，不再出现中间变量.
初试身手
⑴设
1.求下列函数的导数:
⑴y＝ ; ⑵y＝2;
⑶y＝; ⑷y＝.
解：
⑵设.
∴y′x=
.
∴y′x=
.
初试身手
⑶设
1.求下列函数的导数:
⑴y＝ ; ⑵y＝2;
⑶y＝; ⑷y＝.
解：
⑷设.
∴y′x=
.
∴y′x=
.
知新探究
【例2】求下列函数的导数:
⑴; ⑵ .
解：
⑴y'=
=.
=
⑵y'=
.
.
初试身手
⑴∵y=，
2.求下列函数的导数:
⑴y＝; ⑵y＝．
解：
∴y'＝．
⑵∵y＝
.
.
∴y'＝
.
知新探究
【例3】某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的关系为.求函数y在t=3时的导数，并解释它的实际意义.
解：
函数可以看作函数的复合函数，根据复合函数的求导法则，得
.
＝
＝
＝．
当t=3时,.
它表示t=3s时,弹簧振子振动的瞬时速度为0 mm/s.
初试身手
∴
3.某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)＝(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义.
解：
∴．
表示当t=18h时，潮水的高度上升相等速度为 m/h．
设
课堂小结
1.复合函数的概念
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数(composite function).
记作：y=f(g(x)).
2.复合函数的导数法则
一般地，对于由y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数 y=f(g(x))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为
y′x＝y′u·u′x.
写成：
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积，简单的理解就是复合函数的导数等于内外函数的导数之积.
作业布置
作业： P81-82 习题5.2 第2,9，10，11,12题
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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