湖南省邵阳市洞口县2025届高三上学期10月半月考数学试题（含解析）

洞口2025届高三数学科试题卷
姓名：_________班级：_______
单项选择题：本题共6个小题，每小题5分，共30分.
1.等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,则以下结论正确的是( )
A.“q>0”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件
B.“q>1”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件
C.“q>0”是“{an}为递增数列”的必要不充分条件
D.“q>1”是“{an}为递增数列”的必要不充分条件
2. 已知过坐标原点的直线与焦点为的抛物线在第一象限交于点，与的准线交于点，若，则直线的斜率为（）
A B. C. 1 D.
3. 把一条线段分为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是一个无理数，由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，黄金分割不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在中，点D为线段的黄金分割点（），，，，则（）
A. B. C. D.
4. 为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函数图像的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是（）
B.
C. D.
5. 若曲线关于直线对称，则（）
A. B. 0 C. 1 D. 2
6. 若曲线与，恰有2条公切线，则（）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共2个小题，每小题6分，共12分.
7. 已知函数，，则（）
A. 与的值域相同
B. 与的最小正周期相同
C. 曲线与有相同的对称轴
D. 曲线与有相同的对称中心
8. 如图，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥形容器，已知此刻容器内液体的高度为15cm，忽略容器的厚度，则（）
A. 此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为
B. 容器内液体倒去一半后，容器内液体的高度为
C. 当容器内液体的高度增加5cm时，需要增加的液体的体积为
D. 当容器内沉入一个棱长为的正方体铁块时，容器内液体的高度为
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分.
9. 设双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为，若，则的离心率为_________．
10.已知函数的极小值点为2，则的极大值点为_________．
解答题：本题共2小题，共28分.
11.在公差不为0的等差数列中，，且是与的等比中项.
(1)求的通项公式；
(2)若，，求数列的前项和.
12. 贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量（单位：克）为，这10个贵妃杏的平均质量恰等于克．
（1）求．
（2）求．
（3）甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为，求的分布列与数学期望．
数学科答案
选择题 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A A B A A ABC BCD
1.【答案】C【详解】等比数列为递增数列，则，或，所以等比数列为递增数列，但时，等比数列不一定为递增数列所以“q0”是“为递增数列”的必要不充分条件.故选：C
2.【答案】A【详解】因为抛物线，所以抛物线的准线方程为，故点的横坐标为.因为，所以点的横坐标，所以点的纵坐标.又焦点的坐标为，所以直线的斜率为.故选：A.
3.【答案】A点D为线段的黄金分割点，则，
所以，则
.
4.【答案】B【详解】A：，即在定义域上递增，不符合；
B：，在上，在上，在上，所以在、上递减，上递增，符合；
C：由且定义域为，为偶函数，所以题图不可能在y轴两侧，研究上性质：，故递增，不符合；
D：由且定义域为R，为奇函数，研究上性质：，故在递增，所以在R上递增，不符合；故选：B
5.【答案】A【详解】令，由，得或，
故函数的定义域为，由曲线关于直线对称，得定义域关于直线对称，则，此时必有，即，解得，
此时，
因此函数的图象关于直线对称，即，满足题意，故.
6.【答案】A【解析】】令，，则，，
设，则曲线在处切线为，
设，则曲线在处切线为，
由题意，消去得，
由题意，方程有两个不同的实数根，
令，则，当时，单调递增；
当时，单调递减；当时，单调递增，
故当时，取极大值；当时，取极小值，又当时，根据以上信息作出的大致图象，由图可知当，即时，直线与的图象有两个交点，从而方程有两个不同的实数根，所以，曲线与曲线有两条公切线时，的值为．故选：A.
7【答案】ABC【解析】【详解】对于A，，，则与的值域相同，故A正确．对于B，与的最小正周期均为，故B正确．
对于C，曲线与的对称轴方程均为，C正确．对于D，曲线没有对称中心，曲线有对称中心，故D错误．
8.【答案】BCD【解析】【分析】由圆锥的体积公式及圆台；正方体的体积公式，逐项判断即可.
【详解】作圆锥的轴截面如图：设，由相似三角形可得：所以对于A：由于液体高度与圆锥高度之比为，所以容器内液体的体积与容器的容积的比值为，A错误．对于B：设容器内液体倒去一半后液体的高度为，则，解得，B正确．对于C：因为，，所以当容器内液体的高度增加5cm时，需要增加的液体的体积为，C正确．对于D:当容器内沉入一个棱长为的正方体铁块时，设容器内液体的高度为，体积，则，，D正确．故选: BCD
8【答案】##【解析】【详解】根据双曲线的两条渐近线的倾斜角为，则，又，所以，所以,故.
9.【答案】3【详解】由题意，，因为函数的极小值点为2，所以，即，解得，
则，令，则或，
因为，函数的极小值点为2，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，从而，所以，由，故，所以的极大值点为.
11.【答案】(1)(2).
【详解】（1）设的公差为，因为是与的等比中项，所以，即，整理得.又，，所以，则.
（2）由（1）可得，，则①，
②，①-②得
则.
12.【答案】（1）100 （2）0.3 （3）分布列见解析，1.4
【解析】【小问1详解】；
【小问2详解】因为，所以，所以．【小问3详解】设1人获赠贵妃杏的个数为，则．依题意可得的可能取值为，，，，，，
则的分布列为
0 1 2 3 4
0.25 0.3 0.29 0.12 0.04
所以.