(共10张PPT)
正弦、余弦函数的图象
X
-
R
[-1,1]
R
[-1,1]
R
值域
定义域
三角函数
1.复习：
2.P196思考：
正弦、余弦函数的图象
问题：如何作出正弦、余弦函数的图象？
y=sinx x [0,2 ]
O1
O
y
x
-1
1
y=sinx x R
终边相同角的三角函数值相等
即： sin(x+2k )=sinx, k Z
描图：用光滑曲线
将这些正弦线的终点连结起来
利用图象平移
A
B
正弦、余弦函数的图象
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1
y=sinx x [0,2 ]
y=sinx x R
正弦曲线
y
x
o
1
-1
正弦、余弦函数的图象
y
x
o
1
-1
如何作出正弦函数的图象（在精确度要求不太高时）？
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,-1)
( 2 ,0)
五点画图法
五点法——
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,-1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,-1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,-1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,-1)
( 2 ,0)
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1
正弦、余弦函数的图象
余弦函数的图象
正弦函数的图象
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1
y=cosx=sin(x+ ), x R
余弦曲线
(0,1)
( ,0)
( ,-1)
( ,0)
( 2 ,1)
正弦曲线
形状完全一样只是位置不同
例1 画出函数y=1+sinx，x [0, 2 ]的简图：
x
sinx
1+sinx
0 2
0
1
0
-1
0
1 2 1 0 1
o
1
y
x
-1
2
y=sinx，x [0, 2 ]
y=1+sinx，x [0, 2 ]
步骤：
1.列表
2.描点
3.连线
例2 画出函数y= - cosx，x [0, 2 ]的简图：
x
cosx
- cosx
0 2
1
0
-1
0
1
-1 0 1 0 -1
y
x
o
1
-1
y= - cosx，x [0, 2 ]
y=cosx，x [0, 2 ]
正弦、余弦函数的图象
x
sinx
0 2
1
0
-1
0
1
练习：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数
y= sinx，x [0, 2 ] 和 y= cosx，x [ , ]的简图：
o
1
y
x
-1
2
y=sinx，x [0, 2 ]
y= cosx，x [ , ]
向左平移 个单位长度
x
cosx
1
0
0
-1
0
0
正弦、余弦函数的图象
正弦、余弦函数的图象
小
结
1. 正弦曲线、余弦曲线
几何画法
五点法
2.注意与诱导公式知识的联系
y
x
o
1
-1
y=sinx，x [0, 2 ]
y=cosx，x [0, 2 ](共39张PPT)
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（1）
—周期性、奇偶性、对称性
第五章 三角函数
引 入
正弦函数五个关键点:
与x轴的交点
图像的最高点
图像的最低点
余弦函数五个关键点:
与x轴的交点
图像的最高点
图像的最低点
y＝sin x
y＝cos x
正弦曲线
探究新知
余弦函数的图象
正弦函数的图象
余弦曲线
形状完全一样只是位置不同
定义域：R
值域：[-1，1]
定义域：R
值域：[-1，1]
1.定义域和值域
探究新知
2.周期性
(1) 正弦函数具有“周而复始”的变化规律；
(2) 规律是：每隔2 重复出现一次（或者说每隔2k ，k Z重复出现）；
(3) 这个规律由诱导公式sin(2k +x)=sinx可以说明.
x
y
o
-1
1
-
2
3
4
5
-2
-3
-4
观察正弦函数的图像，
数学上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律.
结论：像这样一种函数叫做周期函数.
探究新知
周期函数定义：
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x+T∈D 且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
2.周期性
探究新知
对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.
说明：我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期。
最小正周期：
探究新知
正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
正弦函数、余弦函数的周期：
探究新知
思考？
说明：定义是对定义域中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足：f(x+T)=f(x)，不能说T是y=f(x)的周期.
不是.
说明：周期函数中，x 定义域D，则必有x+T D, 且若T>0，则定义域无上界；T<0则定义域无下界.
探究新知
说明：T往往是多值的（如y=sinx, T=2 , 4 , … , －2 , － 4 , …都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）.
是. 但无最小正周期.
说明：并不是所有周期函数都有最小正周期，如y=1.
例题讲解
（1）y＝3sin x，x∈R；
解 ：（1） x∈R，有3sin（x＋2π）＝3sin x，
由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π．
例1 求下列函数的周期：
（2）y＝cos 2x，x∈R；
解 ：（2）令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y＝cos z的周期为2π，
即cos（z＋2π）＝cos z，
于是cos（2x＋2π）＝cos 2x，所以cos 2（x＋π）＝cos 2x，x∈R．
由周期函数的定义可知，原函数的周期为π．
例题讲解
解 ：（3）令 ，由x∈R得z∈R，
（3）y＝ ．
由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π．
且y＝2sin z的周期为2π，
于是 ，
所以 ，x∈R．
例题讲解
第一步，先用换元法转换：比如对于“（2）y＝cos 2x，x∈R”，
令2x＝t，所以y＝f (x)＝cos 2x＝cos t；
第二步，利用已知的三角函数的周期找关系：
由cos(2π＋t)＝cos t，代入可得：cos(2π＋2x)＝cos 2x；
第三步，根据定义变形：变形可得：cos 2(π＋x)＝cos 2x，
于是就有f (x＋π)＝f (x)；
对于周期问题，求解的步骤如下：
第四步，确定结论：根据定义可知其周期为π．
探究新知
仿照上述分析过程可得函数y＝Asin(ωx＋φ)、y＝Acos(ωx＋φ) (其中A，
ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的最小正周期为：T＝ ．
一般地，如果函数y＝f (x)的周期是T，
那么函数y＝f (ωx) (ω>0)的周期是 .
回顾例1的解答过程中，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？
函数的周期与x的系数有关.
课堂练习
1.求下列函数的周期：
2.函数
的最小正周期为_________.
4.函数 的最小正周期是_______.
5.求 的周期是________.
3.函数
的最小正周期为_________.
2
2
4
π
探究新知
变式：(多选)下列函数的最小正周期是的是( )
A.B.C.D.
BC
周期求法总结：
一般地，函数 y=Asin(ωx+φ) 及y=Acos(ωx+φ) （其中A ,ω,φ为常数，且 A≠0, ω≠0 ）的周期是:
法1.定义法：
法2.公式法：
法3.图象法:
例题讲解
6.已知函数
的周期为
，则
则正整数 的最大值为________.
7.已知函数
的最小正周期不小于 ,
利用函数的周期性，有助于从局部认识整体.
π
6
18
例2
探究新知
探究新知
结论：若函数满足以下四个条件的其中一个，即：
(1)；
(2)；或f(x＋a)＋f(x)=0
(3)；
(4)，则函数的周期.
我们证明第一个条件能得到该结论，其它两个同理可得证.
证明：
，
∴.
探究新知
结论：若函数满足以下条件的其中一个，即：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)，
(5)，则函数的周期.
(7)，则.
(6)，则.
探究新知
例4若，且满足，则_________.
解：∵，∴周期.
∴，，
∴3
3
探究新知
3.奇偶性
正弦函数的图象
探 究
余弦函数的图象
问题：你能从它们的图象看出它们有何奇偶性吗？
探究新知
sin(-x)= - sinx (x R)
y=sinx (x R)
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1
是奇函数
x
6
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1
y
cos(-x)= cosx (x R)
y=cosx (x R)
是偶函数
定义域关于原点对称
正弦函数、余弦函数的奇偶性：
例题讲解
例5 判断下列函数的奇偶性
课堂练习
课堂练习
课堂练习
练习：2.
课堂练习
4
3
5
探究新知
判断函数奇偶性的方法
(1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；
二看f(x)与f(－x)的关系.
(2)判断三角函数的奇偶性，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.
①提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则.
②若形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)具备奇偶性，则它能通过诱导公式转化为下列函数中的一个：
y＝Asin ωx——奇函数
或y＝Acos ωx——偶函数(A≠0，ω>0).
课堂练习
6. (1)函数是( )
A. 最小正周期为的偶函数 B. 最小正周期为的偶函数
C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的奇函数
(2)若，函数为奇函数，( )
A. 0 B.1 C. D.
A
A
例题讲解
7. (1)函数( )
A. 是奇函数B. 是偶函数C. 是非奇非偶函数D. 是既奇又偶函数
(2)若函数是R上的偶函数，则的值是( )
A. 0 B. C. D.
B
C
探究新知
知道一个函数的奇偶性，同样也可以缩小我们研究函数的范围，因为奇、偶函数的图象分别关于原点、y轴对称，所以只需要搞清楚函数在y轴右侧的图象与性质，那么，整个定义域内的图象与性质就都知道了，可以提高我们研究函数的效率．
【思考】正弦函数、余弦函数的图象分别关于原点、y轴对称，除此以外它们是否还有其它的对称中心和对称轴呢？
知道一个函数的奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助？
探究新知
4.对称性
x
y
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1
y
x
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1
正弦函数的对称性：
余弦函数的对称性：
例题讲解
例6
课堂练习
BCD
D
B
变式：
探究新知
5.周期性与对称性的结合
(1)若，则的对称轴为
(2)若，则的对称中心为
(3)若图象关于直线与对称，则
(4)若图象关于点与对称，则
(5)若图象关于直线和点对称，则
(6)若偶函数图象关于直线对称，则
(7)若奇函数图象关于直线对称，则
例题讲解
5.周期性与对称性的结合
例：(1)(多选)函数的定义域为，且与都为奇函数，则( )
A.是奇函数B. 是周期函数
C.是奇函数D. 是偶函数
(2)已知为定义在上的奇函数，且满足。若当时，，则( )
A. B. C. D. 0
ABC
C
例题讲解
例：定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数。若的最小正周期是，且当时，，则的值是多少？
变式：已知函数是定义在R上的奇函数，且是以为周期的周期函数，若当时，，则( )
A. B. C. D.
解：因为的最小正周期是，所以.
又因为是偶函数，所以，即.
解：因为是奇函数，所以是的一个对称中心.又因为是以为周期的周期函数，且两个对称中心之间相差了半个周期，所以点也是的一个对称点，所以，所以.
所以
B
课堂小结
正弦函数 余弦函数
函数图像
周期 2π 2π
奇偶性 奇函数 偶函数
对称性 对称轴
对称中心
单调性 递增区间
递减区间
最值点 最小值
最大值
正余弦函数的性质
课堂小结(共15张PPT)
X
黟县中学:查正兴
2021.12.23
5.4.3 正切函数的性质与图象
函数 正弦函数 余弦函数
函数图像
周期 2π 2π
奇偶性 奇函数 偶函数
对称性 对称轴
对称中心
单调性 递增区间
递减区间
最值点 最小值
最大值
知 识 回 顾
图象→性质
（1）根据研究正弦函数和余弦函数的经验，你认为应该如何研究正切
函数的图象和性质？
（2）你能用不同的方法研究正切函数吗？
性质→图象
正切函数：
由诱导公式 可知，
由诱导公式 可知，
表明正切函数的定义域关于原点对称
正切函数是周期函数，周期是π.
【1】周期性：
【2】奇偶性：
正切函数是奇函数.
根据正切函数的周期性，只要研究正切函数在一个周期，
再根据正切函数的奇偶性，只要研究正切函数在半个周期，
比如区间 内的图象与性质即可．
比如区间 内的图象与性质即可．
你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会
有什么帮助？
由此可见，当 时，线段AT的长度就是相应角x的正切值．
我们可以利用线段AT画出函数 的图象
如何画出函数y＝tan x， 的图象呢？
探究
观察图象可知：当 时，随着x的增大，线段AT的长度也在增大，
相应地，函数的图象从左向右呈不断上升趋势，而且当x趋向于 时，AT的长度趋向于无穷大．且向右上方无限逼近直线 ，但不会与该直线相交．
第一步，因为正切函数是奇函数，
就可得到 的图象；
探究：根据刚得的部分图象，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？
第二步，根据正切函数的周期性，把图象向左、向右扩展，得到正切函数的图象，
y
x
1
-1
/2
- /2
3 /2
-3 /2
-
0
渐近线
图象特征：
正切曲线是由相互平行的直线 所隔开的无穷多支曲线组成，每支曲线向上、向下可无限接近相应的两条直线。
称为正切曲线
正切函数图象的简单画法：
三点两线法
“三点”:
“两线”:
x
y
0
1
-1
正切函数的图象
【3】单调性：
由正切函数的周期性可知，正切函数在每一区间 ，上都单调递增.
正切函数在区间 上单调递增,
x
y
0
【4】值域：
观察正切曲线可知，当 ，时 在
内可以取到任意实数值,但没有最大值、最小值.因此正切函数的值域是实数集R.
x
y
0
【5】对称性：
正切函数的图象是中心对称图形，不是轴对称图形.
关于点 对称.
【例2】求函数 的定义域、周期及单调区间．
函数
图像
定义域
值域 R
周期性 π
单调性
奇偶性 奇函数
对称性
归 纳 总 结
布置作业(P214 NO.13.14)
