(共20张PPT)
高中数学 人民教育出版社 A版 选择性必修 第二册
第四章 数列
4.3.1 等比数列的概念（第一课时）
新课导入
我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”。
类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？
新知探究一：等比数列的相关概念
实例1:两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:
①
②
③
新知探究一：等比数列的相关概念
实例2: 《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是：
实例3: 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是：
新知探究一：等比数列的相关概念
新知探究一：等比数列的相关概念
实例4:某人存入银行元，存期为5年，年利率是，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是
复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.
. ⑥
问题1:请同学们仔细观察以下六个数列，类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以下数列的取值规律？你发现了什么规律？
新知探究一：等比数列的相关概念
①
②
③
. ⑥
共同特点: 从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.
如果一个数列从第___项起，每一项与它的前一项的___都等于___一个常数，那么这个数列就叫做_______.常数叫做等比数列的____，通常用字母__表示.
2
同
等比数列
公比
比
问题2 类比等差数列的概念，你能抽象出等比数列的概念吗？
概念生成
q
(1)
(3)
(2)
思考：观察并判断下列数列是否是等比数列，是的话，指出公比，不是的话请说明理由:
(4)
(5) 2, 0, 2, 0, 2, 0, …
是,公比是 2
是,公比是 -2
是,公比是 1
不一定,分类讨论
不是,分母不能为 0
不是,公比不能是 0
-2
7, 7, 7, 7,
0, 1, 2, 4, 8,
(6) 1, , , , , …
2
追问1：等差数列的项、公差均可以是0吗？等比数列呢？
追问2：常数列是等差数列吗？是等比数列吗？
追问3：是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？
概念辨析
等差中项
等比中项
如果三个数组成等差数列，那么叫做和的等差中项.
如果三个数组成等比数列，那么叫做和的等比中项
定义
a，A，b成等差数列
关系
新知探究二：等比中项
问题3: 类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？
追问：任意两个实数都有等比中项吗？
新知探究三：等比数列的通项公式
问题4: 你能类比等差数列的通项公式推导，根据等比数列的定义及递推公式推导它的通项公式吗？怎么推？
等比数列的通项公式可得：
例1 若等比数列的第项和第项分别为和，求的第项.
例1 若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项.
解法2：
因为是和的等比中项，所以
因此，的第5项是24或-24
==
所以
例2: 已知等比数列的公比为,试用的第项表示.
所以
例3：数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80, 第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132.求这个数列.
巩固练习1：已知，在下表中填上适当的数.
2 8
2 0.2
巩固练习2：，,求.
名称 等比数列
概念 从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数
常数 公比为公比可正，可负，不可为零.
等比中项
通项公式1
通项公式2
课堂小结
作业布置
1, 课本P31页,练习 第2，4，5题.
2, 预习课本P33-35页，并做一份思维导图.(共20张PPT)
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第四章 数列
4.3.1 等比数列的概念（第二课时）
新知探究：等比数列与函数的关系
问题1: 在等差数列中，公差的等差数列可以与相应的一次函 数建立联系，那么对于等比数列，公比满足什么条件的数列可以与相应的函数建立类似的联系
指数型函数
，
等比数列的第函数
反之，任给函数常数，
问题 类比指数函数的性质，说说公比的等比数列的单调性.
等比数列的单调性
单调递减
单调递增
单调递增
不变
不变
单调递减
例1 用10000元购买某个理财产品一年.
(1)若以月利率0.4%的复利计息，12个月能获利多少利息(精确到0.01元)？
典例分析
(2) 若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于(1)中按月结算的利息.（精确到）？
例2 已知数列的首项
(1)若数列为等差数列,公差=2,证明数列为等比数列；
(2)若数列为等比数列,公比=,证明数列为等差数列.
分析：如何证明一个数列为等差数列或者等比数列
利用定义
例2 已知数列的首项
(1)若数列为等差数列,公差=2,证明数列为等比数列
例2 已知数列的首项
(2)若数列为等比数列,公比=,证明数列为等差数列.
思考：已知如果数列等差数列，那么数列等比数列？如果数列各项均为正的等比数列，那么数列一定是等差数列？
问题等差数列，那么数列等比数列？
问题：如果数列各项均为正的等比数列，那么数列一定是等差数列？
等比数列的性质：已知且
例3 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%. 从今天1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品. 1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
典例分析
解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列
由题意，知
其中
则从今年1月起，各月不合格产品的数量是
由计算工具计算（精确到0.1），并列表(表4.3-1).
1 2 3 4 5 6 7
105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9
8 9 10 11 12 13 14
106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0
时，，且
由<1, 得
所以，当，
又
所以，当3，
所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内.
某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2017年全年生产新能源汽车5000辆. 如果在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的150%，那么2025年全年约生产新能源汽车多少辆（精确到1）？
解：由题意可知，后一年比前一年汽车的产量增加50%，则2025年全年约生产新能源汽车为
巩固练习
课堂小结
1. 等比数列的性质；
2. 等比数列的性质的应用；
3. 等差数列与等比数列的综合应用；
4. 等比数列的实际应用。
作业布置
1, 课本P34页,练习 第1，2，3题.
2, 预习课本P33-37页，并做一份思维导图.(共27张PPT)
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第四章 数列
4.3.2 等比数列的前n项和（第一课时）
引入新课
1
2
第1格：
第2格：
第4格：
第3格：
第63格：
第64格：
……
引入新课
问题1：这位聪明的发明者到底要求的是多少麦粒呢？
麦粒总数为
引入新课
问题2：大胆猜想S64应该等于多少？
探究S64的求法
引入新课
公式推导
①式两边同乘以2则有
追问1：观察相邻两项的特征，有何联系？
如果我们把每一项都乘以2，
就变成了与它相邻的后一项
引入新课
公式推导
①
②
①
②
反思：纵观全过程，①式两边为什么要乘以2 ？
乘以3？
等，会达到一样的效果吗？
追问2：比较①、②两式，你有什么发现？
①-②得：
引入新课
公式推导
(1)
(2)
错位相减法
引入新课
公式推导
1000粒麦子的质量约为40g，麦粒的总质量超过了7000亿吨
所以国王兑现不了他的承诺
引入新课
公式推导
呼应故事：
约是2016—2017年度世界小麦产量的981倍
引入新课
公式推导
应用举例
例1. 已知数列 是等比数列.
引入新课
公式推导
应用举例
例1. 已知数列 是等比数列.
引入新课
公式推导
应用举例
例1. 已知数列 是等比数列.
引入新课
公式推导
应用举例
例1. 已知数列 是等比数列.
首项
末项
公比
前n项和
项数
方程（组）的思想
引入新课
公式推导
应用举例
例2 已知等比数列{an}的首项为-1，前n项和为Sn，若 求公比q.
引入新课
公式推导
应用举例
例2 已知等比数列{an}的首项为-1，前n项和为Sn，若 求公比q.
引入新课
公式推导
应用举例
证明：
引入新课
公式推导
应用举例
引入新课
公式推导
应用举例
不用分类讨论的方式能否证明该结论？
思考：
由等比数列前n项和定义：
当q= -1时，此结论不一定成立.
例如： ，当n为偶数时，
结论不成立
引入新课
公式推导
应用举例
记为A（A≠0）
指数型函数
思维拓展
从函数的角度观察等比数列的前n项和
引入新课
公式推导
应用举例
思维拓展
引入新课
公式推导
应用举例
练习1. 远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
（意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有多少盏灯？）
思维拓展
引入新课
公式推导
应用举例
巩固练习
练习2. 求数列1，a，a2，…的前n项和Sn.（ a ≠ 0）
练习3.
1.等比数列前n项和公式推导方法（错位相减法）
2.等比数列前n项和公式（注意q的分类讨论）
3.等比数列前n项和的性质
思维拓展
引入新课
公式推导
应用举例
巩固练习
课堂小结
1
3
2
4
故事情境
公式猜想
公式推导
数学建模
数据分析
逻辑推理
公式应用
数学运算
思维拓展
引入新课
公式推导
应用举例
巩固练习
课堂小结
1. 已知数列{an}是等比数列.
思维拓展
引入新课
公式推导
应用举例
巩固练习
课堂小结
布置作业
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2=6，6a1+a3=30.求an和Sn.
基础型作业
3. 已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64. 求这个等比数列的首项和公比.
4. 如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少
思维拓展
引入新课
公式推导
应用举例
巩固练习
课堂小结
布置作业
拓展型作业
安徽省教育科学研究院 安徽省电化教育馆
宣城市教育体育局 广德市区教育体育局
联合摄制
2023年9月(共21张PPT)
高中数学 人民教育出版社 A版 选择性必修 第二册
第四章 数列
4.3.2 等比数列的前n项和（第二课时）
问题1 推导等比数列前n项和公式的方法是什么？
错位相减法
引入新课
问题2 等比数列的前n项和公式是什么？
引入新课
问题3：设{an}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{nan}的
前n项和.
解析：
引入新课
(1)
(2)
由题意知，
(1)-(2)：
解答：设正方形ABCD的面积为a1，后续各正方形的面积依次为a2，a3，…，an
则a1＝25，
由于第k＋1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，
如图，正方形ABCD的边长为5 cm，取正方形ABCD各边的中点
E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点
I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．
（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
典例 1
引入新课
几何应用
如图，正方形ABCD的边长为5 cm，取正方形ABCD各边的中点E，
F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，
J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．
（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
设 的前项和为Sn，
所以，前10个正方形的面积之和为 cm2．
典例 1
引入新课
几何应用
Sn将趋近于50．
如图，正方形ABCD的边长为5 cm，取正方形ABCD各边的中点E，
F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，
J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．
（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50．
典例 1
引入新课
几何应用
总结：与用等差数列的前n项和公式解决问题类似，
用等比数列的前n项和公式解决问题时：
先发现问题情境中呈等比关系变化的量，
并构造一个等比数列来刻画它，
然后把求这个量的和的问题转化为求等比数列和的问题
去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）．
典例 2
引入新课
几何应用
实际应用
Sn＝（a1－b1）＋（a2－b2）＋ ＋（an－bn）
当n＝5时，S5≈63.5，
＝（a1＋a2＋ ＋an）－（b1＋b2＋ ＋bn）
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨．
解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{bn}，每年以填埋方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{an - bn} ，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn（单位：万吨），
依题知：an＝20(1＋5%)n，bn＝6＋1.5n，
引入新课
几何应用
实际应用
总结：若数列{an} 是公比为q的等比数列，数列{bn} 是公差为d 的等差数列，数列{an＋bn}的前n项和Sn为：
Sn＝（a1＋b1）＋（a2＋b2）＋ ＋（an＋bn）
＝（a1＋a2＋ ＋an）＋（b1＋b2＋ ＋bn）
分组求和法
某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，
c2，c3，…
（1）写出一个递推公式，表示cn＋1与cn之间的关系；
解答：（1）由题意，得c1＝1200，并且cn＋1＝1.08cn－100．①
典例 3
引入新课
几何应用
实际应用
某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，
c2，c3，…
（2）将（1）中的递推公式表示成cn＋1－k＝r（cn－k）的形式，其中k，r为常数；
（2）将cn＋1－k＝r（cn－k）化成cn＋1＝rcn－rk＋k．②
解这个方程组，得
所以（1）中的递推公式可以化为cn＋1－1250＝1.08（cn－1250）
典例 3
引入新课
几何应用
实际应用
某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，
c2，c3，…
（3）求S10＝c1＋c2＋c3＋ ＋c10的值（精确到1）
（3）由（2）可知，数列{cn－1250}是以－50为首项，1.08为公比的等比数列，
则：
（c1－1250）＋（c2－1250）＋（c3－1250）＋ ＋（c10－1250）
所以S10＝c1＋c2＋c3＋ ＋c10≈1250×10－724.8＝11775.7≈11776
典例 3
引入新课
几何应用
实际应用
总结：在解决实际问题时，有时不容易发现呈等差关系或等比关系变化的量，
但可以发现某些量的递推关系．
这时，往往可以先构建一个用递推关系表达的数列，再尝试通过代数变换，把这个数列转化为等差数列或等比数列，或等差数列与等比数列的线性组合．
对于数列{cn} 满足：cn＋1＝rcn＋m，先通过引入参数，建立一个含cn＋1与cn的等比关系，再求出其中的参数，这实际上是待定系数法，
即：cn＋1－k＝r（cn－k），先求出数列{cn－k} 的通项公式，进而求得数列{cn} 的通项公式．
引入新课
几何应用
实际应用
巩固练习
一个乒乓球从100cm高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的0.61倍.
（1）当它第6次着地时，经过的总路程是多少（精确到1cm）？
（2）至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到400cm？
1.采用错位相减法求等比数列前n项和
2.等比数列前n项和在几何中的应用
3.等比数列前n项和在实际生活中的应用
引入新课
几何应用
实际应用
巩固练习
课堂小结
引入新课
几何应用
实际应用
巩固练习
课堂小结
布置作业
基础型作业
引入新课
几何应用
实际应用
巩固练习
课堂小结
布置作业
引入新课
几何应用
实际应用
巩固练习
课堂小结
布置作业
拓展型作业
4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地……”，则该人最后一天走的路程为( )
A.24里 B.12里 C.6里 D.3里
安徽省教育科学研究院 安徽省电化教育馆
宣城市教育体育局 广德市区教育体育局
联合摄制
2023年9月
