2024-2025学年上海浦外附中高二上学期数学期中试卷（含答案）（2024.11）

浦外附中2024学年第一学期高二年级数学期中
2024.11
一、填空题（共36分，每小题3分）
1．如图，正六棱柱中与直线异面的侧棱共有________条．
2．已知圆柱的底面半径为2，高为2，则该圆柱的侧面积是________．
3．如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，，则的面积为________．
(第1题图) （第3题图） （第5题图）
4．在长方体中，，，，则异面直线和的距离为________．
5．如图，在四面体中，是的中点，是的中点，若，则乘积________．
6．在正方体中，已知棱，点为线段一点，则的值为________．
7．如图，四棱锥的体积为，底面是边长为4的正方形，且，则此四棱锥的表面积为________．
8．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，
（1）若，，，则；（2）若，，，则；
（3）若，，，则；（4）若，，，则
其中正确的命题有________．（填写所有正确命题的编号）
9．如图，正四棱柱的底面边长为2，，为的中点，则到平面的距离为________．
10．如图所示，绕直角边所在直线旋转一周形成一个圆锥，已知在空间直角坐标系中，点和点均在圆锥的母线上，则圆锥的表面积为________．
（第9题图） （第10题图） （第11题图）
11．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点．如果将容器倒置，水面也恰好经过点（图2），试正四棱柱的高为，正四棱锥的高为，则________．
12．如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，，，点在上底面所在平面上，使得，点在下底面所在平面上，使得，若三棱锥的外接球表面积为，则的取值范围是________．
二、单选题（共12分，每小题3分）
13．已知直线平面，则“直线”是“”的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
14．以下说法正确的是（ ）
A．各侧面都是矩形的棱柱是长方体
B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C．各侧面都是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥
D．底面四条边相等的直棱柱是正四棱柱
15．已知是棱长为1的正四面体．若点满足，其中，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．0 D．
16．灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼．营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱，中间是球的一部分（除去两个球缺）．如图2．“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高．已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高．已知该灯笼的高为，圆柱的高为，圆柱的底面圆直径为，则该灯笼的体积为（取）（ ）
A． B． C． D．
三、解答题（共52分）
17．（本题满分8分，）如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的大小．
18．（本题满分8分，）已知空间三点，，．
（1）若向量与互相垂直，求实数的值；
（2）求以，为邻边的平行四边形的面积．
19．（本题满分10分，）如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，是的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
20．（本题满分11分，）如图1，在中，，，为的中点，现将及其内部以边为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点为旋转过程中形成的圆的圆心，为圆上任意一点．
（1）求新的几何体的体积；
（2）记与底面所成角为，求的取值范围．
21．（本题满分15分，）如图在四面体中，是边长为2的等边三角形，为直角三角形，其中为直角顶点，，、、、分别是线段、、、上的动点，且四边形为平行四边形．
（1）求证：平面；
（2）试探究当二面角从增加到的过程中，线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积；
（3）设，且是以为底的等腰三角形，当为何值时，多面体的体积恰好为？
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.；
10.； 11.； 12.；
11.如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点．如果将容器倒置，水面也恰好经过点（图2），试正四棱柱的高为，正四棱锥的高为，则________．
【答案】
【解析】设图（1）中到正四棱柱下底面与上底面的距离分别为,正四棱柱的上下底面面积为,则由图（1）可得,
又由图（2）可得
正四棱柱的高为,正四棱柱的高为故答案为:.
12.如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，，，点在上底面所在平面上，使得，点在下底面所在平面上，使得，若三棱锥的外接球表面积为，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】在中,已知,
则,可得,
取的中点分别为，则
由,得点在平面的轨迹为以为直径的圆,记为.
又,得点在平面的轨迹为以为直径的圆,记为,
可得经过点,且三棱锥的外接球球心在直线上.
设，球的半径为，
在中，由勾股定理得：
在中，由勾股定理得：
联立(1)(2)可得,由，得,
则,可得三棱锥的外接球的表面积.
故答案为:.
二、选择题
13.B； 14.B； 15.A； 16.A
15.已知是棱长为1的正四面体．若点满足，其中，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】A
【解析】根据题意,点满足,其中
所以，可得,因为点是平面内的一点,又正四面体棱长为1,
所以当点与在上的射影重合时，等于正四面体的高，
此时且达到最小值。故答案为:.故选A.
16.灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼．营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱，中间是球的一部分（除去两个球缺）．如图2．“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高．已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高．已知该灯笼的高为，圆柱的高为，圆柱的底面圆直径为，则该灯笼的体积为（取）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得,解得，
所以两个球缺的体积之和为
因为取,所以,所以中间部分的体积为
因为上下两个圆柱的体积之和为
所以围成该灯笼的体积为.故选A.
三、解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1） （2）
19.（1）证明略 （2）
20.如图1，在中，，，为的中点，现将及其内部以边为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点为旋转过程中形成的圆的圆心，为圆上任意一点．
（1）求新的几何体的体积；
（2）记与底面所成角为，求的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】(1)连接,由题可得
所以新的几何体的体积
(2)如图，作的中点，连接，易知为与底面所面的角,则,又因为,所以.
21.如图在四面体中，是边长为2的等边三角形，为直角三角形，其中为直角顶点，，、、、分别是线段、、、上的动点，且四边形为平行四边形．
（1）求证：平面；
（2）试探究当二面角从增加到的过程中，线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积；
（3）设，且是以为底的等腰三角形，当为何值时，多面体的体积恰好为？
【答案】（1）见解析 （2） (3)
【解析】(1)证明:四边形为平行四边形,.
而面面,面.
而面，面面,.
而面面,面.
(2),在平面上的投影满足,即在线段的中垂线上.
如右图所示,将补成边长为2的正,
当二面角为角时,即点在平面上，
此时为，当二面角为角时，此时为中点,
故在平面上的投影所扫过的平面区域为,
而,故线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积为.
(3),且为等腰三角形，.
取中点,由题意得:,,
满足,根据勾股定理可知.
平面
而多面体的体积恰好为
即多面体的体积恰为四面体体积的一半.连接
.,整理得解得.