第4章第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数
考点一：任意角
（一）终边相同的角：（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}.
1.把－π表示成θ＋2kπ（k∈Z）的形式，使｜θ｜最小的θ值是（ ）
A.－ B.－ C. D.
2.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（ ）
A.2kπ＋45°（k∈Z） B.k·360°＋（k∈Z）
C.k·360°－315°（k∈Z） D.kπ＋（k∈Z）
3.把－1 125°化成α＋2kπ（0≤α＜2π，k∈Z）的形式是（ ）
A.－－6π B.－6π C.－－8π D.－8π
4.终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合是 .（用角度表示）
5.终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π）内的角α的集合为 .
（二）象限角或轴线角
1.－135°＝ rad，它是第 象限角.
2.（必修第一册第176页7（2）题改编）已知α为第三象限角，则是第 象限角，2α是 的角.
3.若α是第二象限角，则（ ）
A.－α是第一象限角 B.是第三象限角 C.＋α是第二象限角 D.2α是第三或第四象限角或在y轴非正半轴上
4（多选）下列命题正确的是（ ）
A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α｜α＝2kπ，k∈Z}
B.终边落在y轴上的角的集合为{α｜α＝90°＋kπ，k∈Z}
C.第三象限角的集合为{α｜π＋2kπ≤α≤＋2kπ，k∈Z}
D.在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°
5.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内（不包括边界），则角α用集合可表示为 .
考点二：任意角的三角函数：
1.已知角α的终边经过点（m，2），且cos α＝－，则实数m＝ .
2.已知角α的终边过点P（－8m，－6sin 30°），且cos α＝－，则m＝ ；
3.已知α的终边在直线y＝2x上，则sin α＝ .
4.若sin α·tan α＜0，且＜0，则角α是（ ）
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
5.在平面直角坐标系xOy中，点A的纵坐标为2，点C在x轴的正半轴上.在△AOC中，若cos∠AOC＝－，则点A的横坐标为（ ）
A.－ B. C.－3 D.3
6.若角θ是第四象限角，则y＝＋＋＝ .
7.已知点P（sin（－），cos）在角θ 的终边上，且θ∈[0，2π），则角θ＝（ ）
A.－ B. C.－ D.－
8.若α是第四象限角，则下列选项中能确定为负值的是（ ）
A.cos 2α B.cos C.tan D.sin
9.（多选）已知角θ的终边经过点（－2，－），且角θ与角α的终边关于x轴对称，则（ ）
A.sin θ＝－ B.α为钝角 C.cos α＝－ D.点（tan θ，tan α）在第四象限
10.在平面直角坐标系xOy中，点P在角的终边上，且｜OP｜＝2，则点P的坐标为 .
11.sin 2·cos 3·tan 4的值 0.（填“＞”“＜”或“＝”）
12.已知＝－，且lg（cos α）有意义.（1）试判断角α所在的象限；
（2）若角α的终边上一点M（，m），且OM＝1（O为坐标原点），求m及sin α的值.
考点三：扇形公式
1.（1）已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.（1）若α＝，R＝10 cm，求扇形的弧长；
（2）若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
2.已知一扇形的弧长为，面积为，则其半径r＝ ，圆心角θ＝ .
3.如图所示，在扇形AOD中，弧AD的长度是l1.在扇形BOC中，点B，C分别在线段OA，OD上，弧BC的长度是l2.设扇环ABCD的面积为S1，扇形BOC的面积为S2，若＝2，则＝ .
4.我国空间站备受世界瞩目，那么你知道我国空间站运行的轨道是什么形状吗？据来自中国载人航天工程办公室消息称“天和”核心舱组合体轨道参数为：远地点高度约为394.7千米，近地点高度约为394.2千米，简直比地球绕日运行轨道还圆！若把空间站运行轨道看作圆形轨道，距地球表面的距离取394千米，已知地球半径约为6 370千米，则空间站绕地球每旋转弧度，飞行的路程约为（取π≈3.14）（ ）
A.3 300千米 B.3 334千米 C.3 540千米 D.3 640千米
5.（多选）已知扇形的周长是6，面积是2，下列选项可能正确的有（ ）
A.扇形的半径为2 B.扇形的半径为1 C.扇形的圆心角的弧度数是1 D.扇形的圆心角的弧度数是2第4章第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数
考点一：任意角
1.角的概念
（1）定义：角可以看成一条射线绕着它的 端点 旋转所成的图形；
（2）分类：
（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}.
提醒 相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍.
2.弧度制的定义
（1）定义：长度等于 半径长 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示；
（2）公式
角α的弧度数公式 ｜α｜＝（弧长用l表示）
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝ °
3.象限角与轴线角
（1）象限角
（2）轴线角
3.若α，β，γ，θ分别为第一、二、三、四象限角，则，，，的终边所在的象限如图所示.
（一）终边相同的角：（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}.
1.把－π表示成θ＋2kπ（k∈Z）的形式，使｜θ｜最小的θ值是（ A ）
A.－ B.－ C. D.
解析：（1）∵－＝－2π－，∴－与－是终边相同的角，且此时＝是最小的.
2.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（ ）
A.2kπ＋45°（k∈Z） B.k·360°＋（k∈Z）
C.k·360°－315°（k∈Z） D.kπ＋（k∈Z）
解析：C 由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为＋2kπ或k·360°－315°（k∈Z）.
3.把－1 125°化成α＋2kπ（0≤α＜2π，k∈Z）的形式是（ ）
A.－－6π B.－6π C.－－8π D.－8π
解析：D －1 125°＝－1 440°＋315°＝－8π＋.故选D.
41.终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合是 {α｜α＝45°＋k·180°，k∈Z} .（用角度表示）
解析：由结论1可知，终边落在x轴上的角的集合为A＝{α｜α＝k·180°，k∈Z}，逆时针旋转45°，可得落在第一、三象限角平分线上的角的集合为{α｜α＝45°＋k·180°，k∈Z}.
5.终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π）内的角α的集合为 {－，－，，} .
解析：如图，在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0，2π）内，终边在直线y＝x上的角有两个：，；在[－2π，0）内满足条件的角有两个：－，－，故满足条件的角α构成的集合为{－，－，，}.
（二）象限角或轴线角
1.－135°＝ － rad，它是第 三 象限角.
解析：－135°＝－135×rad＝－rad，∵－135°＝225°－360°，且225°角为第三象限角，故－135°角为第三象限角.
2.（必修第一册第176页7（2）题改编）已知α为第三象限角，则是第 二、四 象限角，2α是 第一、第二象限或y轴的非负半轴上 的角.
解析：（2）因为α是第三象限角，即2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，所以kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，4kπ＋2π＜2α＜4kπ＋3π，k∈Z.当k为偶数时，为第二象限角；当k为奇数时，为第四象限角，而2α的终边落在第一、第二象限或y轴的非负半轴上.
3.若α是第二象限角，则（ ）
A.－α是第一象限角 B.是第三象限角 C.＋α是第二象限角 D.2α是第三或第四象限角或在y轴非正半轴上
解析：D 因为α是第二象限角，可得＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，对于A，可得－π－2kπ＜－α＜－－2kπ，k∈Z，此时－α位于第三象限，所以A错误；对于B，可得＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，位于第一象限；当k为奇数时，位于第三象限，所以B错误；对于C，可得2π＋2kπ＜＋α＜＋2kπ，k∈Z.即2（k＋1）π＜＋α＜＋2（k＋1）π，k∈Z，所以＋α位于第一象限，所以C错误；对于D，可得π＋4kπ＜2α＜2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或在y轴非正半轴上，所以D正确.
4（多选）下列命题正确的是（ ）
A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α｜α＝2kπ，k∈Z}
B.终边落在y轴上的角的集合为{α｜α＝90°＋kπ，k∈Z}
C.第三象限角的集合为{α｜π＋2kπ≤α≤＋2kπ，k∈Z}
D.在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°
解析：AD 选项A显然正确；B项，终边落在y轴上的角的集合为{α｜α＝＋kπ，k∈Z}，角度与弧度不能混用，故错误；C项，第三象限角的集合为{α｜π＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z}，故错误；D项，所有与45°角终边相同的角可表示为β＝45°＋k·360°（k∈Z），令－720°≤45°＋k·360°≤0°（k∈Z），解得－≤k≤－（k∈Z），从而当k＝－2时，β＝－675°；当k＝－1时，β＝－315°，故正确.
5.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内（不包括边界），则角α用集合可表示为 {α｜2kπ＋＜α＜2kπ＋，k∈Z} .
解析：∵在[0，2π）内，终边落在阴影部分角的集合为（，），∴所求角的集合为{α｜2kπ＋＜α＜2kπ＋，k∈Z}.
考点二：任意角的三角函数：
（1）定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P（x，y），那么sin α＝ y ，cos α＝ x ，tan α＝ （x≠0） ；
（2）定义的推广：设P（x，y）是角α终边上异于顶点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝（x≠0）；
（3）三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
1.已知角α的终边经过点（m，2），且cos α＝－，则实数m＝ －2 .
解析：由题意得＝－，且m＜0，解得m＝2（舍去），或m＝－2.
2.已知角α的终边过点P（－8m，－6sin 30°），且cos α＝－，则m＝ ；
解析：（1）由题意得点P（－8m，－3），r＝，所以cos α＝＝－，又m＞0，解得m＝.
3.已知α的终边在直线y＝2x上，则sin α＝ ± .
解析：（2）由题意可知，α的终边落在第一或第三象限，且tan α＝2，若在第一象限，可在α的终边上任取一点（1，2），∴sin α＝＝，若在第三象限，可在α的终边上任取一点（－1，－2），∴sin α＝＝－.
4.若sin α·tan α＜0，且＜0，则角α是（ ）
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
解析：C 由sin α·tan α＜0可知sin α，tan α异号，则α为第二象限角或第三象限角.由＜0可知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角.综上可知，α为第三象限角，故选C.
5.在平面直角坐标系xOy中，点A的纵坐标为2，点C在x轴的正半轴上.在△AOC中，若cos∠AOC＝－，则点A的横坐标为（ ）
A.－ B. C.－3 D.3
解析：A 设点A的横坐标为x，则由题意知＝－，解得x＝－，故选A.
6.若角θ是第四象限角，则y＝＋＋＝ －1 .
解析：由题知，sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0，所以y＝＋＋＝－1＋1－1＝－1.
7.已知点P（sin（－），cos）在角θ 的终边上，且θ∈[0，2π），则角θ＝（ ）
A.－ B. C.－ D.－
解析：B 因为P（sin（－），cos），所以P（－，），所以θ是第二象限角，由cos θ＝－，θ∈[0，2π），得θ＝.
8.若α是第四象限角，则下列选项中能确定为负值的是（ ）
A.cos 2α B.cos C.tan D.sin
解析：C 由α是第四象限角可得为第二或第四象限角，所以tan＜0.
9.（多选）已知角θ的终边经过点（－2，－），且角θ与角α的终边关于x轴对称，则（ ）
A.sin θ＝－ B.α为钝角 C.cos α＝－ D.点（tan θ，tan α）在第四象限
解析：ACD 因为角θ的终边经过点（－2，－），所以sin θ＝－，A正确；因为角θ与角α的终边关于x轴对称，所以角α的终边经过点（－2，），则α为第二象限角，但α不一定为钝角，B错误；cos α＝－，C正确；因为tan θ＝＞0，tan α＝－＜0，所以点（tan θ，tan α）在第四象限，D正确.故选A、C、D.
10.在平面直角坐标系xOy中，点P在角的终边上，且｜OP｜＝2，则点P的坐标为 （－1，） .
解析：设点P的坐标为（x，y），由三角函数定义得所以所以点P的坐标为（－1，）.
11.sin 2·cos 3·tan 4的值 ＜ 0.（填“＞”“＜”或“＝”）
解析：∵＜2＜3＜π＜4＜，∴sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，∴sin 2·cos 3·tan 4＜0.
12.已知＝－，且lg（cos α）有意义.（1）试判断角α所在的象限；
（2）若角α的终边上一点M（，m），且OM＝1（O为坐标原点），求m及sin α的值.
解：（1）由＝－，得sin α＜0，由lg（cos α）有意义，可知cos α＞0，所以α是第四象限角.
（2）因为OM＝1，所以（）2＋m2＝1，解得m＝±.又α为第四象限角，故m＜0，所以m＝－，sin α＝＝＝－.
考点三：扇形公式
弧长公式：l＝ ｜α｜r 扇形面积公式：S＝ lr ＝ ｜α｜r2
1.（1）已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.（1）若α＝，R＝10 cm，求扇形的弧长；
（2）若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解：（1）因为α＝，R＝10 cm，扇形的弧长l＝｜α｜R＝×10＝（cm）.
（2）由已知得，l＋2R＝20，所以S＝lR＝（20－2R）R＝10R－R2＝－（R－5）2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值，此时l＝10，α＝2.
2.已知一扇形的弧长为，面积为，则其半径r＝ 2 ，圆心角θ＝ .
解析：因为扇形的弧长为，面积为，所以＝××r，解得r＝2.由扇形的弧长为，得＝rθ＝2θ，解得θ＝.
3.如图所示，在扇形AOD中，弧AD的长度是l1.在扇形BOC中，点B，C分别在线段OA，OD上，弧BC的长度是l2.设扇环ABCD的面积为S1，扇形BOC的面积为S2，若＝2，则＝ 3 .
解析：设∠AOD＝θ，则l1＝θ·OA，l2＝θ·OB，所以＝＝2，即OA＝2OB，所以＝＝＝3.
4.我国空间站备受世界瞩目，那么你知道我国空间站运行的轨道是什么形状吗？据来自中国载人航天工程办公室消息称“天和”核心舱组合体轨道参数为：远地点高度约为394.7千米，近地点高度约为394.2千米，简直比地球绕日运行轨道还圆！若把空间站运行轨道看作圆形轨道，距地球表面的距离取394千米，已知地球半径约为6 370千米，则空间站绕地球每旋转弧度，飞行的路程约为（取π≈3.14）（ ）
A.3 300千米 B.3 334千米 C.3 540千米 D.3 640千米
解析：C 空间站绕地球飞行的半径为394＋6 370＝6 764（千米），所以空间站绕地球每旋转弧度，飞行的路程约为l＝αr＝6 764×≈6 764×≈3 540（千米）.
5.（多选）已知扇形的周长是6，面积是2，下列选项可能正确的有（ ）
A.扇形的半径为2 B.扇形的半径为1 C.扇形的圆心角的弧度数是1 D.扇形的圆心角的弧度数是2
解析：ABC 设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，则由题意得解得或故选A、B、C.第4章第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式
考点一：1.同角三角函数的基本关系式
考向1 “知一求二”问题 利用同角基本关系式“知一求二”的方法
1.若α为第二象限角，且sin α＝，则tan α＝（ ）
A.2 B.－2 C. D.－
2.（2023·全国乙卷14题）若θ∈（0，），tan θ＝，则sin θ－cos θ＝ .
3.已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan （π＋α）＝（ ）
A.－ B. C.－ D.
考向2 sin α，cos α的齐次式问题
1.若＝，则sin2α－sin αcos α－3cos2α＝（ ）
A. B. C. D.
2.已知＝－5，则tan α＝ .
3.已知＝－1，则＝ ；sin2α＋sin αcos α＋2＝ .
考向3 “sin α±cos α，sin αcos α”之间关系的应用
1.（多选）已知θ∈（0，π），sin θ＋cos θ＝－，则下列结论正确的是（ ）
A.θ∈（，π） B.cos θ＝－ C.tan θ＝－ D.sin θ－cos θ＝－
2..已知sin α，cos α是方程3x2－2x＋a＝0的两个根，则实数a的值为（ ）
A. B.－ C. D.
3.若sin θ＋cos θ＝，则sin4θ＋cos4θ＝（ ）
A. B. C. D.
4.在△ABC中，sin A·cos A＝－，则cos A－sin A＝（ ）
A.－ B.－ C. D.±
5.（多选）已知＝3，－＜α＜，则（ ）
A.tan α＝2 B.sin α－cos α＝－ C.sin4α－cos4α＝ D.＝
.6.A. B.2 C.2或 D.不确定
考点二：诱导公式
1.已知α为锐角，且cos（α＋）＝－，则cos（α＋）＝（ ）
A.－ B. C.－ D.
2.sin（－1 200°）cos 1 290°＝ .
3.sin 1 050°＝（ ）
A. B.－ C. D.－
4.已知cos（＋θ）＝－，则sin（＋θ）＝（ ）
A. B. C.－ D.－
5.已知cos（75°＋α）＝，则cos（105°－α）＋sin（15°－α）＝ .
6.＝（ ）
A.－2 B.－1 C.1 D.2
7.化简的结果是（ ）
A.－1 B.1 C.tan α D.－tan α
8.（多选）在△ABC中，下列结论正确的是（ ）
A.sin（A＋B）＝sin C B.sin ＝cos C.tan（A＋B）＝－tan C（C≠） D.cos（A＋B）＝cos C
9.在△ABC中，sin（－A）＝3sin（π－A），cos A＝－cos（π－B），则△ABC为（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
考点三：同角公式与诱导公式综合应用
1.（2024·宿迁一模）已知f（α）＝.（1）化简f（α）；
（2）若α＝－，求f（α）的值；（3）若cos（－α－）＝，α∈［π，］，求f（α）的值.
2.已知角α是第二象限角，且满足sin（＋α）＋3cos（α－π）＝1，则tan（π＋α）＝（ ）
A. B.－ C.－ D.－1
3.（2024·济宁一模）已知α是第四象限角，f（α）＝.
（1）化简f（α）；（2）若cos（α－）＝，求f（α）的值.
4.已知＜α＜π，tan α－＝－.（1）求tan α的值；（2）求的值.
5.已知角α的终边经过点P（m，2），sin α＝，且α为第一象限角.
（1）求m的值；（2）若tan β＝，求的值.
6.已知sin（－θ）cos（＋θ）＝，且0＜θ＜.（1）求tan θ的值；
（2）求［cos（＋θ）＋sin（θ－）］·[sin（3π－θ）－2cos（π＋θ）]的值.第4章第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式
考点一：1.同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1（α∈R）；
（2）商数关系：tan α＝（α≠kπ＋，k∈Z）.
提醒 平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋（k∈Z）.
2.同角三角函数关系式的常见变形
（1）sin2α＝1－cos2α＝（1＋cos α）（1－cos α）；
（2）cos2α＝1－sin2α＝（1＋sin α）（1－sin α）；
（3）（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α；
（4）sin α＝tan αcos α（α≠＋kπ，k∈Z）.
考向1 “知一求二”问题 利用同角基本关系式“知一求二”的方法
1.若α为第二象限角，且sin α＝，则tan α＝（ ）
A.2 B.－2 C. D.－
解析：D 因为sin α＝，由sin2α＋cos2α＝1可得cos α＝±，又α为第二象限角，所以cos α＝－，所以tan α＝＝－.故选D.
2.（2023·全国乙卷14题）若θ∈（0，），tan θ＝，则sin θ－cos θ＝ － .
解析：由tan2θ＝＝＝，得cos2θ＝.因为θ∈（0，），所以cos θ＝，则sin θ＝＝，所以sin θ－cos θ＝－.
3.已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan （π＋α）＝（ ）
A.－ B. C.－ D.
解析：C 因为α是第四象限角，sin α＝－，所以cos α＝＝，故tan（π＋α）＝tan α＝＝－.
考向2 sin α，cos α的齐次式问题
1.若＝，则sin2α－sin αcos α－3cos2α＝（ ）
A. B. C. D.
解析：C 由＝，可知cos α≠0，所以＝＝，所以tan α＝－3.又sin2α－sin αcos α－3cos2α＝＝＝＝.故选C.
解题技法 利用“齐次化切”求齐次式值的方法
（1）若齐次式为分式，可将分子与分母同除以cos α的n次幂，将分式的分子与分母化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求解；
（2）若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母1用sin2α＋cos2α替换，再将分子与分母同除以cos2α，化为只含有tan α的式子，代入tan α的值即可求解.
2.已知＝－5，则tan α＝ － .
解析：由＝－5，知cos α≠0，等式左边分子、分母同时除以cos α，可得＝－5，解得tan α＝－.
3.已知＝－1，则＝ － ；sin2α＋sin αcos α＋2＝ .
解析：由已知得tan α＝，所以＝＝－.sin2α＋sin αcos α＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.
考向3 “sin α±cos α，sin αcos α”之间关系的应用
1.（多选）已知θ∈（0，π），sin θ＋cos θ＝－，则下列结论正确的是（ ）
A.θ∈（，π） B.cos θ＝－ C.tan θ＝－ D.sin θ－cos θ＝－
解析：AC 由题可知sin θ＞0，cos θ＜0，所以可得θ∈（，π），故A正确；（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝，可得sin θcos θ＝－，则可得（sin θ－cos θ）2＝1－2sin θcos θ＝，所以sin θ－cos θ＝，故D错误；由sin θ＋cos θ＝－，sin θ－cos θ＝，联立解得，sin θ＝，cos θ＝－，tan θ＝－，故B错误，C正确.
解题技法
1.注意公式的逆用及变形用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
2.已知sin α，cos α是方程3x2－2x＋a＝0的两个根，则实数a的值为（ ）
A. B.－ C. D.
解析：B 由题可得，sin α＋cos α＝，sin αcos α＝.由结论1可得，＝1＋2×，解得a＝－.
3.若sin θ＋cos θ＝，则sin4θ＋cos4θ＝（ ）
A. B. C. D.
解析：B 由sin θ＋cos θ＝，平方得1＋2sin θcos θ＝，∴sin θcos θ＝，∴sin4θ＋cos4θ＝（sin2θ＋cos2θ）2－2sin2θcos2θ＝1－2×（）2＝，故选B.
4.在△ABC中，sin A·cos A＝－，则cos A－sin A＝（ ）
A.－ B.－ C. D.±
解析：B ∵在△ABC中，sin A·cos A＝－，∴A为钝角，∴cos A－sin A＜0，∴cos A－sin A＝－＝－＝－＝－.
5.（多选）已知＝3，－＜α＜，则（ ）
A.tan α＝2 B.sin α－cos α＝－ C.sin4α－cos4α＝ D.＝
解析：ACD 因为＝＝3，所以tan α＝2，故A正确；因为tan α＝＝2＞0，且－＜α＜，所以0＜α＜，所以sin α＞0，cos α＞0，由＝3＞0，可得sin α－cos α＞0，故B错误；sin4α－cos4α＝（sin2α－cos2α）·（sin2α＋cos2α）＝sin2α－cos2α＝＝＝＝，故C正确；＝＝＝，故D正确.故选A、C、D.
6.已知2sin α＋cos α＝，则tan α＝（ ）
A. B.2 C.2或 D.不确定
解析：B 法一 因为cos α＝－2sin α且sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋（－2sin α）2＝1，整理得5sin2α－4sin α＋4＝0，所以（sin α－2）2＝0，所以sin α＝，所以cos α＝，所以tan α＝2.
法二 因为2sin α＋cos α＝，所以（2sin α＋cos α）2＝5，所以4sin2α＋4sin αcos α＋cos2α＝5，所以sin2α－4sin αcos α＋4cos2α＝0，所以＝0，所以tan2α－4tan α＋4＝0，所以tan α＝2.
考点二：诱导公式
1.已知α为锐角，且cos（α＋）＝－，则cos（α＋）＝（ ）
A.－ B. C.－ D.
解析：（1）由α为锐角得＜α＋＜，所以sin（α＋）＝＝，cos（α＋）＝cos（α＋＋）＝－sin（α＋）＝－.故选C.
2.sin（－1 200°）cos 1 290°＝ .
解析：原式＝－sin 1 200°cos 1 290°＝－sin（3×360°＋120°）cos（3×360°＋210°）＝－sin 120°cos 210°＝－sin（180°－60°）cos（180°＋30°）＝sin 60°cos 30°＝×＝.
3.sin 1 050°＝（ ）
A. B.－ C. D.－
解析：B sin 1 050°＝sin（3×360°－30°）＝－sin 30°＝－.
4.已知cos（＋θ）＝－，则sin（＋θ）＝（ ）
A. B. C.－ D.－
解析：B sin（＋θ）＝sin［（＋θ）－］＝－sin［－（＋θ）］＝－cos（＋θ）＝.
5.已知cos（75°＋α）＝，则cos（105°－α）＋sin（15°－α）＝ 0 .
解析：因为（105°－α）＋（75°＋α）＝180°，（15°－α）＋（α＋75°）＝90°，所以cos（105°－α）＝cos[180°－（75°＋α）]＝－cos（75°＋α）＝－，sin（15°－α）＝sin[90°－（α＋75°）]＝cos（75°＋α）＝.所以cos（105°－α）＋sin（15°－α）＝－＋＝0.
6.＝（ ）
A.－2 B.－1 C.1 D.2
解析：（2）原式＝＝＝－＝－1.
7.化简的结果是（ ）
A.－1 B.1 C.tan α D.－tan α
解析：C 由诱导公式得，原式＝＝＝tan α，故选C.
8.（多选）在△ABC中，下列结论正确的是（ ）
A.sin（A＋B）＝sin C B.sin ＝cos C.tan（A＋B）＝－tan C（C≠） D.cos（A＋B）＝cos C
解析：ABC在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sin C，A正确；sin ＝sin（－）＝cos ，B正确；tan（A＋B）＝tan（π－C）＝－tan C（C≠），C正确；cos（A＋B）＝cos（π－C）＝－cos C，D错误.
9.在△ABC中，sin（－A）＝3sin（π－A），cos A＝－cos（π－B），则△ABC为（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
解析：B 由sin（－A）＝3sin（π－A）可得cos A＝3sin A，即tan A＝，又0＜A＜π，所以A＝，再由cos A＝－cos（π－B）可得cos A＝cos B，所以cos B＝，又0＜B＜π，所以B＝，所以C＝，所以△ABC为直角三角形.故选B.
考点三：同角公式与诱导公式综合应用
1（2024·宿迁一模）已知f（α）＝.（1）化简f（α）；
（2）若α＝－，求f（α）的值；（3）若cos（－α－）＝，α∈［π，］，求f（α）的值.
解：（1）f（α）＝＝－cos α.
（2）若α＝－，则f（α）＝－cos（－）＝－cos ＝－.
（3）由cos（－α－）＝，可得sin α＝－，因为α∈［π，］，所以cos α＝－，所以f（α）＝－cos α＝.
2.已知角α是第二象限角，且满足sin（＋α）＋3cos（α－π）＝1，则tan（π＋α）＝（ ）
A. B.－ C.－ D.－1
解析：B 由sin（＋α）＋3cos（α－π）＝1，得cos α－3cos α＝1，∴cos α＝－，∵角α是第二象限角，∴sin α＝，∴tan（π＋α）＝tan α＝＝－.
3.（2024·济宁一模）已知α是第四象限角，f（α）＝.
（1）化简f（α）；（2）若cos（α－）＝，求f（α）的值.
解：（1）f（α）＝＝＝－cos α.
（2）∵cos（α－）＝－sin α＝，即sin α＝－，
又α是第四象限角，∴cos α＝＝，∴f（α）＝－cos α＝－.
4.已知＜α＜π，tan α－＝－.（1）求tan α的值；（2）求的值.
解：（1）令tan α＝x，则x－＝－，整理得2x2＋3x－2＝0，解得x＝或x＝－2，
因为＜α＜π，所以tan α＜0，故tan α＝－2.
（2）＝＝tan α＋1＝－2＋1＝－1.
5.已知角α的终边经过点P（m，2），sin α＝，且α为第一象限角.
（1）求m的值；（2）若tan β＝，求的值.
解：（1）由三角函数定义可知sin α＝＝，解得m＝±1，因为α为第一象限角，所以m＝1.
（2）由（1）知tan α＝2，＝－＝－＝－＝－.
6.已知sin（－θ）cos（＋θ）＝，且0＜θ＜.（1）求tan θ的值；
（2）求［cos（＋θ）＋sin（θ－）］·[sin（3π－θ）－2cos（π＋θ）]的值.
解：（1）∵sin（－θ）cos（＋θ）＝cos θsin θ＝，
∴＝＝，∴12tan2θ－25tan θ＋12＝0，即（3tan θ－4）（4tan θ－3）＝0.
∵0＜θ＜，∴0＜tan θ＜1，∴tan θ＝.
（2）［cos（＋θ）＋sin（θ－）］·[sin（3π－θ）－2cos（π＋θ）]
＝（sin θ－cos θ）（sin θ＋2cos θ）＝＝＝＝－.第4章三角函数与解三角形第3节三角恒等变换
1考点一：和差公式
1.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝（ ）
A.－ B. C.－ D.
2.若角α的终边在第四象限，且sin α＝－，则tan（＋α）＝ .
3.已知角α的终边过点A（1，），则cos（α＋）＝（ ）
A.－ B.0 C. D.
4.已知sin α＝，α∈（，π），tan（π－β）＝，则tan（α－β）＝（ ）
A.－ B. C. D.－
5.已知sin α＝，α∈（，π），则tan（－α）＝（ ）
A.－7 B.－ C. D.7
6.已知0＜α＜，且sin α＝，则tan（α＋）＝ 7 .
7.已知α∈（，π），sin α＝.（1）求sin（＋α）的值；
8.已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝（ ）
A. B.或 C. D.2kπ＋（k∈Z）
考点二：倍角公式
1.若sin x＝－，则cos 2x＝ .
2.已知cos θ＝，则sin（2θ＋）＝（ ）
A.－ B. C. D.－
3.已知α∈（，π），sin α＝.（2）求cos（－2α）的值.
4.·＝（ ）
A.－sin α B.－cos α C.sin α D.cos α
5.（2024·天门模拟）已知cos（π＋θ）＝，若θ是第二象限角，则tan＝（ ）
A.2 B. C.－ D.
6.若2cos2（α－）＝1＋cos 2α，则tan 2α＝（ ）
A.－ B. C.－ D.
7.（多选）已知sin α＝－，180°＜α＜270°，则下列选项正确的是（ ）
A.sin 2α＝－ B.sin＝ C.cos＝－ D.tan＝－2
考点三：辅助角公式
1.已知函数f（x）＝sin x－cos x，则f（）＝ .
2.化简：3sin x＋3cos x＝（ ）
A.6cos（x＋） B.3cos（x－） C.6sin（x＋） D.3sin（x－）
3.已知·tan 20°＋λcos 70°＝3，则λ＝（ ）
A. B.2 C.3 D.4
4.已知函数f（x）＝2cos2x＋2sin xcos x.（1）求f（）的值；
（2）若f（）＝，α∈（0，），求cos α的值.
考点四：常用拆角、拼角技巧
1.已知tan（α＋β）＝，tan（α－β）＝，则tan（π－2α）＝ .
2.已知α，β∈，sin（α＋β）＝－，sin＝，则cos（α＋）＝ .
3.（2024·株洲一模）若tan（α＋2β）＝2,tan β＝－3,则tan（α＋β）＝ ，tan α＝ .
4.（2024·台州模拟）已知0＜α＜＜β＜π，tan α＝，cos（β－α）＝，则sin α＝ ，cos β＝ .
5.已知0＜α＜，0＜β＜，cos α＝，cos（β＋α）＝.（1）求sin β的值；（2）求的值.
考点五：公式直接应用
1.（2021·全国乙卷6题）cos2－cos2＝（ ）
A. B. C. D.
2.已知θ∈（，π），tan 2θ＝－4tan（θ＋），则＝（ ）
A. B. C.1 D.
3.设sin（α＋）＝－cos α，则cos（－2α）＝（ ）
A.－ B. C.－ D.
4..（多选）已知cos（α＋β）＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，则下列各式正确的是（ ）
A.sin 2α＝ B.cos（α－β）＝ C.cos αcos β＝ D.tan αtan β＝3
5.已知sin＝，则cos＝（ ）
A.－ B. C.－ D.
6.设α是第一象限角，满足sin（α－）－cos（α＋）＝，则tan α＝ .
7.（2023·新高考Ⅰ卷8题）已知sin（α－β）＝，cos αsin β＝，则cos（2α＋2β）＝（ ）
A. B. C.－ D.－
8.已知sin（α＋β）＝，sin αcos β＝，则cos（4α－4β）＝（ ）
A. B. C.－ D.－
9.已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝ ，2α－β＝ .
10.已知α∈（0，π），sin 2α＋cos 2α＝cos α－1，则sin 2α＝（ ）
A. B.－ C.－或0 D.
11.已知sin（α－）＝，则cos（＋2α）＝ .
考点六：公式逆用及变形
1.（2022·新高考Ⅱ卷6题）若sin（α＋β）＋cos（α＋β）＝2cossin β，则（ ）
A.tan（α－β）＝1 B.tan（α＋β）＝1 C.tan（α－β）＝－1 D.tan（α＋β）＝－1
2.若α＋β＝，则tan αtan β－tan α－tan β＝ .
3.（多选）下列等式能够成立的为（ ）
A.sin 15°cos 15°＝ B.sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝1
C.cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝－1 D.sin 15°＋cos 15°＝1
4.已知α，β，γ∈（0，），sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则β－α＝ .
考点七：化简
1.化简：sin 20°（＋tan 50°）＝（ ）
A. B.2 C. D.1
2.化简：＝ .
3.化简（tan 30°＋tan 70°）sin 10°＝ .第4章三角函数与解三角形第3节三角恒等变换
1.同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1（α∈R）；
（2）商数关系：tan α＝（α≠kπ＋，k∈Z）.
提醒 平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋（k∈Z）.
2.诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α（k∈Z） π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
提醒 诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·＋α（k∈Z）”中的k是奇数还是偶数；“变”与“不变”是指函数的名称的变化；“符号看象限”指的是在“k·＋α（k∈Z）”中，将α看成锐角时，“k·＋α（k∈Z）”的终边所在的象限.
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
（1）cos（α－β）＝ cos αcos β＋sin αsin β （C（α－β））；
（2）cos（α＋β）＝ cos αcos β－sin αsin β （C（α＋β））；
（3）sin（α－β）＝ sin αcos β－cos αsin β （S（α－β））；
（4）sin（α＋β）＝ sin αcos β＋cos αsin β （S（α＋β））；
（5）tan（α－β）＝ （T（α－β））；
（6）tan（α＋β）＝ （T（α＋β））.
2.辅助角公式 asin α＋bcos α＝ sin（α＋φ） （其中cos φ＝，sin φ＝）.
3.二倍角公式
（1）基本公式
①sin 2α＝ 2sin αcos α ；
②cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α ；
③tan 2α＝.
（2）公式变形
①升幂公式：1－cos α＝2sin2；1＋cos α＝ 2cos2 ；tan α＝；1±sin α＝（sin ±cos ）2；
②降幂公式：sin2α＝；cos2α＝ ；tan2α＝ .
提醒 （1）二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中α＝β的特殊情况；（2）二倍角是相对的，如：是的2倍，3α是的2倍.
考点一：和差公式
1.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝（ ）
A.－ B. C.－ D.
解析：D 原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin（20°＋10°）＝sin 30°＝.
2.若角α的终边在第四象限，且sin α＝－，则tan（＋α）＝ .
解析：由题可知，cos α＞0，所以cos α＝，则tan α＝－，所以tan（＋α）＝＝.
3.已知角α的终边过点A（1，），则cos（α＋）＝（ ）
A.－ B.0 C. D.
解析：B ∵角α的终边过点A（1，），∴sin α＝＝，cos α＝＝，则cos（α＋）＝cos α－sin α＝×－×＝0，故选B.
4.已知sin α＝，α∈（，π），tan（π－β）＝，则tan（α－β）＝（ ）
A.－ B. C. D.－
解析：A ∵sin α＝，α∈（，π），∴cos α＝－，tan α＝－，又tan（π－β）＝，∴tan β＝－，∴tan（α－β）＝＝＝－.
5.已知sin α＝，α∈（，π），则tan（－α）＝（ ）
A.－7 B.－ C. D.7
解析：D 因为sin α＝，α∈（，π），所以cos α＝－＝－，tan α＝＝－，所以tan（－α）＝＝7，故选D.
6.已知0＜α＜，且sin α＝，则tan（α＋）＝ 7 .
解析：由题意得cos α＝＝，所以tan α＝＝，则tan（α＋）＝tan（α＋）＝＝7.
7.已知α∈（，π），sin α＝.（1）求sin（＋α）的值；
解：（1）因为α∈（，π），sin α＝，所以cos α＝－＝－.
故sin（＋α）＝sincos α＋cossin α＝×（－）＋×＝－.
8.已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝（ ）
A. B.或 C. D.2kπ＋（k∈Z）
解析：C 由sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，可知cos α＝，sin β＝，故cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝，又0＜α＋β＜π，故α＋β＝.
考点二：倍角公式
1.若sin x＝－，则cos 2x＝ .
解析：cos 2x＝1－2sin2x＝1－2×（－）2＝1－＝.
2.已知cos θ＝，则sin（2θ＋）＝（ ）
A.－ B. C. D.－
解析：A 根据诱导公式与二倍角公式，得sin（2θ＋）＝cos 2θ＝2cos2θ－1＝－，故选A.
3.已知α∈（，π），sin α＝.（2）求cos（－2α）的值.
解：（2）由（1）知sin 2α＝2sin αcos α＝2××（－）＝－，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×（）2＝，
所以cos（－2α）＝coscos 2α＋sinsin 2α＝（－）×＋×（－）＝－.
4.·＝（ ）
A.－sin α B.－cos α C.sin α D.cos α
解析：D 原式＝＝＝cos α.
5.（2024·天门模拟）已知cos（π＋θ）＝，若θ是第二象限角，则tan＝（ ）
A.2 B. C.－ D.
解析：B 因为cos（π＋θ）＝，所以cos θ＝－，又θ是第二象限角，所以sin θ＝.
法一 由tan＝＝＝＝＝＝.故选B.
法二 由半角公式得tan＝＝.故选B.
6.若2cos2（α－）＝1＋cos 2α，则tan 2α＝（ ）
A.－ B. C.－ D.
解析：D 2cos2（α－）＝2（cos α＋sin α）2＝＋sin2α＋sin 2α＝1－cos 2α＋sin 2α，由1－cos 2α＋sin 2α＝1＋cos 2α，可得sin 2α＝cos 2α，则tan 2α＝.故选D.
7.（多选）已知sin α＝－，180°＜α＜270°，则下列选项正确的是（ ）
A.sin 2α＝－ B.sin＝ C.cos＝－ D.tan＝－2
解析：BCD 因为sin α＝－，180°＜α＜270°，所以cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×（－）×（－）＝，故A错误.因为90°＜＜135°，所以sin＝＝＝，cos＝－＝－＝－，tan＝＝－2，故B、C、D均正确.
考点三：辅助角公式
1.已知函数f（x）＝sin x－cos x，则f（）＝ .
解析：∵函数f（x）＝sin x－cos x＝2（sin x－cos x）＝2sin（x－），∴f（）＝2sin（－）＝2sin＝.
2.化简：3sin x＋3cos x＝（ ）
A.6cos（x＋） B.3cos（x－） C.6sin（x＋） D.3sin（x－）
解析：C 3sin x＋3cos x＝6（sin x＋cos x）＝6sin（x＋），故选C.
3.已知·tan 20°＋λcos 70°＝3，则λ＝（ ）
A. B.2 C.3 D.4
解析：D 由已知可得，＋λsin 20°＝3，则sin 20°＋λsin 20°cos 20°＝3cos 20°，即sin 40°＝3cos 20°－sin 20°＝2sin（60°－20°）＝2sin 40°，所以λ＝4，故选D.
4.已知函数f（x）＝2cos2x＋2sin xcos x.（1）求f（）的值；
（2）若f（）＝，α∈（0，），求cos α的值.
解：（1）因为f（x）＝2cos2x＋2sin xcos x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝1＋2sin（2x＋），
所以f（）＝1＋2sin（＋）＝1＋2sin ＝1＋1＝2.
（2）由f（）＝，α∈（0，），得sin（α＋）＝，cos（α＋）＝，
所以cos α＝cos［（α＋）－］＝cos（α＋）cos ＋sin（α＋）sin ＝.
考点四：常用拆角、拼角技巧
2α＝（α＋β）＋（α－β）；α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β；β＝－＝（α＋2β）－（α＋β）；
α－β＝（α－γ）＋（γ－β）；＋α＝－（－α）.
1.已知tan（α＋β）＝，tan（α－β）＝，则tan（π－2α）＝ －1 .
解析：因为tan（π－2α）＝－tan 2α,由结论2可知tan 2α＝＝＝1,所以tan（π－2α）＝－1.
2.已知α，β∈，sin（α＋β）＝－，sin＝，则cos（α＋）＝ － .
解析：由题意知，α＋β∈，sin（α＋β）＝－＜0，所以cos（α＋β）＝，因为β－∈，所以cos＝－，cos＝cos［（α＋β）－］＝cos（α＋β）cos＋sin（α＋β）sin＝－.
3.（2024·株洲一模）若tan（α＋2β）＝2,tan β＝－3,则tan（α＋β）＝ －1 ，tan α＝ .
解析：∵tan（α＋2β）＝2，tan β＝－3，∴tan（α＋β）＝tan（α＋2β－β）＝＝＝－1.tan α＝tan（α＋β－β）＝＝.
4.（2024·台州模拟）已知0＜α＜＜β＜π，tan α＝，cos（β－α）＝，则sin α＝ ，cos β＝ － .
解析：因为0＜α＜，且tan α＝，所以sin α＝，cos α＝，由0＜α＜＜β＜π，则0＜β－α＜π，又因为cos（β－α）＝，则sin（β－α）＝，所以cos β＝cos[（β－α）＋α]＝cos（β－α）cos α－sin（β－α）sin α＝×－×＝－.
5.已知0＜α＜，0＜β＜，cos α＝，cos（β＋α）＝.
（1）求sin β的值；（2）求的值.
解：（1）由0＜α＜，0＜β＜，cos α＝，cos（β＋α）＝，
得sin α＝，sin（β＋α）＝.
所以sin β＝sin[（β＋α）－α]＝sin（β＋α）cos α－cos（β＋α）sin α＝×－×＝.
（2）因为cos α＝，sin α＝，所以＝＝＝12.
考点五：公式直接应用
1.（2021·全国乙卷6题）cos2－cos2＝（ ）
A. B. C. D.
解析：（1）因为cos ＝sin ＝sin ，所以cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos＝cos＝.故选D.
2.已知θ∈（，π），tan 2θ＝－4tan（θ＋），则＝（ ）
A. B. C.1 D.
解析：（1）因为cos ＝sin ＝sin ，所以cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos＝cos＝.故选D.
（2）∵tan 2θ＝－4tan（θ＋），∴＝－4，∴2tan2θ＋5tan θ＋2＝0，∴tan θ＝－或－2，∵θ∈（，π），∴tan θ∈（－1，0），∴tan θ＝－，＝，＝＝，故选A.
3.设sin（α＋）＝－cos α，则cos（－2α）＝（ ）
A.－ B. C.－ D.
解析：D sin（α＋）＝sin α·＋cos α·＝－cos α，即sin α·＋cos α·＝，所以sin α·＋cos α·＝，即cos（－α）＝，所以cos（－2α）＝2cos2（－α）－1＝2×－1＝，故选D.
4..（多选）已知cos（α＋β）＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，则下列各式正确的是（ ）
A.sin 2α＝ B.cos（α－β）＝ C.cos αcos β＝ D.tan αtan β＝3
解析：ABD 因为cos 2α＝－，且0＜α＜，所以0＜2α＜π，所以sin 2α＝＝，故A正确；因为cos（α＋β）＝－，0＜α＜，0＜β＜，所以0＜α＋β＜π，所以sin（α＋β）＝＝，所以cos（α－β）＝cos[2α－（α＋β）]＝cos 2αcos（α＋β）＋sin 2αsin（α＋β）＝－×（－）＋×＝，故B正确；cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝①，cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝－②，由①＋②，得2cos αcos β＝，解得cos αcos β＝，故C不正确；由①－②，得2sin αsin β＝，解得sin αsin β＝，则tan αtan β＝＝＝3，故D正确.故选A、B、D.
5.已知sin＝，则cos＝（ ）
A.－ B. C.－ D.
解析：A 由sin＝，得cos＝1－2sin2＝，cos＝cos［π－（－2α）］＝－cos＝－.故选A.
6.设α是第一象限角，满足sin（α－）－cos（α＋）＝，则tan α＝ .
解析：∵sin（α－）－cos（α＋）＝sin α－cos α－cos α＋sin α＝（sin α－cos α）＝，∴sin α－cos α＝.∵α是第一象限角，∴sin α＞0，cos α＞0，由可得sin α＝，cos α＝，∴tan α＝＝＝.
7.（2023·新高考Ⅰ卷8题）已知sin（α－β）＝，cos αsin β＝，则cos（2α＋2β）＝（ ）
A. B. C.－ D.－
解析：B 因为sin（α－β）＝，所以sin αcos β－cos αsin β＝.因为cos αsin β＝，所以sin αcos β＝＋＝，所以sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋＝，所以cos（2α＋2β）＝cos[2（α＋β）]＝1－2sin2（α＋β）＝1－2×＝.故选B.
8.已知sin（α＋β）＝，sin αcos β＝，则cos（4α－4β）＝（ ）
A. B. C.－ D.－
解析：B 由sin（α＋β）＝可得，sin αcos β＋cos αsin β＝，因为sin αcos β＝，所以cos αsin β＝，所以sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＝－＝，所以cos[2（α－β）]＝1－2sin2（α－β）＝1－＝，所以cos[4（α－β）]＝2cos2[2（α－β）]－1＝.
9.已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝ ，2α－β＝ .
解析：因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝.又因为α，β均为锐角，sin β＝，所以sin α＝，cos β＝，因此sin 2α＝2sin αcos α＝，所以sin（2α－β）＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝.因为α为锐角，所以0＜2α＜π.又cos 2α＞0，所以0＜2α＜，又β为锐角，所以－＜2α－β＜，又sin（2α－β）＝，所以2α－β＝.
10.已知α∈（0，π），sin 2α＋cos 2α＝cos α－1，则sin 2α＝（ ）
A. B.－ C.－或0 D.
解析：C ∵sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝2cos2α－1，∴2sin αcos α＋2cos2α＝cos α，当cos α＝0时，等式成立，此时sin 2α＝0；当cos α≠0时，sin α＋cos α＝，两边平方得sin 2α＝－.综上可得，sin 2α＝－或0.
11.已知sin（α－）＝，则cos（＋2α）＝ .
解析：cos（＋2α）＝cos（π－＋2α）＝－cos［2（α－）］＝2sin2（α－）－1＝－.
考点六：公式逆用及变形
1.（2022·新高考Ⅱ卷6题）若sin（α＋β）＋cos（α＋β）＝2cossin β，则（ C ）
A.tan（α－β）＝1 B.tan（α＋β）＝1 C.tan（α－β）＝－1 D.tan（α＋β）＝－1
解析：（1）由题意得sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2×（cos α－sin α）·sin β，整理，得sin α·cos β－sin βcos α＋cos α·cos β＋sin αsin β＝0，即sin（α－β）＋cos（α－β）＝0，所以tan（α－β）＝－1，故选C.
2.若α＋β＝，则tan αtan β－tan α－tan β＝ .
解析：（2）∵α＋β＝，∴tan（α＋β）＝＝tan（π－）＝－，∴tan α＋tan β＝－（1－tan αtan β），∴tan αtan β－tan α－tan β＝.
3.（多选）下列等式能够成立的为（ ）
A.sin 15°cos 15°＝ B.sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝1
C.cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝－1 D.sin 15°＋cos 15°＝1
解析：BC 对于A：sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，A错误；对于B：sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝sin（75°＋15°）＝sin 90°＝1，B正确；对于C：cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝cos（105°＋75°）＝cos 180°＝－1，C正确；对于D：sin 15°＋cos 15°＝2sin（15°＋30°）＝2sin 45°＝，D错误.故选B、C.
4.已知α，β，γ∈（0，），sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则β－α＝ .
解析：由题意知，sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，将两式分别平方后相加，得1＝（sin β－sin α）2＋（cos α－cos β）2＝2－2（sin βsin α＋cos βcos α），∴cos（β－α）＝，∵γ∈（0，），∴sin γ＝sin β－sin α＞0，又α，β∈（0，），∴β＞α，∴0＜β－α＜，∴β－α＝.
考点七：化简
1.化简：sin 20°（＋tan 50°）＝（ ）
A. B.2 C. D.1
解析：D 原式＝＝＝＝＝＝1，故选D.
2.化简：＝ .
解析：＝＝＝＝.
3.化简（tan 30°＋tan 70°）sin 10°＝ .
解析：（tan 30°＋tan 70°）sin 10°＝（＋）·sin 10°＝＝＝＝.第4章三角函数与解三角形第4节三角函数的图像与性质1五点法定义域值域单调性
考点一：三角函数五点法作图
1.函数y＝sin（x＋）的振幅为 ，周期为 ，初相为 .
2.用五点法作y＝2sin 3x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（ ）
A.0，，π，，2π B.0，，，， C.0，π，2π，3π，4π D.0，，，，
3.已知函数f（x）＝2sin.（1）作出f（x）在[0，π]上的图象；
4.用“五点法”作函数y＝cos（4x－）在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是（ ）
A.（，0） B.（－，1） C.（，1） D.（－，0）
5.已知函数y＝h（x）＝2sin（2x－）＋1.（1）求函数y＝h（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）画出函数y＝h（x）在区间上的大致图象.
考点二：三角函数的定义域
1.函数y＝lg（sin x）＋的定义域为 .
2.函数y＝的定义域为 .
3..函数y＝的定义域为（ ）
A.{x｜x≠＋kπ，k∈Z} B.{x｜x≠＋kπ，k∈Z} C.{x｜x≠kπ，k∈Z} D.{x｜x≠＋kπ且x≠＋kπ，k∈Z}
考点三：三角函数的值域（最值）
1.（必修第一册第214页16题改编）函数f（x）＝3sin在区间上的值域为（ ）
A. B. C. D.
2.函数y＝－sin x＋cos x在［－，］上的值域是（ ）
A.［0，］ B.［0，］ C.[0，] D.[0，]
3.函数y＝tan（x－），x∈（－，）的值域为（ ）
A.（－，1） B.（－1，） C.（1，） D.（，1）
4.已知函数f（x）＝cos 2x＋8cos x，则f（x）的最小值为 .
5.函数f（x）＝cos 2x＋2sin x，x∈[0，π]的最大值为（ ）
A. B.1 C. D.2
6.函数的最大值是 ．
7.函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为（ ）
A.［－，1］ B.［1，＋］ C.［－－，1］ D.［－＋，1］
考点四：三角函数的单调区间
考向1 求三角函数的单调区间
1.函数y＝2sin（x－）（x∈[－π，0]）的单调递增区间为 .
2.函数y＝｜tan x｜在（－，）上的单调递减区间为 ；
3.已知函数f（x）＝2sin，则f（x）在[－1，1]上的单调递增区间为 .
4.函数y＝sin（－2x＋）的单调递减区间为 .
5..函数f（x）＝sin－，则下列表述正确的是（ ）
A.f（x）在上单调递减 B.f（x）在上单调递增
C.f（x）在上单调递减 D.f（x）在上单调递增
6.已知函数f（x）＝cos2x－sin2x，则（ ）
A.f（x）在上单调递减 B.f（x）在上单调递增
C.f（x）在上单调递减 D.f（x）在上单调递增
7.已知函数f（x）＝sin.（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x∈时，求函数f（x）的最大值和最小值.
考向2 根据三角函数的单调性比较大小
1.已知函数f（x）＝2cos（x＋），设a＝f（），b＝f（），c＝f（），则a，b，c的大小关系是( )
A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.c＞a＞b D.b＞a＞c
2.比较大小：sin sin.
3.已知函数f（x）＝cos x，若A，B是锐角三角形的两个内角，则一定有（ ）
A.f（sin A）＞f（sin B） B.f（cos A）＞f（cos B） C.f（sin A）＞f（cos B） D.f（cos A）＞f（sin B）
4.已知函数f（x）＝sin（x－）＋cos（x－），g（x）＝2sin2.
（1）若α是第一象限角，且f（α）＝，求g（α）的值；（2）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合.
考向3 根据三角函数的单调性求参数
1.已知函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）在区间［－，］上单调递增，则ω的取值范围是 .
2.若函数f（x）＝sin（x＋）在（－a，a）上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A.（0，］ B.（0，］ C.［，］ D.［，］
3.已知函数f（x）＝sin（ωx－）（ω＞0），x∈［0，］的值域是［－，1］，则ω的取值范围为 .
4.若函数f（x）＝sin（φ－2x）在区间（0，）上单调递减，则实数φ的值可以为（ ）
A. B. C. D. 4
5.（多选）已知函数f（x）＝sin（2x－），若当x∈[m，n]（m＜n）时，f（x）∈［－，］，则n－m的值可能为（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数f（x）＝x2＋2xtan θ－1，其中θ≠＋kπ，k∈Z.
（1）当θ＝－，x∈[－1，]时，求函数f（x）的最大值与最小值；
（2）求使y＝f（x）在区间[－1，]上是单调函数的θ的取值范围.第4章三角函数与解三角形第4节三角函数的图像与性质1五点法定义域值域单调性
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：（0，0），，（π，0），，（2π，0）；
（2）在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：（0，1），，（π，－1），，（2π，1）.
提醒 函数y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点（最值点）.
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（表中k∈Z）
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {xx≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
周期性 2π 2π π
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 2kπ－，2kπ＋ [2kπ－π，2kπ] （kπ－，kπ＋）
递减区间 2kπ＋，2kπ＋ [2kπ，2kπ＋π] 无
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
对称中心 （kπ，0）
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
零点 kπ kπ＋ kπ
提醒正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y＝tan x无单调递减区间；y＝tan x在整个定义域内不单调.
3.函数y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念
y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0） 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
4.用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图
用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
ωx＋φ 0 π 2π
x － － －
y＝Asin（ωx＋φ） 0 A 0 －A 0
考点一：三角函数五点法作图
1.函数y＝sin（x＋）的振幅为 ，周期为 ，初相为 .
2.用五点法作y＝2sin 3x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（ ）
A.0，，π，，2π B.0，，，， C.0，π，2π，3π，4π D.0，，，，
答案：B
3.已知函数f（x）＝2sin.（1）作出f（x）在[0，π]上的图象；
解：（1）因为x∈[0，π]，所以2x＋∈.列表如下：
2x＋ π 2π
x 0 π
f（x） 1 2 0 －2 0 1
描点、连线得图象：
4.用“五点法”作函数y＝cos（4x－）在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是（ ）
A.（，0） B.（－，1） C.（，1） D.（－，0）
解析：A 令4x－＝，得x＝，∴该点坐标为（，0）.
5.已知函数y＝h（x）＝2sin（2x－）＋1.（1）求函数y＝h（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）画出函数y＝h（x）在区间上的大致图象.
解：（1）由函数y＝h（x）＝2sin＋1，则函数y＝h（x）的最小正周期T＝＝π，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ（k∈Z），得－＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z），
故函数y＝h（x）的单调递增区间是［－＋kπ，＋kπ］（k∈Z）.
（2）列表如下：
x － － －
2x－ － －π － 0
sin 0 －1 0 1
h（x） 2 1 －1 1 3 2
故y＝h（x）在区间上的大致图象是：
考点二：三角函数的定义域
1.函数y＝lg（sin x）＋的定义域为 .
解析：要使函数有意义，则有解得（k∈Z），所以2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z，所以函数y的定义域为.
2.函数y＝的定义域为 {x｜2kπ＋≤x≤＋2kπ，k∈Z} .
解析：法一 要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示.在[0，2π]内，满足sin x≥cos x的x范围为［，］，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为{x｜2kπ＋≤x≤＋2kπ，k∈Z}.
法二 sin x－cos x＝sin（x－）≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ（k∈Z），解得2kπ＋≤x≤2kπ＋（k∈Z），所以定义域为{x｜2kπ＋≤x≤＋2kπ，k∈Z}.
3..函数y＝的定义域为（ ）
A.{x｜x≠＋kπ，k∈Z} B.{x｜x≠＋kπ，k∈Z} C.{x｜x≠kπ，k∈Z} D.{x｜x≠＋kπ且x≠＋kπ，k∈Z}
解析：D 要使函数有意义，必须有即故函数的定义域为{x｜x≠＋kπ，且x≠＋kπ，k∈Z}.
考点三：三角函数的值域（最值）
1.（必修第一册第214页16题改编）函数f（x）＝3sin在区间上的值域为（ B ）
A. B. C. D.
解析：（1）当x∈时，2x－∈，sin∈，故3sin∈，∴函数f（x）的值域为.
2.函数y＝－sin x＋cos x在［－，］上的值域是（ ）
A.［0，］ B.［0，］ C.[0，] D.[0，]
解析：D y＝－sin x＋cos x＝2cos（x＋），∵x∈［－，］，∴x＋∈［，］，cos（x＋）∈［0，］，∴y＝2cos（x＋）∈[0，]，故函数y＝－sin x＋cos x在［－，］上的值域是[0，].
3.函数y＝tan（x－），x∈（－，）的值域为（ ）
A.（－，1） B.（－1，） C.（1，） D.（，1）
解析：A 设z＝x－，因为x∈（－，），所以z∈（－，），因为正切函数y＝tan z在（－，）上单调递增，且tan（－）＝－，tan＝1，所以tan z∈（－，1）.故选A.
4.已知函数f（x）＝cos 2x＋8cos x，则f（x）的最小值为 －7 .
解析：（x）＝2cos2x＋8cos x－1＝2（cos x＋2）2－9，因为－1≤cos x≤1，则1≤cos x＋2≤3，故当cos x＝－1时，函数f（x）取得最小值，即f（x）min＝2×（－1＋2）2－9＝－7.
5.函数f（x）＝cos 2x＋2sin x，x∈[0，π]的最大值为（ ）
A. B.1 C. D.2
解析：C f（x）＝1－2sin2x＋2sin x＝－2（sin x－）2＋，因为x∈[0，π]，所以sin x∈[0，1]，所以当sin x＝时，f（x）取得最大值，最大值为.故选C.
6.函数的最大值是 ．
【解答】解：，令，则，
则，当时，，即的最大值为，故答案为．
7.函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为（ ）
A.［－，1］ B.［1，＋］ C.［－－，1］ D.［－＋，1］
解析：C 设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，sin xcos x＝，且－≤t≤.∴y＝－＋t＋＝－（t－1）2＋1，t∈[－，].当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－.∴函数的值域为［－－，1］.
考点四：三角函数的单调区间
考向1 求三角函数的单调区间
1.函数y＝2sin（x－）（x∈[－π，0]）的单调递增区间为 ［－，0］ .
解析：令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，则－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.由于x∈[－π，0]，所以所求的单调递增区间为［－，0］.
2.函数y＝｜tan x｜在（－，）上的单调递减区间为 （－，0］和（，π］ ；
解析：（1）如图，观察图象可知，y＝｜tan x｜在（－，）上的单调递减区间为（－，0］和（，π］.
3.已知函数f（x）＝2sin，则f（x）在[－1，1]上的单调递增区间为 .
解析：令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，得x∈，k∈Z，所以f（x）在[－1，1]上的单调递增区间为.
4.函数y＝sin（－2x＋）的单调递减区间为 ［kπ－，kπ＋］，k∈Z .
解析：y＝－sin（2x－）的单调递减区间即为y＝sin（2x－）的单调递增区间.令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故其单调递减区间为［kπ－，kπ＋］，k∈Z.
5..函数f（x）＝sin－，则下列表述正确的是（ ）
A.f（x）在上单调递减 B.f（x）在上单调递增
C.f（x）在上单调递减 D.f（x）在上单调递增
解析：D f（x）＝sin－，由2x＋∈，k∈Z，解得x∈［－＋kπ，＋kπ］，k∈Z，当k＝0时，x∈，所以函数f（x）在上单调递增，又（0，） ［－，］，故选D.
6.已知函数f（x）＝cos2x－sin2x，则（ ）
A.f（x）在上单调递减 B.f（x）在上单调递增
C.f（x）在上单调递减 D.f（x）在上单调递增
解析：C 依题意可知f（x）＝cos2x－sin2x＝cos 2x，对于A选项，因为x∈，所以2x∈，函数f（x）＝cos 2x在上单调递增，所以A选项不正确；对于B选项，因为x∈，所以2x∈，函数f（x）＝cos 2x在上不单调，所以B选项不正确；对于C选项，因为x∈，所以2x∈，函数f（x）＝cos 2x在上单调递减，所以C选项正确；对于D选项，因为x∈，所以2x∈，函数f（x）＝cos 2x在上不单调，所以D选项不正确.故选C.
7.已知函数f（x）＝sin.（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈时，求函数f（x）的最大值和最小值.
解：（1）令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z.则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z.
（2）因为当x∈时，≤2x＋≤，所以－1≤sin≤，所以－≤f（x）≤1，
所以当x∈时，函数f（x）的最大值为1，最小值为－.
考向2 根据三角函数的单调性比较大小
1.已知函数f（x）＝2cos（x＋），设a＝f（），b＝f（），c＝f（），则a，b，c的大小关系是( )
A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.c＞a＞b D.b＞a＞c
解析：A a＝f（）＝2cos，b＝f（）＝2cos，c＝f（）＝2cos，因为y＝cos x在[0，π]上单调递减，＜＜，所以a＞b＞c.
2.比较大小：sin ＞ sin.
解析：因为y＝sin x在上单调递增且0＞－＞－＞－，故sin＞sin.
3.已知函数f（x）＝cos x，若A，B是锐角三角形的两个内角，则一定有（ ）（历史班此题不讲）
A.f（sin A）＞f（sin B） B.f（cos A）＞f（cos B） C.f（sin A）＞f（cos B） D.f（cos A）＞f（sin B）
解析：D ∵A，B是锐角三角形的两个内角，∴A＋B＞，∴0＜－B＜A＜，∵y＝sin x在上单调递增，∴0＜sin＝cos B＜sin A＜1，又函数f（x）＝cos x在[0，1]上单调递减，∴f（cos B）＞f（sin A），同理f（cos A）＞f（sin B），∴C错，D对，∵A，B的大小关系不确定，∴A、B项不确定.故选D.
4.已知函数f（x）＝sin（x－）＋cos（x－），g（x）＝2sin2.
（1）若α是第一象限角，且f（α）＝，求g（α）的值；（2）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合.
解：f（x）＝sin（x－）＋cos（x－）＝sin x－cos x＋cos x＋sin x＝sin x，g（x）＝2sin2＝1－cos x.
（1）由f（α）＝，得sin α＝，由α是第一象限角，所以cos α＞0，
从而g（α）＝1－cos α＝1－＝1－＝.
（2）f（x）≥g（x）等价于sin x≥1－cos x，即sin x＋cos x≥1.于是sin（x＋）≥，
从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋π，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z，
故使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合为{x｜2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}.
考向3 根据三角函数的单调性求参数
1.已知函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）在区间［－，］上单调递增，则ω的取值范围是（0，］.
解析：因为x∈［－，］，所以ωx∈［－，］，因为0∈［－，］且y＝sin x在［－，］上单调递增，所以［－，］ ［－，］，即有解得0＜ω≤.
2.若函数f（x）＝sin（x＋）在（－a，a）上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A.（0，］ B.（0，］ C.［，］ D.［，］
解析：A 因为x∈（－a，a），所以有a＞0，且0∈（－a，a），因为函数f（x）＝sin（x＋）在（－a，a）上单调递增，所以 a≤，所以0＜a≤.
3.已知函数f（x）＝sin（ωx－）（ω＞0），x∈［0，］的值域是［－，1］，则ω的取值范围为［，3］.
解析：因为x∈［0，］，ω＞0，所以ωx－∈［－，－］.又当x∈［0，］时，f（x）∈［－，1］，所以≤－≤，解得≤ω≤3.
4.若函数f（x）＝sin（φ－2x）在区间（0，）上单调递减，则实数φ的值可以为（ ）
A. B. C. D. 4
解析：Bf（x）＝sin（φ－2x）＝－sin（2x－φ）.当x∈（0，）时,2x－φ∈（－φ，π－φ）.因为函数f（x）＝sin（φ－2x）在区间（0，）上单调递减,所以k∈Z,解得φ＝－2kπ,k∈Z,当k＝0时,φ＝,故选B.
5.（多选）已知函数f（x）＝sin（2x－），若当x∈[m，n]（m＜n）时，f（x）∈［－，］，则n－m的值可能为（ ）
A. B. C. D.
解析：ABC f（x）＝sin（2x－），作出函数f（x）的图象，如图所示.在一个周期内考虑问题，若要使当x∈[m，n]时，f（x）∈［－，］，则可满足 或所以n－m的值可以为区间［，］内的任意实数.故选A、B、C.
6.已知函数f（x）＝x2＋2xtan θ－1，其中θ≠＋kπ，k∈Z.
（1）当θ＝－，x∈[－1，]时，求函数f（x）的最大值与最小值；
（2）求使y＝f（x）在区间[－1，]上是单调函数的θ的取值范围.
解：（1）当θ＝－时，f（x）＝x2－x－1＝（x－）2－.
∵x∈[－1，]，且f（x）的图象开口向上，∴当x＝时，f（x）min＝－；当x＝－1时，f（x）max＝.
（2）函数f（x）的图象的对称轴为直线x＝－tan θ.
∵f（x）在区间[－1，]上是单调函数，∴－tan θ≥或－tan θ≤－1，即tan θ≤－或tan θ≥1，
∴－＋kπ＜θ≤－＋kπ或＋kπ≤θ＜＋kπ，k∈Z，故θ的取值范围是（－＋kπ，－＋kπ］∪［＋kπ，＋kπ），k∈Z.第4章第4节三角函数的图像与性质2周期性奇偶性对称性
考点五：三角函数周期性
1.若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则（ ）
A.T＝π，A＝1 B.T＝2π，A＝1 C.T＝π，A＝2 D.T＝2π，A＝2
2.函数f（x）＝3tan（ωx＋）（ω＞0）的最小正周期为π，则ω＝ .
3函数f（x）＝cos x＋2cosx的一个周期为（ ）
A.π B.2π C.3π D.4π
4.函数f（x）＝sin 2x＋｜sin 2x｜的最小正周期为 .
5.下列函数中，是周期函数的为（ ）
A.y＝sin｜x｜ B.y＝cos｜x｜ C.y＝tan｜x｜ D.y＝（x－1）0
6.若函数f（x）＝tan（ωx＋）（ω＞0）的图象与直线y＝a（a∈R）的相邻两交点间的距离为2π，则ω＝ .
7.函数y＝sin（x＋）的最小正周期是（ ）
A.4π B.3π C.2π D.π
考点六：三角函数奇偶性
1.下列函数是奇函数的是（ ）
A.f（x）＝sin（2x＋） B.f（x）＝tan（x－3π） C.f（x）＝ D.f（x）＝
2.函数f（x）＝（1＋cos 2x）sin2x是（ ）
A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数
3.已知函数f（x）＝sin xcos（2x＋φ）（φ∈[0，π]）为偶函数，则φ＝
A.0 B. C. D.π
4.已知函数f（x）＝5sin（4x＋）（0＜φ＜2π）为偶函数，则φ＝（ ）
A. B. C.π D.
5.函数y＝sin（2x＋＋φ）是奇函数，则φ＝ .
6..函数f（x）＝3sin（2x－＋φ）＋1，φ∈（0，π），且f（x）为偶函数，则φ＝ ，f（x）图象的对称中心为 .
考点七：三角函数对称性
1.函数y＝4sin（2x＋π）的图象关于（ ）
A.x轴对称 B.原点对称 C.y轴对称 D.直线x＝对称
2.（2023·全国乙卷10题）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）在区间（，）上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f（x）的图象的两条相邻对称轴，则f（－）＝（ ）
A.－ B.－ C. D.
3.已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M（，0）对称，且与点M相邻的f（x）的图象的一条对称轴为直线x＝，则ω＝ ，φ＝ .
4.若函数f（x）（f（x）的值不恒为常数）满足以下两个条件：①f（x）为偶函数；②对于任意的x∈R，都有f ＝f.则其解析式可以是f（x）＝ .
考点八：三角函数性质的综合应用
1.（多选）已知函数f（x）＝sin（2x＋），则（ ）
A.函数f（x－）是偶函数 B.x＝－是函数f（x）的一个零点
C.函数f（x）在区间［－，］上单调递增 D.函数f（x）的图象关于直线x＝对称
2.已知函数f（x）＝，则下列说法正确的是（ ）
A.f（x）的最小正周期是 B.f（x）的值域是R
C.直线x＝是函数f（x）图象的一条对称轴 D.f（x）的单调递减区间是，k∈Z
3.（多选）（2024·九省联考）已知函数f（x）＝sin（2x＋）＋cos（2x＋），则（ ）
A.函数f（x－）为偶函数 B.曲线y＝f（x）的对称轴为x＝kπ，k∈Z
C.f（x）在区间（，）单调递增 D.f（x）的最小值为－2
4.已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（0＜ω＜6,｜φ｜＜）的图象经过点和,则ω＝ .
5.（2023·天津高考5题）已知函数f（x）图象的一条对称轴为直线x＝2，f（x）的一个周期为4，则f（x）的解析式可能为（ ）
A.f（x）＝sin（x） B.f（x）＝cos（x） C.f（x）＝sin（x） D.f（x）＝cos（x）
6.已知函数f（x）＝tan（2x－），则（ ）
A.f（x）是奇函数 B.f（x）在区间（0，）上单调递减
C.（，0）为其图象的一个对称中心 D.f（x）的最小正周期为π
7.如图所示，M，N是函数y＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0）的图象与x轴的两相邻交点，点P在M，N之间的函数图象上运动，若当△MPN面积最大时，·＝0，则ω＝（ ）
A. B. C. D.8
8.（多选）已知函数f（x）＝sin4x－cos4x，则下列说法正确的是（ ）
A.f（x）的最小正周期为π B.f（x）的最大值为2 C.f（x）的图象关于y轴对称 D.f（x）在区间［，］上单调递增
9.（多选）已知函数f（x）＝2sin（ωx＋）（ω＞0）的图象在[0，1]上恰有两个最大值点，则ω的值可能为（ ）
A.2π B. C.3π D.
10.若函数f（x）＝（ω＞0）的最小正周期为π，则f＝ .
11.函数f（x）＝3sin（2x－＋φ）＋1，φ∈（0，π），且f（x）为偶函数，则φ＝ ，f（x）图象的对称中心为 .
12.函数f（x）＝cos（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为 .
13.已知函数f（x）＝sin ωx－cos ωx（ω＞0）的最小正周期为π.
（1）求函数y＝f（x）图象的对称轴方程；（2）讨论函数f（x）在上的单调性.第4章第4节三角函数的图像与性质2周期性奇偶性对称性
考点五：三角函数周期性
1.若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则（ ）
A.T＝π，A＝1 B.T＝2π，A＝1 C.T＝π，A＝2 D.T＝2π，A＝2
解析：A T＝＝π，A＝2－1＝1，故选A.
2.函数f（x）＝3tan（ωx＋）（ω＞0）的最小正周期为π，则ω＝ 1 .
解析：∵f（x）的最小正周期T＝＝π，∴ω＝1.
3函数f（x）＝cos x＋2cosx的一个周期为（ D ）
A.π B.2π C.3π D.4π
解析：易知y＝cos x,y＝2cos x的最小正周期分别为2π,4π,则2π,4π的公倍数4π是f（x）的一个周期,故选D.
4.函数f（x）＝sin 2x＋｜sin 2x｜的最小正周期为 π .
解析：作出函数f（x）的大致图象,如图所示.根据图象可知f（x）为周期函数,最小正周期为π.
5.下列函数中，是周期函数的为（ ）
A.y＝sin｜x｜ B.y＝cos｜x｜ C.y＝tan｜x｜ D.y＝（x－1）0
解析：B 因为cos｜x｜＝cos x，所以y＝cos｜x｜是周期函数.其余函数均不是周期函数.
6.若函数f（x）＝tan（ωx＋）（ω＞0）的图象与直线y＝a（a∈R）的相邻两交点间的距离为2π，则ω＝ .
解析：由题意可知，函数f（x）＝tan（ωx＋）（ω＞0）的最小正周期为2π，因此，ω＝＝.
7.函数y＝sin（x＋）的最小正周期是（ ）
A.4π B.3π C.2π D.π
解析：A 函数y＝sin（x＋）的最小正周期是T＝＝4π.故选A.
考点六：三角函数奇偶性
1.下列函数是奇函数的是（ B ）
A.f（x）＝sin（2x＋） B.f（x）＝tan（x－3π） C.f（x）＝ D.f（x）＝
解析：A项中，f（x）＝cos 2x，f（－x）＝cos（－2x）＝cos 2x＝f（x），所以f（x）是偶函数.B项中，f（x）＝tan x，所以f（x）是奇函数.C项中，由cos 2x≠0得2x≠kπ＋（k∈Z），解得x≠＋（k∈Z），定义域关于原点对称，且f（－x）＝＝＝f（x），所以f（x）是偶函数.D项中，因为2sin 2x－1≥0，所以sin 2x≥，所以＋2kπ≤2x≤＋2kπ（k∈Z），即x∈［＋kπ，＋kπ］（k∈Z），定义域不关于原点对称，所以f（x）是非奇非偶函数.故选B.
2.函数f（x）＝（1＋cos 2x）sin2x是（ ）
A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数
解析：D f（x）＝（1＋cos 2x）sin2x＝2cos2xsin2x＝sin22x＝，则f（x）的最小正周期为T＝＝且为偶函数.
3.已知函数f（x）＝sin xcos（2x＋φ）（φ∈[0，π]）为偶函数，则φ＝
A.0 B. C. D.π
解析：C ∵f（x）定义域为R，且为偶函数，∴f（－）＝f（） －cos（－π＋φ）＝cos（π＋φ） cos φ＝－cos φ cos φ＝0，∵φ∈（0，π），∴φ＝.当φ＝时，f（x）＝－sin xsin 2x为偶函数满足题意.故选C.
（六5）《三维》P95 与三角函数的奇偶性相关的结论
（1）若y＝Asin（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ＋（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ（k∈Z）；
（2）若y＝Acos（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ＋（k∈Z）.
4.已知函数f（x）＝5sin（4x＋）（0＜φ＜2π）为偶函数，则φ＝（ ）
A. B. C.π D.
解析：C因为函数f（x）为偶函数,由结论2可得＝＋kπ,k∈Z,所以φ＝π＋2kπ,k∈Z,又0＜φ＜2π,所以φ＝π.
5.函数y＝sin（2x＋＋φ）是奇函数，则φ＝ －＋kπ（k∈Z） .
解析：（2）因为函数y＝sin（2x＋＋φ）是奇函数，所以＋φ＝kπ（k∈Z），故φ＝－＋kπ（k∈Z）.
6..函数f（x）＝3sin（2x－＋φ）＋1，φ∈（0，π），且f（x）为偶函数，则φ＝ ，f（x）图象的对称中心为 （＋，1），k∈Z .
解析：若f（x）＝3sin（2x－＋φ）＋1为偶函数，则－＋φ＝kπ＋，k∈Z，则φ＝＋kπ，k∈Z，又∵φ∈（0，π），∴φ＝.∴f（x）＝3sin（2x＋）＋1＝3cos 2x＋1，由2x＝＋kπ，k∈Z得x＝＋，k∈Z，∴f（x）图象的对称中心为（＋，1），k∈Z.
考点七：三角函数对称性
1.函数y＝4sin（2x＋π）的图象关于（ ）
A.x轴对称 B.原点对称 C.y轴对称 D.直线x＝对称
解析：B 记f（x）＝4sin（2x＋π）＝－4sin 2x，所以f（－x）＝－4sin（－2x）＝4sin 2x＝－f（x），所以f（x）是奇函数，图象关于原点中心对称，对称轴为x＝＋（k∈Z）.故选B.
2.（2023·全国乙卷10题）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）在区间（，）上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f（x）的图象的两条相邻对称轴，则f（－）＝（ ）
A.－ B.－ C. D.
解析：D 由函数f（x）在区间（，）上单调递增，且直线x＝和x＝是函数f（x）的图象的两条相邻对称轴，得＝2（－），解得ω＝2，则f（）＝sin（＋φ）＝－1，所以φ＝－＋2kπ－＝－＋2kπ，k∈Z，所以f（x）＝sin（2x－＋2kπ），k∈Z，则f（－）＝sin（－＋2kπ）＝sin（－）＝.故选D.
3.已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M（，0）对称，且与点M相邻的f（x）的图象的一条对称轴为直线x＝，则ω＝ 2 ，φ＝ .
解析：∵f（x）是偶函数，∴φ＝kπ＋，k∈Z，∵0≤φ≤π，∴φ＝，∴f（x）＝sin（ωx＋）＝cos ωx.设f（x）的最小正周期为T，由题知＝－＝， 则T＝π，得ω＝＝2.
4.若函数f（x）（f（x）的值不恒为常数）满足以下两个条件：①f（x）为偶函数；②对于任意的x∈R，都有f ＝f.则其解析式可以是f（x）＝ cos 3x（答案不唯一） .
解析：因为对于任意的x∈R，都有f＝f，所以函数的图象关于直线x＝对称.又由于函数为偶函数，所以函数的解析式可以为f（x）＝cos 3x.因为f（－x）＝cos（－3x）＝cos 3x＝f（x），所以函数f（x）是偶函数.令3x＝kπ，k∈Z，所以x＝，k∈Z，所以函数f（x）的图象关于直线x＝对称.
考点八：三角函数性质的综合应用
1.（多选）已知函数f（x）＝sin（2x＋），则（ ）
A.函数f（x－）是偶函数 B.x＝－是函数f（x）的一个零点
C.函数f（x）在区间［－，］上单调递增 D.函数f（x）的图象关于直线x＝对称
解析：BCD 对于A选项，令g（x）＝f（x－）＝sin（2x－＋）＝sin（2x－），故函数f（x－）不是偶函数，A错；对于B选项，因为f（－）＝sin 0＝0，故x＝－是函数f（x）的一个零点，B对；对于C选项，当－≤x≤时，－≤2x＋≤，所以函数f（x）在区间［－，］上单调递增，C对；对于D选项，因为对称轴满足2x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝，D对.故选B、C、D.
2.已知函数f（x）＝，则下列说法正确的是（ ）
A.f（x）的最小正周期是 B.f（x）的值域是R
C.直线x＝是函数f（x）图象的一条对称轴 D.f（x）的单调递减区间是，k∈Z
解析：D 函数f（x）＝的最小正周期T＝＝2π，故A错误；函数f（x）＝的值域为[0，＋∞），故B错误；当x＝时，x－＝≠，k∈Z，即直线x＝不是f（x）图象的对称轴，故C错误；令kπ－＜x－≤kπ，k∈Z，解得2kπ－＜x≤2kπ＋，k∈Z，所以函数f（x）的单调递减区间为，k∈Z，故D正确，故选D.
3.（多选）（2024·九省联考）已知函数f（x）＝sin（2x＋）＋cos（2x＋），则（ ）
A.函数f（x－）为偶函数 B.曲线y＝f（x）的对称轴为x＝kπ，k∈Z
C.f（x）在区间（，）单调递增 D.f（x）的最小值为－2
解析：AC f（x）＝sin（2x＋＋）＝－sin 2x.因为f（x－）＝－sin 2（x－）＝cos 2x，为偶函数，故A正确；令2x＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，对称轴为x＝＋，k∈Z，故B错误；＜2x＜，＜x＜，所以f（x）在区间（，）上单调递增，（，） （，），所以f（x）在区间（，）单调递增，故C正确；f（x）min＝－，故D错误.
4.已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（0＜ω＜6,｜φ｜＜）的图象经过点和,则ω＝ 2 .
解析：∵和是函数f（x）的极值点，则x＝，x＝是对称轴，由结论1得－＝（k∈N*），∴T＝＝，∴ω＝4k－2，又0＜ω＜6，∴ω＝2.
5.（2023·天津高考5题）已知函数f（x）图象的一条对称轴为直线x＝2，f（x）的一个周期为4，则f（x）的解析式可能为（ ）
A.f（x）＝sin（x） B.f（x）＝cos（x） C.f（x）＝sin（x） D.f（x）＝cos（x）
解析：B 由三角函数的最小正周期T＝，可得y＝sin（x）与y＝cos（x）的最小正周期为4，而y＝sin（x）和y＝cos（x）的最小正周期为8，故排除C、D.因为函数f（x）图象的一条对称轴为直线x＝2，所以f（x）在x＝2处取得最值.对于A，f（2）＝sin（×2）＝sin π＝0，对于B，f（2）＝cos（×2）＝cos π＝－1，所以f（x）的解析式可能为f（x）＝cos（x）.故选B.
6.已知函数f（x）＝tan（2x－），则（ ）
A.f（x）是奇函数 B.f（x）在区间（0，）上单调递减
C.（，0）为其图象的一个对称中心 D.f（x）的最小正周期为π
解析：C 函数y＝tan（2x－）是非奇非偶函数，A错误；在区间（0，）上单调递增，B错误；最小正周期为，D错误；∵当x＝时，tan（2×－）＝0，∴（，0）为其图象的一个对称中心，故选C.
7.如图所示，M，N是函数y＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0）的图象与x轴的两相邻交点，点P在M，N之间的函数图象上运动，若当△MPN面积最大时，·＝0，则ω＝（ ）
A. B. C. D.8
解析：A 由题中图象可知，当P位于M，N之间，且为函数y＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0）图象的最高点时，△MPN面积最大，又·＝0，所以△MPN为等腰直角三角形，过P作PQ⊥x轴于Q，则｜PQ｜＝2，则｜MN｜＝2｜PQ｜＝4，所以周期T＝2｜MN｜＝8，所以ω＝＝＝.故选A.
8.（多选）已知函数f（x）＝sin4x－cos4x，则下列说法正确的是（ ）
A.f（x）的最小正周期为π B.f（x）的最大值为2 C.f（x）的图象关于y轴对称 D.f（x）在区间［，］上单调递增
解析：ACD ∵f（x）＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，∴函数f（x）的最小正周期T＝π，f（x）的最大值为1.∵f（－x）＝－cos（－2x）＝－cos 2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称.∵y＝cos 2x在［，］上单调递减，∴f（x）＝－cos 2x在［，］上单调递增，故选A、C、D.
9.（多选）已知函数f（x）＝2sin（ωx＋）（ω＞0）的图象在[0，1]上恰有两个最大值点，则ω的值可能为（ ）
A.2π B. C.3π D.
解析：BC 因为x∈[0，1]，ω＞0，所以≤ωx＋≤ω＋.又函数f（x）在[0，1]上恰有两个最大值点，所以≤ω＋＜，解得≤ω＜.故选B、C.
10.若函数f（x）＝（ω＞0）的最小正周期为π，则f＝ .
解析：由题设及周期公式得T＝＝π，所以ω＝1，即f（x）＝，所以f＝＝.
11.函数f（x）＝3sin（2x－＋φ）＋1，φ∈（0，π），且f（x）为偶函数，则φ＝ ，f（x）图象的对称中心为 （＋，1），k∈Z .
解析：若f（x）＝3sin（2x－＋φ）＋1为偶函数，则－＋φ＝kπ＋，k∈Z，则φ＝＋kπ，k∈Z，又∵φ∈（0，π），∴φ＝.∴f（x）＝3sin（2x＋）＋1＝3cos 2x＋1，由2x＝＋kπ，k∈Z得x＝＋，k∈Z，∴f（x）图象的对称中心为（＋，1），k∈Z.
12.函数f（x）＝cos（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为 （2k－，2k＋），k∈Z .
解析：由函数图象可得T＝2×（－）＝2＝，ω＝π，又cos（＋φ）＝－1，所以＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z，则f（x）＝cos（πx＋）.当2kπ＜πx＋＜2kπ＋π，k∈Z，即2k－＜x＜2k＋，k∈Z时，函数单调递减，故函数f（x）的单调递减区间为（2k－，2k＋），k∈Z.
13.已知函数f（x）＝sin ωx－cos ωx（ω＞0）的最小正周期为π.
（1）求函数y＝f（x）图象的对称轴方程；（2）讨论函数f（x）在上的单调性.
解：（1）∵f（x）＝sin ωx－cos ωx＝sin（ωx－），且T＝π，∴ω＝2.于是，f（x）＝sin.
令2x－＝kπ＋（k∈Z），得x＝＋（k∈Z），即函数f（x）图象的对称轴方程为x＝＋（k∈Z）.
（2）令2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），得函数f（x）的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）.
注意到x∈，∴令k＝0，得函数f（x）在上的单调递增区间为；
同理，其单调递减区间为.第4章三角函数与解三角形第5节三角函数一般式的图像及应用
考点一：三角函数图像的变换
1.已知函数f（x）＝2sin.函数y＝f（x）的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
2.把函数y＝f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f（x）＝（ ）
A.sin B.sin C.sin D.sin
3.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋）（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为，要得到函数g（x）＝Acos ωx的图象，只需将函数f（x）的图象（ ）
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
4.要得到函数y＝cos 2x的图象，只需将函数y＝sin（2x＋）的图象（ ）
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
5.将函数y＝3sin（2x＋）的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 .
6.函数y＝cos（2x＋φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝ .
考点二：求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
1.已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，则f（x）的表达式为（ ）
A.f（x）＝sin（2x＋） B.f（x）＝sin（2x－）
C.f（x）＝sin（x＋） D.f（x）＝sin（x＋）
2.（2023·新高考Ⅱ卷16题）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ），如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f（x）的两个交点，若｜AB｜＝，则f（π）＝
3.已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，－≤φ≤）的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为2，且过点，则函数f（x）＝ .
4.（2021·全国甲卷15题）已知函数f（x）＝2cos（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则f＝ .
5.已知函数f（x）＝4sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，其中A（0，2），B（，－2），则f（x）＝（ ）
A.4sin（x－） B.4sin（3x－）
C.4sin（x＋） D.4sin（3x＋）
考点三：三角函数图像与性质的综合应用
考向1 图象与性质的综合问题
1.（多选）已知函数f（x）＝cos 2xcos φ－sin 2xsin φ（0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则下列说法正确的是（ ）
A.直线x＝是函数f（x）的图象的一条对称轴 B.函数f（x）在［0，］上单调递减
C.函数f（x）的图象向右平移个单位长度可得到y＝cos 2x的图象 D.函数f（x）在［0，］上的最小值为－1
2.如图，函数y＝tan的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积为（ ）
A. B.
C.π D.2π
3.（多选）若将函数f（x）＝cos（2x＋）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（ ）
A.g（x）的最小正周期为π B.g（x）在［－，］上的最大值为1
C.x＝是函数g（x）图象的对称轴 D.g（x）在区间［0，］上单调递减
考向2 三角函数的零点（方程根）
1.已知函数f（x）＝2sin（2x－），且关于x的方程f（x）＝t（t∈R）在区间［0，］上有唯一解，则t的取值范围是 .
2.方程2sin（2x＋）＝1在区间[－2π，2π）上的解的个数是（ ）
A.4 B.6 C.8 D.9
考向3 三角函数模型的应用
1.（多选）如图，一个半径为3 m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2.2 m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数）.若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，d与时间t（单位：s）之间的关系为d＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，－＜φ＜），则下列结论正确的是（ ）
A.A＝3 B.ω＝
C.sin φ＝－ D.b＝－0.8
2.一个风车的半径为6 m，每12 min旋转一周，它的最低点P0离地面2 m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面的距离h（t）（m）与时间t（min）之间的函数关系式是（ ）
A.h（t）＝－6sin t＋6 B.h（t）＝－6cos t＋6
C.h（t）＝－6sin t＋8 D.h（t）＝－6cos t＋8
3.将函数f（x）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）＝sin（x＋）的图象.若x＝0是函数F（x）＝f（x）－g（x）的一个零点，则φ的最小值是 .
4.去年某地的月平均气温y（℃）与月份x（月）近似地满足函数y＝a＋bsin（x＋）（a，b为常数）.若6月份的月平均气温约为22 ℃，12月份的月平均气温约为4 ℃，则该地8月份的月平均气温约为 ℃.第4章三角函数与解三角形第5节三角函数一般式的图像及应用
考点一：三角函数图像的变换
.函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象的两种途径
提醒 （1）先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是｜φ｜个单位长度；（2）先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位长度.
1.已知函数f（x）＝2sin.函数y＝f（x）的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
解：将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到f（x）＝2sin的图象.
2.把函数y＝f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f（x）＝（ ）
A.sin B.sin C.sin D.sin
解析：B 依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f（x）的图象，所以y＝sin的图象y＝sin的图象f（x）＝sin的图象.
3.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋）（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为，要得到函数g（x）＝Acos ωx的图象，只需将函数f（x）的图象（ ）
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
解析：C 函数f（x）＝Asin（ωx＋）（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为，则T＝2×＝＝，∴ω＝3，∴f（x）＝Asin（3x＋）＝Acos（3x＋－）＝Acos（3x－）＝Acos［3（x－）］，∴只需将函数f（x）的图象向左平移个单位长度即可得到函数g（x）＝Acos ωx的图象.故选C.
4.要得到函数y＝cos 2x的图象，只需将函数y＝sin（2x＋）的图象（ ）
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
解析：A y＝cos 2x＝sin（2x＋）＝sin［2（x＋）］，y＝sin（2x＋）＝sin［2（x＋）］，所以y＝sin（2x＋）的图象向左平移个单位长度可得到函数y＝cos 2x的图象.
5.将函数y＝3sin（2x＋）的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 x＝－ .
解析：将函数y＝3sin（2x＋）的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y＝3sin［2（x－）＋］＝3sin（2x－）.由2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，当k＝－1时，对称轴方程为x＝－，故平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x＝－.
6.函数y＝cos（2x＋φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝ .
解析：把函数y＝cos（2x＋φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后，得到y＝cos（2x－π＋φ）的图象，与函数y＝sin的图象重合，则cos（2x－π＋φ）＝sin（2x－），即sin＝sin，又知－＜－＋φ＜，所以－＋φ＝－，则φ＝.
考点二：求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
1.已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，则f（x）的表达式为（ A ）
A.f（x）＝sin（2x＋） B.f（x）＝sin（2x－）
C.f（x）＝sin（x＋） D.f（x）＝sin（x＋）
解析：由图象知，＝＝－＝，解得ω＝2，将最大值点（，1）代入f（x）＝sin（2x＋φ）得，sin（＋φ）＝1，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，又｜φ｜＜，则φ＝，即f（x）＝sin（2x＋）.故选A.
2.（2023·新高考Ⅱ卷16题）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ），如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f（x）的两个交点，若｜AB｜＝，则f（π）＝ － .
解析：由题图设点A（x1，），B（x2，），则｜AB｜＝x2－x1＝.由题图可知其中k∈Z，则ω（x2－x1）＝，解得ω＝4.因为函数f（x）的图象过点（，0），所以4×＋φ＝2kπ，k∈Z，则φ＝2kπ－，k∈Z，所以f（x）＝sin（4x＋2kπ－）＝sin（4x－＋2kπ）＝sin（4x－），k∈Z.故f（π）＝sin（4π－）＝sin＝－.
3.已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，－≤φ≤）的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为2，且过点，则函数f（x）＝ sin .
解析：依题意得＝2，则＝2，即ω＝，∴f（x）＝sin，由于该函数图象过点，因此sin（π＋φ）＝－，即sin φ＝，而－≤φ≤，故φ＝，∴f（x）＝sin.
4.（2021·全国甲卷15题）已知函数f（x）＝2cos（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则f＝ － .
解析：由题图可知T＝－＝（T为f（x）的最小正周期），即T＝π，所以＝π，即ω＝2，故f（x）＝2cos（2x＋φ）.点可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×＋φ＝，得φ＝－，即f（x）＝2cos，所以f＝2cos（2×－）＝－.
5.已知函数f（x）＝4sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，其中A（0，2），B（，－2），则f（x）＝（ ）
A.4sin（x－） B.4sin（3x－）
C.4sin（x＋） D.4sin（3x＋）
解析：D 由题意得，＝－0，则T＝，∴ω＝＝3，∴f（x）＝4sin（3x＋φ）.∵f（0）＝4sin φ＝2，∴sin φ＝，又｜φ｜＜，∴φ＝，∴f（x）＝4sin（3x＋）.
考点三：三角函数图像与性质的综合应用
考向1 图象与性质的综合问题
1.（多选）已知函数f（x）＝cos 2xcos φ－sin 2xsin φ（0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则下列说法正确的是（ ）
A.直线x＝是函数f（x）的图象的一条对称轴 B.函数f（x）在［0，］上单调递减
C.函数f（x）的图象向右平移个单位长度可得到y＝cos 2x的图象 D.函数f（x）在［0，］上的最小值为－1
解析：ABD ∵f（x）＝cos 2xcos φ－sin 2xsin φ＝cos（2x＋φ）的图象的一个对称中心为（，0），∴2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z.∵0＜φ＜，∴φ＝.则f（x）＝cos（2x＋）.∵f（）＝cos（2×＋）＝cos π＝－1，∴直线x＝是函数f（x）的图象的一条对称轴，故A正确；当x∈［0，］时，2x＋∈［，］，∴函数f（x）在［0，］上单调递减，故B正确；函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到y＝cos［2（x－）＋］＝cos（2x－）的图象，故C错误；当x∈［0，］时，2x＋∈［，］，∴函数f（x）在［0，］上的最小值为cos π＝－1.故D正确.
2.如图，函数y＝tan的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积为（ ）
A. B.
C.π D.2π
解析：A 在y＝tan中，令x＝0，可得y＝1，所以D（0，1）；令y＝0，解得x＝－（k∈Z），故E，F.所以△DEF的面积为××1＝.
3.（多选）若将函数f（x）＝cos（2x＋）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（ ）
A.g（x）的最小正周期为π B.g（x）在［－，］上的最大值为1
C.x＝是函数g（x）图象的对称轴 D.g（x）在区间［0，］上单调递减
解析：ABC 由题意可知g（x）＝cos［2（x－）＋］＝cos（2x－），所以g（x）的最小正周期为π，A正确；当x∈［－，］时，2x－∈［－，］，g（x）的最大值为1，故B正确；当x＝时，2x－＝0，为函数g（x）的图象的对称轴，故C正确；当x∈［0，］时，2x－∈［－，］，g（x）不单调，故D错误.故选A、B、C.
考向2 三角函数的零点（方程根）
1.已知函数f（x）＝2sin（2x－），且关于x的方程f（x）＝t（t∈R）在区间［0，］上有唯一解，则t的取值范围是 [－1，1）∪{2} .
解析：因为x∈［0，］，所以2x－∈［－，］，所以2sin（2x－）∈[－1，2]，且当x＝时，f（）＝1，所以其函数图象如图所示.因为关于x的方程f（x）＝t（t∈R）在区间［0，］上有唯一解，所以y＝f（x）与y＝t只有一个交点，结合函数图象可知－1≤t＜1或t＝2.
2.方程2sin（2x＋）＝1在区间[－2π，2π）上的解的个数是（ ）
A.4 B.6 C.8 D.9
解析：C 原方程化为sin（2x＋）＝，在同一坐标系内作出函数y＝sin（2x＋），x∈[－2π，2π）与直线y＝的图象，如图，观察图象知：在x∈[－2π，2π）时函数y＝sin（2x＋）的图象与直线y＝有8个公共点，所以方程2sin（2x＋）＝1在区间[－2π，2π）上有8个解.故选C.
考向3 三角函数模型的应用
1.（多选）如图，一个半径为3 m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2.2 m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数）.若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，d与时间t（单位：s）之间的关系为d＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，－＜φ＜），则下列结论正确的是（ ）
A.A＝3 B.ω＝
C.sin φ＝－ D.b＝－0.8
解析：AC 对于A、D，由题意，dmax＝3＋2.2＝5.2（m），dmin＝2.2－3＝－0.8（m），所以解得故A正确，D不正确；对于B，因为逆时针方向每分钟转1.5圈，所以ω＝＝，故B不正确；对于C，由题意知，当t＝0时，d＝0，所以0＝3sin φ＋2.2，所以sin φ＝－＝－，故C正确.综上所述，选A、C.
2.一个风车的半径为6 m，每12 min旋转一周，它的最低点P0离地面2 m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面的距离h（t）（m）与时间t（min）之间的函数关系式是（ ）
A.h（t）＝－6sin t＋6 B.h（t）＝－6cos t＋6
C.h（t）＝－6sin t＋8 D.h（t）＝－6cos t＋8
解析：D 设h（t）＝Acos ωt＋B（A＜0，ω＞0），∵每12 min旋转一周，∴＝12，∴ω＝.由题意得，h（t）的最大值与最小值分别为14，2，∴解得∴h（t）＝－6cos t＋8.
3.将函数f（x）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）＝sin（x＋）的图象.若x＝0是函数F（x）＝f（x）－g（x）的一个零点，则φ的最小值是 .
解析：由题意，可知函数g（x）＝sin（x＋）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，可得函数f（x）的图象，所以f（x）＝g（x＋φ）＝sin（x＋φ＋）.因为x＝0是函数F（x）＝f（x）－g（x）的一个零点，所以F（0）＝f（0）－g（0）＝0.即sin（φ＋）－sin＝0，所以sin（φ＋）＝，所以φ＋＝2kπ＋（k∈Z）或φ＋＝2kπ＋（k∈Z），解得φ＝2kπ（k∈Z）或φ＝2kπ＋（k∈Z）.因为φ＞0，所以当φ＝2kπ（k∈Z）时，φ的最小值是2π；当φ＝2kπ＋（k∈Z）时，φ的最小值是.综上，φ的最小值是.
4.去年某地的月平均气温y（℃）与月份x（月）近似地满足函数y＝a＋bsin（x＋）（a，b为常数）.若6月份的月平均气温约为22 ℃，12月份的月平均气温约为4 ℃，则该地8月份的月平均气温约为 31 ℃.
解析：将（6，22），（12，4）代入函数，解得a＝13，b＝－18，所以y＝13－18sin（x＋）.当x＝8时，y＝13－18sin（×8＋）＝31.第4章三角函数与解三角形第6节余弦定理与正弦定理1小题
考点一：正弦定理和余弦定理
1.已知△ABC中，a＝1，b＝，B＝45°，则A＝（ ）
A.150° B.90° C.60° D.30°
2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，cos B＝，则A＝（ ）
A. B. C. D.或
3.（2023·全国乙卷4题）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝（ ）
A. B. C. D.
4.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则A＝ .
5.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图①所示.类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在△ABC中，若AF＝1，FD＝2，则AB＝ .
6.（多选）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（ ）
A.a2＝b2＋c2－2bccos A B.asin B＝bsin A C.a＝bcos C＋ccos B D.acos B＋bcos C＝c
7.已知△ABC的三边长分别为a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的外接圆半径R＝ .
8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋asin A＝bsin B＋csin C.则A＝ .
9.在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c＝（ ）
A. B. C.6 D.5
10.在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，则cos B＝ .
11.已知△ABC外接圆的半径为R，其内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，设2R（sin2A－sin2B）＝（a－c）·sin C.（1）求角B；（2）若b＝12，c＝8，求sin A的值.
12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2＋c2－b2－ac＝0，△ABC的外接圆半径R＝，△ABC的周长为9，则ac＝（ ）
A.6 B.9 C.16 D.24
13.在①（a－c）（sin A＋sin C）＝b（sin A－sin B）；②2ccos C＝acos B＋bcos A；③△ABC的面积为c（asin A＋bsin B－csin C）这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
（1）求角C；（2）若D为AB的中点，且c＝2，CD＝，求a，b的值.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
考点二：面积公式
1.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝30°，则c＝ .
2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，a＝2，c＝b，则△ABC的面积为（ ）
A.2 B. C. D.2
3.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＝1，C＝，△ABC的面积S＝2，则△ABC的外接圆的半径为（ ）
A.4 B.2 C.5 D.
4.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，b＝2，c＝，且asin B＋bcos A＝b，则△ABC的面积为 .
考点三：三角形的解的个数
1.在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是（ ）
A.有一解 B.有两解 C.无解 D.有解但解的个数不确定
考点四：判断三角形的形状
1.在△ABC中，sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC的形状是 .
2在△ABC中，＝sin2 （a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（ ）
A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＜cos A，则△ABC为( )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形
4.在△ABC中，若c－acos B＝（2a－b）cos A，则△ABC的形状为 .
5.在△ABC中，＝，（b＋c＋a）（b＋c－a）＝3bc，则△ABC的形状为 .
6.（多选）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是（ ）
A.若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形 B.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
C.若＝＝，则△ABC一定是等边三角形 D.若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形
7.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a－b＝ccos B－ccos A，则△ABC的形状为 .第4章三角函数与解三角形第6节余弦定理与正弦定理1小题
1.余弦定理、正弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R（R为△ABC外接圆半径） a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝ c2＋a2－2accos B ； c2＝a2＋b2－2abcos C
变形 设△ABC外接圆半径为R，则 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； ＝＝2R cos A＝； cos B＝； cos C＝
3.三角形的面积公式
（1）S△ABC＝aha（ha为边a上的高）；
（2）S△ABC＝absin C＝ bcsin A ＝ acsin B ；
（3）S△ABC＝r（a＋b＋c）（r为三角形的内切圆半径）；
（4）S△ABC＝＝2R2sin Asin Bsin C（R为△ABC外接圆半径）.
2.在△ABC中，已知a，b和A时解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 1 2 1 1
考点一：正弦定理和余弦定理
1.已知△ABC中，a＝1，b＝，B＝45°，则A＝（ ）
A.150° B.90° C.60° D.30°
解析：D 由正弦定理，得＝，得sin A＝.又a＜b，∴A＜B＝45°.∴A＝30°.故选D.
2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，cos B＝，则A＝（ ）
A. B. C. D.或
解析：A 在△ABC中，cos B＝，所以sin B＝＝，又a＝2，b＝3，所以由正弦定理可得sin A＝＝＝，又b＞a，所以A为锐角，所以A＝.故选A.
3.（2023·全国乙卷4题）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝（ ）
A. B. C. D.
解析：C 由正弦定理及acos B－bcos A＝c，得sin Acos B－cos Asin B＝sin C，即sin（A－B）＝sin C＝sin（A＋B）.因为A－B＜A＋B，所以A－B＋A＋B＝π，解得A＝.所以B＝π－A－C＝π－－＝.故选C.
4.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则A＝ .
解析：在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cos A＝＝＝－，因为A为△ABC的内角，所以A＝.
5.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图①所示.类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在△ABC中，若AF＝1，FD＝2，则AB＝ .（历史班不讲）
解析：由题意△EFD为等边三角形，则∠EDA＝，所以∠BDA＝，根据条件△AFC与△BDA全等，所以AF＝BD＝1，在△ABD中，AD＝3，BD＝1，AB2＝AD2＋BD2－2×AD×BD×cos∠BDA＝32＋12－2×1×3×＝13，所以AB＝.
6.（多选）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（ ）
A.a2＝b2＋c2－2bccos A B.asin B＝bsin A C.a＝bcos C＋ccos B D.acos B＋bcos C＝c
解析：ABC 易知A、B正确，由结论2可得C正确，D错误.
7.已知△ABC的三边长分别为a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的外接圆半径R＝ .
解析：由结论1可得p＝＝＝9，S△ABC＝＝6，R＝＝＝.
8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋asin A＝bsin B＋csin C.则A＝ .
解析：根据正弦定理，由bsin C＋asin A＝bsin B＋csin C，可得bc＋a2＝b2＋c2，即bc＝b2＋c2－a2，由余弦定理可得，cos A＝＝，因为A为三角形内角，所以A＝.
9.在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c＝（ ）
A. B. C.6 D.5
解析：B 因为sin A＝6sin B，则由正弦定理得a＝6b，又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1，因为C＝60°，所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，即c2＝62＋12－2×6×1×，解得c＝.
10.在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，则cos B＝ .
解析：设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，因为sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，所以a∶b∶c＝3∶2∶4，设a＝3k，b＝2k，c＝4k，k＞0，则cos B＝＝＝＝.
11.已知△ABC外接圆的半径为R，其内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，设2R（sin2A－sin2B）＝（a－c）·sin C.（1）求角B；（2）若b＝12，c＝8，求sin A的值.
解：（1）∵2R（sin2A－sin2B）＝（a－c）sin C，∴2R·2R（sin2A－sin2B）＝（a－c）sin C·2R，
即a2＋c2－b2＝ac.∴cos B＝＝.∵0＜B＜π，∴B＝.
（2）若b＝12，c＝8，由正弦定理＝，得sin C＝，
由于b＞c，故C为锐角，cos C＝.∴sin A＝sin（B＋C）＝sin＝×＋×＝.
12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2＋c2－b2－ac＝0，△ABC的外接圆半径R＝，△ABC的周长为9，则ac＝（ ）
A.6 B.9 C.16 D.24
解析：B 在△ABC中，由a2＋c2－b2－ac＝0，可得a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝＝，由0＜B＜π可得B＝，所以b＝2Rsin B＝2×＝3.因为△ABC的周长为9，所以a＋c＝9－b＝9－3＝6，由a2＋c2－b2－ac＝0，可得（a＋c）2－3ac＝b2＝9，所以3ac＝27，所以ac＝9.
13.在①（a－c）（sin A＋sin C）＝b（sin A－sin B）；②2ccos C＝acos B＋bcos A；③△ABC的面积为c（asin A＋bsin B－csin C）这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
（1）求角C；（2）若D为AB的中点，且c＝2，CD＝，求a，b的值.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解：（1）选择①，根据正弦定理得（a－c）（a＋c）＝b（a－b），
整理得a2－c2＝ab－b2，即a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝＝.
因为C∈（0，π），所以C＝.
选择②，根据正弦定理有sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C，
所以sin（A＋B）＝2sin Ccos C，即sin C＝2sin Ccos C.
因为C∈，所以sin C≠0，从而有cos C＝，故C＝.
选择③，因为casin B＝c（asin A＋bsin B－csin C），
所以asin B＝asin A＋bsin B－csin C，由正弦定理得ab＝a2＋b2－c2，
由余弦定理，得cos C＝＝＝，又因为C∈（0，π），所以C＝.
（2）在△ACD中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC，即b2＝1＋3－2cos∠ADC.
在△BCD中，BC2＝BD2＋CD2－2BD·CDcos∠BDC，即a2＝1＋3－2cos∠BDC.
因为∠ADC＋∠BDC＝π，所以cos∠ADC＝－cos∠BDC，所以a2＋b2＝8.
由C＝及c＝2，得a2＋b2－4＝ab，所以ab＝4，从而a2＋b2－2ab＝0，所以a＝b＝2.
考点二：面积公式
1.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝30°，则c＝ 8 .
解析：由S△ABC＝acsin B＝×2c×＝4，得c＝8.
2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，a＝2，c＝b，则△ABC的面积为（ ）
A.2 B. C. D.2
解析：C 由余弦定理的推论得cos ＝＝－，因为c＝b，所以b＝2（负值舍去），c＝2，所以S△ABC＝bcsin A＝×2×2×＝.故选C.
3.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＝1，C＝，△ABC的面积S＝2，则△ABC的外接圆的半径为（ ）
A.4 B.2 C.5 D.
解析：D 因为b＝1，C＝，△ABC的面积S＝2，所以S＝a×1×sin＝2，解得a＝4，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝（4）2＋12－2×4×1×＝25，解得c＝5（负值舍去），所以结合正弦定理可知，△ABC的外接圆的半径为＝，故选D.
4.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，b＝2，c＝，且asin B＋bcos A＝b，则△ABC的面积为 .
解析：∵asin B＋bcos A＝b，∴由正弦定理得sin Asin B＋sin Bcos A＝sin B，∵0＜B＜π，∴sin B≠0，∴sin A＋cos A＝1，即sin（A＋）＝，∵0＜A＜π，∴A＝，∴S△ABC＝bcsin A＝×2××＝.
考点三：三角形的解的个数
1.在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是（ ）
A.有一解 B.有两解 C.无解 D.有解但解的个数不确定
解析：C 由正弦定理得＝，∴sin B＝＝＝＞1.∴B不存在，即满足条件的三角形不存在.
考点四：判断三角形的形状
1.在△ABC中，sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC的形状是 等腰直角三角形 .
解析：根据正弦定理＝＝，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，B＋C＝90°，∴2sin Bcos C＝2sin Bcos（90°－B）＝2sin2B＝sin A＝1，∴sin B＝.∵0°＜B＜90°，∴B＝45°，C＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形.
2在△ABC中，＝sin2 （a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（ ）
A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
解析：由sin2 ＝，得＝，即cos B＝.
法一 由余弦定理得＝，即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等.
法二 由正弦定理得cos B＝，又sin A＝sin（B＋C）＝sin Bcos C＋cos Bsin C，所以cos Bsin C＝sin Bcos C＋cos Bsin C，即sin Bcos C＝0，又sin B≠0，所以cos C＝0，又C为三角形的内角，所以C＝，所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等.
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＜cos A，则△ABC为( )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形
解析：由＜cos A，得＜cos A.又B∈（0，π），所以sin B＞0，所以sin C＜sin Bcos A，即sin（A＋B）＜sin Bcos A，所以sin Acos B＜0.因为sin A＞0，所以cos B＜0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.
4.在△ABC中，若c－acos B＝（2a－b）cos A，则△ABC的形状为 直角三角形或等腰三角形 .
解析：由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，所以sin（A＋B）－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，故cos A（sin B－sin A）＝0,所以cos A＝0或sin A＝sin B，即A＝或A＝B，故△ABC为直角三角形或等腰三角形.
5.在△ABC中，＝，（b＋c＋a）（b＋c－a）＝3bc，则△ABC的形状为等边三角形.
解析：因为＝，所以＝，所以b＝c.又（b＋c＋a）（b＋c－a）＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝.因为A∈（0，π），所以A＝，所以△ABC是等边三角形.
6.（多选）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是（ ）
A.若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形 B.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
C.若＝＝，则△ABC一定是等边三角形 D.若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形
解析：BC 对于A，若acos A＝bcos B，则由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B，若bcos C＋ccos B＝b，则由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin（B＋C）＝sin A＝sin B，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故B正确；对于C，若＝＝，则由正弦定理得＝＝，则tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故C正确；对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得（a－c）2＝0，解得a＝c，可得A＝C＝B，故△ABC是等边三角形，故D错误.
7.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a－b＝ccos B－ccos A，则△ABC的形状为 等腰三角形或直角三角形 .
解析：由题意及余弦定理的推论得a－b＝c·－c·，整理得a2b－ab2＋ac2－bc2＋b3－a3＝0，即（a－b）（c2－a2－b2）＝0，∴a＝b或c2＝a2＋b2，∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形.
