期末测试拔尖卷（含详解） 2024-2025学年人教版八年级数学上册

期末测试拔尖卷
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如果的乘积中不含一次项，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）若关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．（3分）如图，是的边上的中线，是的边上的中线， 是的边上的中线，若的面积是，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，一束平行于主光轴（直线）的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为焦点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，直线，垂足为，点是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点是射线上的一个动点（不与点重合），连接，作的两个外角平分线交于点，在点在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，在中，，，E是边上一点，连接并延长至点D，连接，若，，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．（3分）关于x的三次三项式（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式（e，f均为非零常数），下列说法有几个正确（ ）
①当的结果为关于x的三次三项式时，则；
②若二次三项式能分解成，则；
③当多项式A与B的乘积中不含项时，则；
④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（3分）我国是一个水资源贫乏的国家，每一个公民都应自觉养成节约用水的意识和习惯，为提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置．经测算，原来a天用水b吨，现在这些水可多用4天，现在每天比原来少用水（ ）
A．吨 B．吨 C．吨 D．吨
9．（3分）如图，、分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且，有以下结论中：①；②；③；④．正确的结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，，点是线段的中点，，且交外角的平分线于点F，若，则一定等于（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知中的中线将的周长分为10和15两部分，且，则 ．
12．（3分）如图，四边形中，，，作于，若，则四边形的面积是 ．
13．（3分）计算： ； ； ．
14．（3分）我们把形如（，不为零），且两个解分别为，的方程称为“完美分式方程”．例如为完美分式方程，可化为，∴，．再如为分式方程，可化为，∴，．应用上面的结论解答问题：已知完美分式方程两个解分别为，；若，．则的值为 ．
15．（3分）如图，在中，、的平分线交于点，延长交于点，点、分别在、上，连接，，其中，．
（1）若，则的度数为 ，的度数为 ；
（2）若，则的度数为 ．
16．（3分）如图，在四边形中，，，，延长到点，使，点是的延长线上一点，且，连接．已知，则线段的长为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）计算或因式分解：
(1)计算：；
(2)计算：；
(3)因式分解：；
(4)因式分解：．
18．（6分）已知：，．
(1)当时，比较与的大小，并说明理由；
(2)设，若是整数，求的整数值．
19．（8分）第八届中国（重庆）国际园林博览会吉祥物“山娃”深受市民喜欢．某特许商品零售商销售、两种山娃纪念品，其中种纪念品的利润率为，种纪念品的利润率为．当售出的种纪念品的数量比种纪念品的数量少时，该零售商获得的总利润率为；当售出的种纪念品的数量与种纪念品的数量相等时，该零售商获得的总利润率是多少？（利润率利润成本）
20．（8分）在中，，平分，点在射线上，连接，点在的延长线上．
(1)如图，．
若，分别求和的度数；
若直线与的一条边垂直，求的度数；
(2)若平分，请直接写出的度数．
21．（8分）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题：
(1)（，为常数），则 ， ；
(2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由；
(3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由．
22．（8分）如图，，，以A点为顶点、为腰在第三象限作等腰直角三角形．
(1)点C的坐标为______．
(2)如图②，，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为直角顶点，为腰向右作等腰直角三角形，过D作轴于E点，求的值．
23．（8分）（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明）
（2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D B B D B C C D
1．C
【分析】本题主要考查多项式乘以多项式的法则，先根据已知式子，可找出所有含x的项，合并系数，令含x项的系数等于0，即可求a的值．
【详解】解：
∵乘积中不含x的一次项，
∴，
∴．
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了根据分式方程无解的情况求参数，运用分类讨论思想解答是解题的关键；
根据分式方程“无解”，分两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为，产生了增根；第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解，据此解答即可求解．
【详解】解:方程两边乘以得，，
整理得，，
当，即之时，方程为，方程无解，故分式方程也无解；
当时，，
分式方程无解，即产生增根，
令，得，
解得；
综上，当或时，分式方程无解；
故选：D
3．D
【分析】本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键．利用中线等分三角形的面积进行求解即可．
【详解】解：是的边上的中线，
，
是的边上的中线，
，
又 是的边上的中线，则是的边上的中线，
，，
则，
故选：D．
4．B
【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，由对顶角的性质及三角形外角的性质即可得到，由平行线的性质求出，即可解答．
【详解】解：如图，
∵，，
∴．
，
∴，
∴．
故选：B．
5．B
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，垂线段最短等知识，由角平分线想到作垂线是解题的关键．作于E，于G，于H，连接，由角平分线性质定理得，再由角平分线的判定知，点C在的平分线上，则可求得；当′于，则，即的最小值为，此时点C与重合，从而求得此时的度数．
【详解】解：如图，作于E，于G，于H，连接，
∵平分，，
∴，
同理可得：，
∴，
∵，
∴平分，即点C在的平分线上，
∴，
∵，
∴，
如图，作于，则，
即的最小值为，此时点C与重合，
∴，
∴，
∴当线段取最小值时，的度数为，
故选：B．
6．D
【分析】作，垂足为，根据等腰三角形的性质可得，，根据含30度角的直角三角形的性质得出，那么可证．再利用证明，得出，设，根据列出方程，求解即可．
【详解】解：作，垂足为，则，如图所示：
，，
，，
，
，
．
，
，
．
在和中，
，
，
．
设，则，．
，
，
，
线段长为．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．
7．B
【分析】①计算的值，再根据题意列方程求解；②计算的值，根据题意列方程求，的值，再计算；③先求的值，再根据题意列方程求解；④根据③所求列方程组求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
，
∵的结果为关于x的三次三项式，，均为非零常数，
，
，故①正确；
，
，，
，故②正确；
，
∵多项式A与B的乘积中不含项，
∴，
，故③错误；
④
，
，
解得：，
，故④错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多项式乘法，解三元一次方程组，因式分解，整式的加减计算，正确理解题意列出对应的方程和方程组是解题的关键．
8．C
【分析】分别求出原来平均每天用水吨数和现在平均每天用水吨数，用原来平均每天用水吨数减去现在平均每天用水吨数，即得．
【详解】原来a天用水b吨，原来平均每天用水吨，
现在这些水可多用4天，现在平均每天用水吨，
现在平均每天比原来少用水，（吨）．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了列代数式，解决问题的关键是熟练列出用水量相同，用水时间不同的平均每天用水量的计算表达式．
9．C
【分析】由垂线的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由三角形角平分线的定义可得，，进而可得，然后由三角形的内角和定理可得，即可判断结论；由垂线的性质可得，由对顶角相等可得，由等式的性质及三角形的内角和定理可得，由三角形角平分线的定义可得，，进而可得，利用可证得，于是可得，利用可证得，即可判断结论；由全等三角形的性质可得，，由即可判断结论；延长交于点，利用邻补角互补可得，进而可得，利用可证得，于是可得，则，由三角形外角的性质及不等式的性质可得是钝角，因而可得，则，即可判断结论；综上，即可得出答案．
【详解】解：是的高，
，
，
是的角平分线，平分，
，，
，
，
故结论正确；
是的高，，
，
，
，
，
是的角平分线，平分，
，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
故结论正确；
，
，
，
，
，
，
故结论正确；
如图，延长交于点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，是钝角，
，
，
即：，
故结论错误；
综上所述，正确的结论有：，共个，
故选：．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，三角形角平分线的定义，三角形的内角和定理，对顶角相等，等式的性质，全等三角形的判定与性质（和），利用邻补角互补求角度，线段的和与差，三角形外角的性质，不等式的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10．D
【分析】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性质．关键是取的中点后证明 ．
取的中点，连接，过点作，．先证明 得， 得．，得，得，求出，从而求出．
【详解】解：取的中点，连接．
在和中
，
∴ ，
∴，，
∵，
∴，
∵点为的中点，点为的中点，
∴，，
∵，
∴，．
∴
∵，，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
在和中
∴
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选．
11．11或4
【分析】本题考查三角形的中线，根据中线的定义，得到，分两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵为的中线，
∴，
∵，
∴，
将的周长分为10和15两部分，分2种情况：
①，
则：，
∴，
∴，
∴；
②，
则：，
∴，
∴，
∴；
故答案为：11或4．
12．16
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，多边形内角和，过点作交延长线于点，证明，将四边形的面积转化为四边形的面积即可解答．
【详解】解：过点作交延长线于点，
，
．
，，
，
，
在和中，
，
，，
，即，
．
故答案为：．
13． /0.5
【分析】本题考查了积的乘方，运用完全平方公式，多项式与单项式的除法运算，将变形为，计算即可；将变形为，进行计算即可；先算括号内积的乘方，再根据多项式与单项式的除法法则可计算．熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
；
；
．
故答案为：；；．
14．
【分析】本题考查分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键；
根据题中“完美分式方程”的解法确定，的值，即可求解；
【详解】解：完美分式方程两个解分别为，，
，，
；
故答案为：
15．
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等知识，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）根据三角形的内角和定理可求得，根据角平分线定义可求得，根据三角形内角和定理可得，根据，可求得，根据计算即可得到，根据计算可得；
（2）如图，在上截取，连接，可证，，得到，，计算即可得到答案．
【详解】解：（1），
，
平分，平分，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；；
（2）如图，在上截取，连接，
， 平分，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．16
【分析】本题主要考查了全等三角形与等腰直角三角形结合．熟练掌握四边形内角和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，是解题的关键．
在是取点G，使，连接，得，证明，结合，得，得，得，得，得垂直平分，即得．
【详解】解：在是取点G，使，连接，
∵，，
∴,
∵在四边形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴．
故答案为：16．
17．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】此题考查了整式乘法的混合运算，多项式除以单项式，因式分解，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
（1）根据乘法公式展开，再合并求解即可；
（2）利用多项式除以单项式运算法则求解即可；
（3）利用完全平方公式分解因式即可；
（4）利用提公因式法分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
18．(1)，见解析
(2)3或或或
【分析】本题考查分式的加减运算：
（1）作差法比较分式的大小即可；
（2）先根据分式的减法运算，求出，再根据是整数，也是整数，进行求解即可．
【详解】（1）解：．
理由： ，
，
，
．
（2）解： ，
均为整数，
的值为，，
的整数值为3或或或．
19．
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，根据题意列出分式方程是解答本题的关键．
先列出分式方程求出和进价之间的关系，然后计算出利润率即可．
【详解】解：设进价为元，则售出价为元；的进价为元，则售出价为元；若售出有件，则售出有件，根据题意得：
，
解得：，
故售出的，两种纪念品的件数相等，均为时，这个商人的总利润率为：
．
20．(1)，；
的度数为，或；
(2)的度数为．
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质．
根据三角形外角的性质可以求出，根据角平分线的定义可以求出，根据平行线的性质可得；若直线与的一条边垂直，则要分当时、当时、当时三种情况分类讨论；
根据三角形外角的性质和角平分线的定义可知，再利用三角形外角等于与它不相邻的两内角之和可以求出结果 ．
【详解】（1） ，，
；
平分，
，
，
；
，
，
当时，如下图所示，；
当时，如下图所示，，
；
当时，如下图所示，
，
∴．
综上，当直线与的一条边垂直时，的度数为，或；
（2）解：，
平分，
，
．
21．(1)，；
(2)这的水不能倒完，理由见解析；
(3)经过次操作之后能达到．
【分析】（1）模仿阅读材料可得答案；
（2）根据题意先列式表示倒出的水，再求和，根据结果即可判断；
（3）先列式表示剩余水量，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴，
∴
故答案为：，．
（2）解：∵
，
∴这的水不能倒完；
（3）解：由题意可得，倒了次后剩余的水量为
，
∴，
解得，
经检验是原方程的解，
∴经过次操作之后能达到．
【点睛】本题考查分式的混合运算，分式方程的应用，异分母分式的加减法以及代数式的规律，解题的关键是读懂题意，能把一个分式化为部分分式．
22．(1)
(2)
【分析】（1）过点作轴于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由是等腰直角三角形可得，，进而可得，于是可得，利用可证得，于是可得，，进而可得，据此即可得出点的坐标；
（2）过点作轴于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由是等腰直角三角形可得，，进而可得，于是可得，利用可证得，于是可得，由轴可得，根据题意可知，再结合，进而可得，则，于是得解．
【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
故答案为：；
（2）解：如图，过点作轴于点，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
轴，
，
∴；
根据题意可知：，
又，
∴，
，
，
即：的值为．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的定义，等式的性质，全等三角形的判定与性质，已知两点坐标求两点距离，线段的和与差，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
23．（1）；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的结论不成立，，证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，夹半角模型．
（1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长到G，使，连接．在和中，已知了一组直角，，，因此两三角形全等，可得，，进而得．由此可证，即可得，进而可得结论．
（2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样．
（3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的．
【详解】解：（1）延长到G，使，连接．
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
如图，延长至，使，连接，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）（1）中的结论不成立，，
证明：如图3，在上截取，连接，
∵，，
∴．
∵在与中，
，
∴，
，
∴，
又∵，
，
在和中，
，
，
，
，
．