(共14张PPT)
高中数学 人民教育出版社 A版 选择性必修 第二册
第四章 数列
4.2.1 等差数列的概念（第一课时）
复习引入
思考：我们是按照什么流程来学习函数的？对我们下一步学习数列有什么启发？
数列
概念
表示
前n项和公式
数列是一种特殊的函数
列表、图象、通项公式、递推公式
an与Sn 的关系
新知探究一
问题1：你能发现下列数列的取值规律吗？
北京天坛圜丘坛的地面从内到外各圈的石板数依次为：
9，18，27，36，45，54，63，72，81． ①
(2) S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是：
38，40，42，44，46，48． ②
(3)测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m
起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为：
25.0，24.4，23.8，23.2，22.6． ③
新知探究一：等差数列的相关概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
1. 等差数列的定义
an－an-1 = d (d为常数, n≥2 , n∈N*)或 an+1－an = d (d为常数, n∈N*)
(递推公式)
符号语言
判断下列数列是否为等差数列 如果是，写出它的公差d？
（1）5，9，13，17，21；
（2）14，12，10，8，6；
(3) 1，－2，3，－4，5，－6；
（4）5，5，5，5，5，5；
(5) -8,-6,-4.
概念辨析
新知探究一：等差数列的相关概念
2. 等差中项
若三个数a, A, b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项.
计算：下列两个数的等差中项分别是什么？
任意两个数的等差中项即为它们的算术平均数,
3.5
-6
此时, 2A= a+b.
问题2：若三个数a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？
新知探究二：等差数列的通项公式
问题3：已知等差数列{an}的首项为a1 ，公差为d ，你能根据等差
数列的定义推导它的通项公式吗？
3. 等差数列的通项公式
首项为a1 ，公差为d的等差数列{an}的通项公式为：
an＝a1＋(n － 1)d (n∈N* )．
新知探究三：等差数列与一次函数的关系
问题4：观察等差数列的通项公式 ，你认为它与我们熟悉的哪一类
函数有关？
an＝a1＋(n－1)d
＝dn＋(a1－d)
当d≠0时，an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d) (x∈R)
当x＝n时的 函数值，即an＝f (n)；
当d＝0时，an＝a1是常函数.
1
2
a1
3
4
5
a2
a3
a4
a5
x
f(x)
O
f(x)＝dx＋(a1－d)
等差数列{an}的图象是点(n, an)组成的集合, 这些点均匀分布在直线 f(x)＝dx＋(a1－d)上，直线的斜率为公差d.
问题5：由一次函数f(x)＝kx＋b（k，b为常数）得到的数列an＝ kn＋b一定为等差数列吗？
新知探究三：等差数列与一次函数的关系
a1＝f(1)＝k＋b，
当n≥2时，an－an－1＝kn＋b －[k(n－1)＋b]＝k.
数列{an}是以(k＋b)为首项，k为公差的等差数列.
典例分析
例1 已知等差数列{an}的通项公式为an=5-2n，求数列{an} 的公差和首项．
解：把n＝1代入通项公式，得a1＝5－2×1＝3.
当n≥2时，an－1＝5－2(n－1)=7－2n.
于是d＝an－an－1＝(5－2n)－(7－2n)＝－2.
所以，数列{an}的首项为3，公差为－2.
解法2：a1＝5－2×1＝3，a2＝5－2×2＝1.
于是d＝a2－a1＝1－3＝－2.
所以，数列{an}的首项为3，公差为－2.
典例分析
例1 已知等差数列{an}的通项公式为an=5-2n，求数列{an} 的公差和首项．
解法3：由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d=dn＋(a1－d) 知，n的系数就是公差.
所以，an=5-2n的公差为－2，首项为a1＝5－2×1＝3.
研究数列时，将数列的通项公式看成关于n的函数，用函数方法得到数列的相关性质，是研究数列的常用方法.
典例分析
例2 求等差数列8，5，2，… 的第20项，并判断-289是否是数列中的项，若是，是第几项？
利用等差数列的通项公式，可以实现首项a1、公差d 、项序n以及项an这四个量的“知三求一”，体现了方程思想.
课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
1、等差数列及等差中项的定义；
2、 等差数列的通项公式；
归纳法和累加法
3、 通项公式的应用.
特殊到一般的思想、函数与方程的思想
作业布置：
1、书面作业：基础型：教材P15 练习第1-5题
探究型：教材P25 习题4.2第4题
2、预习作业：P16-P17(共9张PPT)
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第四章 数列
4.2.1 等差数列的概念（第二课时）
复习引入
等差数列的定义:
an－an-1 = d (d为常数, n≥2 , n∈N*)
2. 等差中项：
3. 通项公式:
4. 等差数列与一次函数的关系
5. 通项公式的应用
应用
通项公式
函数与方程
的思想
从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一
个常数的数列.
递推公式：
a, A , b成等差数列 2A=a+b.
an=a1+(n-1)d
等差数列的应用
例1 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d 的取值范围.
220×5%＝11 (万元)
问题1：如何确定d 的取值范围？
问题2：用等差数列解决实际问题的步骤是什么？
等差数列的应用
解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}．
设变量，建立数学模型
判断等差数列
解决该等差数列问题
还原，得出结论
由已知条件，得an － an－1＝－d（n≥2）．
则数列{an}是 首项220－d、公差为－d的等差数列.
所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd.
a10＝220－10d≥11，
a11＝220－11d＜11.
解得19＜d≤20.9
所以， d的取值范围为19＜d≤20.9
等差数列的应用
例2 已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
(1) 求数列{bn}的通项公式．
(2) b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，说明理由．
问题1: 如果插入k个数，公差为多少？
问题2: 还有其他方法判断b29是不是数列{an}的项？
等差数列的性质
例3 已知等差数列{an}的通项公式an=3n-1.
（1)计算下列各式：
a1+a9 = ; a2+a8 = ; a3+a7 = ; a5 +a5 = ; a10 = .
a1+a14 = ; a3+a12 = ; a5+a10 = ; a15 = .
(2)观察（1）中的结果，你能得到什么结论吗？
28
28
28
28
44
43
43
（3）你能写出（2）中结论的一般形式并证明它吗？
29
43
a1+a9=a2+a8 = a3+a7 =a5 +a5
a1+a14=a3+a12 = a5+a10
等差数列的性质
思考： 你能结合下列图形，从几何角度解释等差数列的这一性质吗？
S(s,as)
P(p,ap)
Q(q,aq)
T(t,at)
在等差数列{an}中，若p＋q＝s＋t (p，q，s，t∈N*) ，则ap＋aq＝as＋at .
思路一：中位线相等
思路二：斜率相等
课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
1、等差数列通项公式的应用；
2、等差数列下标和相等的两项和相等.
函数与方程思想；数形结合思想.
作业布置：
1、书面作业：基础型：课本P17 练习1-5题
探究型：教材P26 习题4.2第12题
2、预习作业：4.2.2 等差数列的前n项和公式(共18张PPT)
高中数学 人民教育出版社 A版 选择性必修 第二册
第四章 数列
4.2.2 等差数列的前n项和公式（第一课时）
1. 等差数列定义：
2. 等差数列通项公式：
3. 等差数列的性质：
an－an－1 ＝d (n≥2)
an＝a1＋(n－1)d
m＋n＝p＋q am＋an＝ap＋aq
01
复习旧知
02
创设情境 提出问题
高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献.
02
创设情境 提出问题
高
斯
求
和
问题1：
你能说说高斯在首尾配对中运用了等差数列的什么性质吗？
设
1+100 2+99 3+98 ··· 50+51
m＋n＝p＋q am＋an＝ap＋aq .
= = = =
= = = =
将不同数求和转化为相同数求和
追问1：
首尾配对还可以通过什么方式实现？
第1层1根
第2层2根
……
第100层100根
101根
100层
问题2：这堆钢管一共有多少根？
倒序相加法
问题3：
用倒序相加法计算1+2+3+···+n
追问：倒序相加法可以用于
一般的等差数列求和吗？
问题4：
n个
问题5
思路1
思路2
分析：
等差数列任意问题
2个相互独立方程
2个相互独立条件
一般的，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定
04
巩固练习
根据下列各题中的条件，求相应等差数列{an }的前n项和Sn .
(1) a1＝5, an＝95, n＝10; (2) a1＝100, d＝－2, n＝50;
(3) a1＝－4, a8＝－18, n＝10; (4) a1＝14.5, d＝0.7, an＝32.
05
课堂小结
知识总结
课堂
小结
方法总结
倒序相加法
思想总结
方程思想
06
作业布置
2、（1）求从小到大排列的前n个正偶数的和
（2）求从小到大排列的前n个正奇数的和
（3）在三位正整数的集合中有多少个是5的倍数？求这些数的和
（4）在小于100的正整数中，有多少个数被7除余2？这些数的和是多少？(共17张PPT)
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第四章 数列
4.2.2 等差数列的前n项和公式（第二课时）
01
复习旧知
1. 等差数列前n项和公式：
或
2. 等差数列前n项和公式的推导方法：
倒序相加法
特点：
常数项为0
时是二次函数
02
等差数列前n项和公式变形
时开口向上
时开口向下
03
题型1：等差数列前n项和公式的最值问题
例1 已知等差数列{}的前项和为，若＝10，公差，是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在，请说明理由.
所以，当取与
时，最大.
所以，的最大值为.
02
题型2：等差数列前n项和公式的最值问题
···
···
问题1: 取最大值时有何特点？
例1 已知等差数列{}的前项和为，若＝10，公差，是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在，请说明理由.
解：
由
，
所以数列{}是递减数列.
所以
由
得
令
所以，当时，
当时，
当时，
所以，
即，当时，最大.
因为
所以的最大值为.
求等差数列前n项和Sn的最大(小)值的常用方法
大
小
(2) 通项公式的正负转折项法
(1) 二次函数法
变式：
所以，当取与
4时，最小.
所以，的最小值为.
解：
由
，
所以数列{}是递增数列.
由
得
令
所以，当时，
当时，
所以，
即，当时，最小.
因为
所以的最小值为-18.
变式：
思考：
有最大值
解法一:
有最大值
解法二:
有最大值
03
题型2：等差数列前n项和公式的实际应用
例2 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位. 问第1排应安排多少个座位.
用数学方法解决实际问题的一般步骤
实际问题
数学问题
数学问题的解
实际问题的解
分析：
实际问题 数学问题
从第2排起后一排都比前一排多两个座位
报告厅共有20排座位
容纳800个座位
第1排应安排多少个座位？
等差数列{}
=
=
=
=
转化：已知等差数列的， ，求.
解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{}，其前项和为.
根据题意，数列{}是一个公差为2的等差数列，且=
代入公式，得
2=800
解得
因此，第1排应安排21个座位.
解决等差数列前项和
数学建模
实际问题
与等差数列有
关的数学问题
数学问题的解
实际问题的解
转化
求
解
回归
某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元. 你认为哪种领奖方式获奖者受益更多
跟踪训练：
04
课堂小结
数学建模
（1）二次函数法
（2）通项公式的正负转折项法
1. 求等差数列前项和最大（小）值的方法有哪些？
2. 如何将实际问题转化为数学问题？
05
作业布置
1. 基础性作业
（1）必做题：教科书2425页习题4.2第6、7、8题；
（2）选做题：教科书第24页练习第5题，第25页习题4.2第9题
2. 拓展性作业
设是等差数列{}的前项和，已知 .
（1）若 ，求{}的通项公式；
（2）若 ，求使得 时的取值范围.
