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专题4构造法求数列的通项公式--自检定时练--详解版
单选题
1.已知数列中，且，则数列的前项和（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用构造法、等比数列的定义和通项公式，结合数列求和中的分组求和法及等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】由得，
所以数列是首项为，公比为2的等比数列，
所以，所以，
所以，
故选：D.
2.在数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件，对式子变形得，即，故是常数数列，所以，即可得到通项公式．
【详解】由得
，
，
，
是常数数列，
，
.
故选：C
3.已知在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；
【详解】解:因为，，所以，整理得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，解得．
故选：A
4.已知数列满足，，则=（ ）
A．80 B．100 C．120 D．143
【答案】C
【分析】根据，可得，从而可证得数列是等差数列，从而可求得数列的通项，即可得解.
【详解】解：因为，
所以，即，
等式两边开方可得：，即，
所以数列是以首项为，公差为1的等差数列，
所以，所以，
所以.
故选：C．
5．已知数列满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取倒数法求通项，将变形可得数列为等差数列，计算即可得.
【详解】，即，
可得，又，
即有数列是首项为1，公差为4的等差数列，
可得，
即.
故选：D.
6.在数列中，，记，若数列为递增数列，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由递推关系可得，求得，不等式恒成立等价于恒成立，讨论的奇偶即可求出.
【详解】由，得，即，
而，则，即，，
由数列为递增数列，得任意的恒成立，
则，即恒成立，
当为奇数时，恒成立，数列单调递增，的最小值为1，则，
当为偶数时，恒成立，数列单调递减，的最大值为，则，
所以实数的取值范围为.
故选：A
多选题
7.已知数列的首项，前n项和为，且，则（ ）
A． B．是递增数列
C．是等差数列 D．
【答案】ABD
【分析】分析可知数列是以首项为4，公比为4的等比数列，结合等比数列可得，进而逐项分析判断.
【详解】因为，则，
且，可知数列是以首项为4，公比为4的等比数列，
则，即.
对于选项A：，故A正确；
对于选项B：因为，所以是递增数列，故B正确；
对于选项C：因为数列是以首项为4，公比为4的等比数列，
所以不是等差数列，故C错误；
对于选项D：，故D正确；
故选：ABD.
8.已知数列满足，设的前项和为，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ABD
【分析】若，则，两式相减可得，可证得为周期2的周期数列，由数列的周期性可判断A，B；若，可得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式和前项和公式可判断C，D.
【详解】对于A，B，若，则，
两式相减可得，为周期2的周期数列，
，则，故A正确；
，故B正确；
对于C，D，若，则，
可得
数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
，则，故C错误；
，故D正确，
故选：ABD．
填空题
9.在数列中，已知，且，则该数列的通项公式为 .
【答案】
【分析】借助待定系数法构造等比数列后可得数列为等比数列，结合等比数列性质即可得解.
【详解】令，
则，
由条件得，解得，
即，
故数列是首项为，公比为4的等比数列，
从而，故.
故答案为：.
10.已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【分析】结合递推公式的结构特点构建一个等差数列，利用等差数列的通项公式求出构建的数列的通项公式，进而得解.
【详解】将两边同时除以，得，即．
由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，故．
解答题
11.已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定的递推公式，利用构造法求出数列的通项公式.
（2）由（1）的结论求出，进而求出其前n项和.
【详解】（1）数列中，由，得，而，
因此数列是首项为，公比为的等比数列，，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，所以数列的前n项和.
12.已知在数列中，，且当时，.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用，变形得到，证明出数列是等比数列，即可求出数列的通项公式；
（2）利用裂项相消求出数列的前项和为，再利用不等式的性质即可得到.
【详解】（1）当时，，
又，可得，
当时，，则，即，
又，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，故；
（2）由（1）知，
则，
则数列的前项和
，
又，则，
故.
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专题4构造法求数列的通项公式--自检定时练--学生版
【1】知识清单
①形如an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)
求an的一般步骤
②形如an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)求an的一般步骤
③形如an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1) 求an的一般步骤
④形如an＋1＝pan＋qan－1求an的一般步骤
⑤形如an＋1＝求an的一般步骤
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议40分钟)
单选题
1.已知数列中，且，则数列的前项和（ ）
A． B．
C． D．
2.在数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
3.已知在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
4.已知数列满足，，则=（ ）
A．80 B．100 C．120 D．143
5．已知数列满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
6.在数列中，，记，若数列为递增数列，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
多选题
7.已知数列的首项，前n项和为，且，则（ ）
A． B．是递增数列
C．是等差数列 D．
8.已知数列满足，设的前项和为，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
填空题
9.在数列中，已知，且，则该数列的通项公式为 .
10.已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ．
解答题
11.已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和.
12.已知在数列中，，且当时，.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A C D A ABD ABD
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】(1)； (2).
12.【答案】(1) (2)证明见解析
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