广东省清远市清新区四校2024-2025学年高三上学期期末联考试题 数学（含答案）

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清新区2024-2025学年高三上学期12月期末四校联考
数学试题
满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
一、单选题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．）
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 复数等于它共轭复数的倒数的充要条件是（　　）
A. B. C. D.
3. 在等比数列中，，则（）
A. 4 B. C. 8 D. 5
4. 抛物线的准线方程为（）
A. B. C. D.
5. 已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，点P在双曲线上，，圆O：，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为，则C的离心率为（）
A. B. C. D.
6. 过圆上一点作圆两条切线，切点分别为，，若，则实数（ ）
A. B. C. D.
7. 甲、乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加概率为（）
A. B. C. D.
8. 已知函数在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、多选题（本题共4 小题，每小题6 分，共24 分．每题至少两项是符合题目要求的．全部选对得6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．）
9. 在正方体中，M，N，P分别是面，面，面的中心，则下列结论正确的是（）
A. B. 平面
C. 平面 D. 与所成角是
10. 下列结论正确的是（）
A. 若，则
B. 若，则的最小值为2
C. 若，则的最大值为2
D. 若，则
11. 已知圆，圆分别是圆与圆上的点，则（）
A若圆与圆无公共点，则
B. 当时，两圆公共弦所在直线方程为
C. 当时，则斜率的最大值为
D. 当时，过点作圆两条切线，切点分别为，则不可能等于
12. 已知函数，，其中且．若函数，则下列结论正确的是（）
A. 当时，有且只有一个零点
B. 当时，有两个零点
C. 当时，曲线与曲线有且只有两条公切线
D. 若为单调函数，则
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 第二届广东自由贸易试验区一联动发展区合作交流活动于2023年12月13日—14日在湛江举行，某区共有4名代表参加，每名代表是否被抽到发言相互独立，且概率均为，记为该区代表中被抽到发言的人数，则______.
14. 函数是奇函数，则__________.
15. 已知向量，，则使成立的一个充分不必要条件是______________．
16. 如图，在四棱柱中，底面ABCD为正方形，，，，且二面角的正切值为．若点P在底面ABCD上运动，点Q在四棱柱内运动，，则的最小值为______．
四、解答题（本题共6小题，共70分）
17. 在中，角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求的最小值.
18. 设是等比数列且公比大于0，其前项和为是等差数列，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求满足的最大整数的值．
19. 在四棱锥中，底面是正方形，若，，，
（1）求四棱锥的体积；
（2）求直线与平面夹角正弦值．
20. 甲 乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立．
（1）在比赛进行4场结束的条件下，求甲队获胜的概率；
（2）赛事主办方需要预支球队费用万元．假设主办方在前3场比赛每场收入100万元，之后的比赛每场收入200万元．主办方该如何确定的值，才能使其获利（获利=总收入预支球队费用）的期望高于万元？
21. 抛物线：，双曲线：且离心率，过曲线下支上的一点作的切线，其斜率为.
（1）求的标准方程；
（2）直线与交于不同的两点，，以PQ为直径的圆过点，过点N作直线的垂线，垂足为H，则平面内是否存在定点D，使得DH为定值，若存在，求出定值和定点D的坐标；若不存在，请说明理由.
22. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，渐近线的斜率为2．
（1）求双曲线的方程；
（2）设过点的直线与曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．
清新区2024-2025学年高三上学期12月期末四校联考
数学试题
一、单选题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．）
1.
【答案】D
2.
【答案】B
3.
【答案】A
4.
【答案】B
5.
【答案】D
6.
【答案】C
7.
【答案】C
8.
【答案】D
二、多选题（本题共4 小题，每小题6 分，共24 分．每题至少两项是符合题目要求的．全部选对得6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．）
9.
【答案】ABD
10.
【答案】AD
11.
【答案】BC
12.
【答案】BCD
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13.【答案】##
14.
【答案】1
15.
【答案】（答案不唯一）
16.
【答案】
四、解答题（本题共6小题，共70分）
17.
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，进而可求解，
（2）根据面积公式以及余弦定理，结合基本不等式即可求解.
【小问1详解】
由正弦定理得：
，
又，，
，
；
【小问2详解】
，，
由余弦定理得：，
当且仅当时等号成立，
，即的最小值为.
18.
【解析】
【分析】（1）利用等差和等比数列的通项公式求解；
（2）先拆项分母得，再利用裂项相消法求和，进而解不等式求满足的最大整数的值.
【小问1详解】
设的公比为，
因为，所以，即，解得或（舍），
所以，
设的公差为，
因，所以，
所以，解得，所以．
故，.
【小问2详解】
，
即.
所以
.
，化简得，又，解得.
所以满足的最大整数.
19.
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，，可证平面，则为四棱锥的高，利用锥体体积公式求解即可；
（2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，线面角的正弦值即为直线的方向向量与平面的法向量夹角余弦值的绝对值，求解即可.
【小问1详解】
取的中点，连接，，
因为，所以，
又，，所以，
在正方形中，，所以，
所以，又，
所以，即，
又，平面，平面，
所以平面，
所以四棱锥的体积为；
【小问2详解】
过作交于，则，
结合（1）中平面，故可建如图空间直角坐标系：
则，，，，
故，，，
设平面法向量为，
则，故，取，则，，所以，
设直线与平面夹角为，
则，
所以直线与平面夹角的正弦值为.
20.
【解析】
【分析】（1）先求出比赛4场结束的概率，然后利用条件概率公式即可解答；
（2）先由题意列出比赛收入的分布列，从而求出期望值，进而根据题意确定的值.
【小问1详解】
记事件为“比赛进行4场结束”；事件为“甲最终获胜”，
事件表示“第场甲获胜”，
事件为“比赛进行4场结束甲获胜”；事件为“比赛进行4场结束乙获胜”．
则，
因为各场比赛结果相互独立，
所以
，
，
因为互斥，所以．
又因为，
所以由条件概率计算公式得.
【小问2详解】
设主办方本次比赛总收入为万元，
由题意：的可能取值为：．
，
，
，
则随机变量的分布列为：
300 500 700
0.26 0.37 0.37
所以．
设主办方本次比赛获利为万元，则，
所以，
由题意：，
所以预支球队的费用应小于261万元．
21.
【解析】
【分析】（1）写出切线方程并与抛物线方程联立求出点M坐标，再结合离心率求出双曲线方程作答.
（2）当直线PQ不垂直于y轴时，设出直线方程并与的方程联立，借助韦达定理及向量数量积求出直线PQ过定点E，直线PQ垂直于y轴，验证也过定点E，取线段EN中点即可作答.
【小问1详解】
切线方程为，即，由消去y并整理得：
，则，解得，即，
由离心率得，即，双曲线，则，
所以双曲线的标准方程为：.
【小问2详解】
当直线PQ不垂直于y轴时，设直线方程为，，，
由消去x并整理得：，
有，，，
，，因以为直径的圆过点，则当P，Q与N都不重合时，有，
，当P，Q之一与N重合时，成立，于是得，
则有
，即，
整理得，即，
因此，解得或，均满足，
当时，直线：恒过，不符合题意，
当时，直线：，即恒过，符合题意，
当直线PQ垂直于y轴时，设直线，由解得，
因以为直径的圆过点，则由对称性得，解得，直线过点，
于是得直线过定点，取EN中点，因于H，从而，
所以存在定点D，使得为定值，点.
22.
【解析】
【分析】（1）根据已知可求出，，即可求出双曲线的方程；
（2）设，，.设出直线方程，与双曲线方程联立得到，根据韦达定理求出，用点的坐标表示出，整理得到，因为该式为常数，所以有，求出，代入即可求出常数.
【小问1详解】
由已知可得，双曲线的渐近线方程为，双曲线焦点，.
则到渐近线，即的距离为，所以，
又渐近线的斜率为2，即，所以，
所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
由已知可得，直线的斜率存在，设斜率为，则.
联立直线的方程与双曲线的方程可得，，
设，，.
当，即时，此时直线与双曲线的渐近线平行，不满足题意，所以，.
，解得，且.
由韦达定理可得，，且，.
又，，
则，
因为，，
所以，
要使为常数，则应与无关，
即应有，解得，此时是个常数，这样的点存在.
所以，在轴上存在定点的坐标为，使得为常数.
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