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高中数学 人民教育出版社 A版 选择性必修 第二册
第四章 数列
4.4 数学归纳法（第一课时）
情境1：“天下乌鸦一般黑”这句话正确吗？
情境导入
情境1：“天下乌鸦一般黑”这句话正确吗？
情境导入
新知导入
情景2：在数列的学习过程中，我们是怎样得到等差数列的通项公式 ？
归纳可得
以上都是不完全归纳法的体现，其结果不一定正确。
从一类事物中的部分对象都具有某种性质推出这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法
在数列的学习过程中，我们已经用归纳的方法得出了一些结论，例如等差数列的通项公式 等，但并没有给出严格的数学证明.
那么，对于这类与正整数n有关的命题，怎样证明它对每一个正整数n都成立呢 ？本节我们就来介绍一种重要的证明方法——数学归纳法.
情境导入
已知数列满足 ，，计算猜想其通项公式，并证明你的猜想.
分析：令n=1,有
探究新知
探究1
=1
令n=2,有
令n=3,有
=1
=1
已知数列满足 ，，计算猜想其通项公式，并证明你的猜想.
如何证明这个猜想呢？
因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立.
探究新知
探究1
类比迁移
这是一种码放骨牌的游戏. 码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下.
类比迁移
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
问题1：在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
类比迁移
追问（1）：条件（1）的作用是什么？
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
提供了基础
类比迁移
追问（1）：条件（2）的作用是什么？如何用数学语言描述它？
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
提供了基础
递推关系：
第k块骨牌倒下
第k+1块骨牌倒下
这样，只要第1块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下.事实上，无论有多少块骨牌，只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.
类比迁移
由 及递推关系
由 及递推关系
……
递推关系：
命题：当n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立.
如果n=k时猜想成立，
那么
即当n=k+1时，猜想也成立.
，
即
问题2：你认为证明前面的猜想“数列的通项公式是 ”与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
类比迁移
骨牌原理 猜想的证明步骤
（1）第一块骨牌倒下；
（2）证明“如果前一块倒下，则后一块也跟着倒下”.这句话是真实的
根据（1）（2），所有的骨牌都能倒下.
通过上面的类比，我们找到了“通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立”的方法，这个方法就叫做数学归纳法.
类比迁移
（1）证明n=1时，猜想正确
（2）证明“如果n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立”是真命题
根据（1）（2），这个猜想对于任意正整数n都成立
你能类比骨牌原理与这个猜想步骤的相似性吗？
合作探究
数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）证明当时命题成立；
（2）以“当时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法。
归纳奠基
合作探究
数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）证明当时命题成立；
（2）以“当时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法。
归纳奠基
归纳递推
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）证明当时命题成立；
（2）以“当时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法。
思考：数学归纳中两个步骤之间有什么关系？
归纳奠基
归纳递推
合作探究
记P(n)是一个关于正整数n的命题.
（1）证明当时命题成立；
（2）以“当时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法。
思考：数学归纳中两个步骤之间有什么关系？
归纳奠基
归纳递推
合作探究
记P(n)是一个关于正整数n的命题.
（2）以“当时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法。
思考：数学归纳中两个步骤之间有什么关系？
归纳奠基
归纳递推
条件：（1）P为真；
合作探究
记P(n)是一个关于正整数n的命题.
（2）若P(k)(k∈N*，k≥n0)为真，
则P(k＋1)也为真.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法。
思考：数学归纳中两个步骤之间有什么关系？
归纳奠基
归纳递推
条件：（1）P为真；
合作探究
记P(n)是一个关于正整数n的命题.
（2）若P(k)(k∈N*，k≥n0)为真，
则P(k＋1)也为真.
思考：数学归纳中两个步骤之间有什么关系？
归纳奠基
归纳递推
条件：（1）P为真；
P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真…….
合作探究
记P(n)是一个关于正整数n的命题.
（2）若P(k)(k∈N*，k≥n0)为真，
则P(k＋1)也为真.
思考：数学归纳中两个步骤之间有什么关系？
归纳奠基
归纳递推
条件：（1）P为真；
结论： P(n)为真.
合作探究
例题讲解
例1 用数学归纳法证明：如果{}是一个公差为d的等差数列，那么满足 ① 对任何都成立.
例题讲解
例1 用数学归纳法证明：如果{}是一个公差为d的等差数列，那么满足① 对任何都成立.
（2）假设n=k 时，①式成立，
即 ，
根据等差数列的定义，有 ,
于是
证明: (1)当n =1时,左边=,右边= ,①式成立.
目 标
即当n=k+1时①式也成立.
用数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤：
使用前提
基础性
结 论
传递性
(1)证明当取第一个值n0(例如n0=1或2)时命题成立；
(2)假设当n=k(k∈N*,且k≥ n0 )时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.
据(1)和(2)可知命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.
口诀：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.
课堂小结
作业布置
课本47页练习
（1、2、）
谢谢！(共18张PPT)
高中数学 人民教育出版社 A版 选择性必修 第二册
第四章 数列
4.4 数学归纳法（第二课时）
问题1
什么时候需要应用数学归纳法？
数学归纳法一般被用于证明与正整数n有关的命题.
证明对任意的正整数n，等式 恒成立.
不必应用数学归纳法
难以应用数学归纳法
证明 (n∈N*)的单调性.
问题导入
追问1
追问2
即n=k+1时等式成立.
所以等式对一切自然数 均成立.
思考1：甲同学猜想 用数学归纳法证明步骤如下：
证明：假设n=k时等式成立，即
那么n=k+1时
上述证法是正确的吗？为什么？
问题导入
问题导入
上述证明是错误的，事实上命题
本身是错误的
当n=1时，左边=1，右边=0
左边≠右边
第一步是递推的基础
思考2：乙同学用数学归纳法证明
如采用下面证法，对吗？为什么？
问题导入
第二步证明n=k+1时，必须用归纳假设
第二步要证命题“若P(k)（k∈N*，k≥n0）为真
则P(k＋1)也为真”.
方法归纳
问题2
怎样正确地使用数学归纳法？
不能缺少第一步的验证；
用上假设，递推才真
合作探究
例2 用数学归纳法证明：
①
例2 用数学归纳法证明：
①
证明：
（1）当n=1时，①式的左边=，
右边=，所以①式成立.
（2）假设当时，①式成立，即
，
在上式两边同时加上，有
即当n=k+1时，①式也成立.
由（1）（2）可知，①式对任何都成立.
例题讲解
目标
例3 已知数列满足 ，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
由 ，可得
由 可得
同理可得
归纳上述结果，猜想
①
解：
例题讲解
例3 已知数列满足 ，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1）当n=1时，
①式的左边= ，右边=，猜想成立.
（2）假设当时， ①式成立，即
那么
即当n=k+1时，猜想也成立.
由（1）（2）可知，猜想对任何 都成立.
例题讲解
①
例4 设 x 为正实数，n为大于1的正整数，若数列
1，1+x，，…，，…的前n项和为，
试比较与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
例题讲解
例4 设 x 为正实数，n为大于1的正整数，若数列
1，1+x，，…，，…
的前n项和为，试观察比较与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
解法一：
由已知可得
当n=3时，，
由，可得 .
由此，我们猜想，当且时，
例题讲解
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1）当n=2时，由上述过程知，不等式成立.
（2）假设当 时， 不等式成立，即
由，可得 ，所以
于是
所以，当n=k+1时，不等式也成立
由（1）（2）可知，不等式 对于任何大于1的正整数n都成立.
例题讲解
当且时，
解法一：
例4 设 x 为正实数，n为大于1的正整数，若数列
1，1+x，，…，，…
的前n项和为，试比较与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
解法二：
显然，所给数列是等比数列，公比为1+x，于是
当n=2时， ，由，可得 ；
当n=3时， ，由，可得 .
由此，我们猜想，当且时，
例题讲解
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1）当n=2时，由上述过程知，不等式成立.
（2）假设当时， 不等式成立，即
,
所以
于是
所以，当n=k+1时，不等式也成立.
由（1）（2）可知，不等式对于任何大于1的正整数n都成立.
例题讲解
当且时，
由，可得 ，所以
问题3
通过本节课，你有哪些收获？
什么时候需要应用数学归纳法
怎样正确地应用数学归纳法
课堂小结
作业布置
课后作业
1.用数学归纳法证明：-1+2-5+...(
2.若数列，，，...，，...的前n项和为,计算
由次推测计算的公式，并用数学归纳法进行证明。
谢谢！
