2.1.1曲线与方程的概念
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课件23张PPT。中国人民大学附属中学2.1.1曲线与方程的概念 平面解析几何研究的主要问题是：
(1) 根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
(2) 通过方程，研究平面曲线的性质． 用坐标系研究图形性质的基本思路是，借助于坐标系，把点与坐标，曲线与方程联系起来，从而达到形与数的结合；再通过方程对曲线的几何性质进行研究，把几何问题转化为代数问题来解决。 让我们回顾一下圆及其方程的意义。
如图，一点O为圆心，半径为r(r>0)的圆，记作⊙(O, r)，以O为原点建立直角坐标系xOy，我们可以得到圆的方程x2+y2=r2. 上述圆的方程表示的意义是：（1）设M(x0, y0)是⊙(O, r)上任意一点，则它到圆心O的距离等于r， 因而满足方程 ，即x2+y2=r2. 这就是说(x0, y0)是此方程的一个解；
如果点(x0, y0)不在⊙(O, r)上，则必有， 即有x2+y2≠r2. (x0, y0)就不会是方程x2+y2=r2的解。（2）如果(x0, y0)是方程x2+y2=r2.的一个解，则可以推得， 即点M(x0, y0)到圆心的距离等于r，点M在⊙(O, r)上； 如果(x0, y0)不是方程x2+y2=r2.的解，则可以推出 即点M(x0, y0)不在⊙(O, r)上。 以上两点说明了⊙(O, r)上的点与方程x2+y2=r2的解之间有一一对应关系。 我们知道⊙(O, r)可以看成一个动点M运动的轨迹，于是在坐标平面上，当⊙(O, r)上一个动点M运动时，点M的坐标(x, y)随着点M的运动而变化，点M运动的轨迹可以用方程x2+y2=r2.来表达。 一般地，一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的方程又常称为某种条件的点的轨迹方程。 一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)=0的形式。其中F(x，y)是关于x, y的解析式，例如y=x2可以写成x2－y=0的形式。 在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)=0之间具有下列关系：
（1）曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)=0的解；
（2）以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都在曲线C上。
那么曲线C叫做方程F(x，y)=0的曲线，方程F(x，y)=0叫做曲线C的方程。 这就是说，如果曲线C的方程是F(x, y)=0.
则M (x，y)∈C F(x，y)=0. 因此方程F(x，y)=0可作为描述曲线C的特征性质。曲线C用集合特征性质描述法，可以描述为C={ M (x，y)| F(x，y)=0}. 在坐标系选定以后，曲线被它的方程所惟一确定，但曲线的方程表示不是惟一的，除与我们选取的坐标系有关外，在同一坐标系下，还会有同解方程。 由两条曲线的方程，可求出这两条曲线的交点的坐标。 已知两条曲线C1和C2的方程分别为F(x，y)=0，G(x，y)=0，则交点的坐标必须满足上面两个方程，反之如果(x0, y0)是上面两个方程的公共解，则以(x0, y0)为坐标的点必定是两条曲线的交点。因此求两条曲线C1和C2的交点坐标，只要求方程组
的实数解就可以得到。思考与推论：下面两个命题正确吗？
（1）到两条坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y=x； （2）如图，MA和MB分别是动点M(x，y)与两定点A(－1，0)，B(1，0)的连线，使∠AMB为直角的动点轨迹方程是：x2+y2=1. 不正确不正确例1. 已知两圆C1：x2+y2+6x－16=0，C2：x2+y2－46x－5=0， 求证：对任一不等于－1的实数λ，方程x2+y2+6x－16+λ(x2+y2－4x－5)=0是通过两圆交点的圆的方程。证明：方程x2+y2+6x－16+λ(x2+y2－4x－5)=0可以变形为
(1+λ)x2+(1+λ)y2+(6－4λ)x－16－5λ=0,因为λ≠－1，得 因为方程中等号右端大于0，所以它是一个圆的方程，两圆的交点坐标满足已知圆的方程，当然也满足这个方程。因此此方程表示的圆通过两圆交点。例2. 已知曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)=0的解，则下列命题中正确的是（ ）
(A) 满足方程f(x，y)=0的点都在曲线C上
(B) 方程f(x，y)=0是曲线的方程
(C)曲线C是满足方程f(x，y)=0的曲线
(D) 方程f(x，y)=0的曲线包含曲线C上的任意一点D例3. 设圆M的方程为(x－3)2+(y－2)2=2,直线l的方程是x+y－3=0，点P的坐标是(2，1)，那么（ ）
(A) 点P在直线l上，但不在圆M上
(B) 点P不在直线l上，但在圆M上
(C) 点P在直线l上，也在圆M上
(D) 点P不在直线l上，也不在圆M上C课堂练习1. 下列各组方程中表示相同曲线的是（ ）(A) (B)(C) (D)D2. 已知直线l：x+y－3=0及曲线C：(x－3)2+ (y－2)2=2，则点M(2，1)（ ）(A) 在直线l上，但不在曲线C上
(B) 在直线l上，也在曲线C上
(C) 不在直线l上，也不在曲线C上
(D) 不在直线l上，但在曲线C上B3. 曲线y= x2与x2+y2=5的交点是（ ） (2，1)
(B) (±2，1)(C) (2，1)或(2 ，5)
(D) (±2，1)或(±2 ，5) B4. 命题“曲线S上的点的坐标满足方程F(x，y)=0”是正确的，则下列命题正确的一个是（ ）(A)方程F(x，y)=0的曲线是S
(B) 满足方程F(x，y)=0的点都在曲线S上
(C)曲线S是方程F(x，y)=0的轨迹
(D)方程F(x，y)=0的曲线不一定是SD5. 方程4x2－y2+4x+2y=0表示的曲线是（ ） 一个点
(B) 两条互相平行的直线(C) 两条相交但不垂直的直线
(D) 两条相互垂直的直线C6. 经过两圆2x2+2y2－3x+4y=0与x2+y2+ 2x+6y－6=0的交点的直线方程为
。7. P(m+1，m+4)在曲线y=x2+5x+3上，则m的值为 。7x+8y－12=0－1或－58. “点M在曲线y=|x|上”是“点M到两坐标轴距离相等”的 条件。9. 已知0≤α<2π，点P(cos α，sin α)在曲线(x－2)2+y2=3上，则α的值为 .充分不必要
(1) 根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
(2) 通过方程，研究平面曲线的性质． 用坐标系研究图形性质的基本思路是，借助于坐标系，把点与坐标，曲线与方程联系起来，从而达到形与数的结合；再通过方程对曲线的几何性质进行研究，把几何问题转化为代数问题来解决。 让我们回顾一下圆及其方程的意义。
如图，一点O为圆心，半径为r(r>0)的圆，记作⊙(O, r)，以O为原点建立直角坐标系xOy，我们可以得到圆的方程x2+y2=r2. 上述圆的方程表示的意义是：（1）设M(x0, y0)是⊙(O, r)上任意一点，则它到圆心O的距离等于r， 因而满足方程 ，即x2+y2=r2. 这就是说(x0, y0)是此方程的一个解；
如果点(x0, y0)不在⊙(O, r)上，则必有， 即有x2+y2≠r2. (x0, y0)就不会是方程x2+y2=r2的解。（2）如果(x0, y0)是方程x2+y2=r2.的一个解，则可以推得， 即点M(x0, y0)到圆心的距离等于r，点M在⊙(O, r)上； 如果(x0, y0)不是方程x2+y2=r2.的解，则可以推出 即点M(x0, y0)不在⊙(O, r)上。 以上两点说明了⊙(O, r)上的点与方程x2+y2=r2的解之间有一一对应关系。 我们知道⊙(O, r)可以看成一个动点M运动的轨迹，于是在坐标平面上，当⊙(O, r)上一个动点M运动时，点M的坐标(x, y)随着点M的运动而变化，点M运动的轨迹可以用方程x2+y2=r2.来表达。 一般地，一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的方程又常称为某种条件的点的轨迹方程。 一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)=0的形式。其中F(x，y)是关于x, y的解析式，例如y=x2可以写成x2－y=0的形式。 在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)=0之间具有下列关系：
（1）曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)=0的解；
（2）以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都在曲线C上。
那么曲线C叫做方程F(x，y)=0的曲线，方程F(x，y)=0叫做曲线C的方程。 这就是说，如果曲线C的方程是F(x, y)=0.
则M (x，y)∈C F(x，y)=0. 因此方程F(x，y)=0可作为描述曲线C的特征性质。曲线C用集合特征性质描述法，可以描述为C={ M (x，y)| F(x，y)=0}. 在坐标系选定以后，曲线被它的方程所惟一确定，但曲线的方程表示不是惟一的，除与我们选取的坐标系有关外，在同一坐标系下，还会有同解方程。 由两条曲线的方程，可求出这两条曲线的交点的坐标。 已知两条曲线C1和C2的方程分别为F(x，y)=0，G(x，y)=0，则交点的坐标必须满足上面两个方程，反之如果(x0, y0)是上面两个方程的公共解，则以(x0, y0)为坐标的点必定是两条曲线的交点。因此求两条曲线C1和C2的交点坐标，只要求方程组
的实数解就可以得到。思考与推论：下面两个命题正确吗？
（1）到两条坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y=x； （2）如图，MA和MB分别是动点M(x，y)与两定点A(－1，0)，B(1，0)的连线，使∠AMB为直角的动点轨迹方程是：x2+y2=1. 不正确不正确例1. 已知两圆C1：x2+y2+6x－16=0，C2：x2+y2－46x－5=0， 求证：对任一不等于－1的实数λ，方程x2+y2+6x－16+λ(x2+y2－4x－5)=0是通过两圆交点的圆的方程。证明：方程x2+y2+6x－16+λ(x2+y2－4x－5)=0可以变形为
(1+λ)x2+(1+λ)y2+(6－4λ)x－16－5λ=0,因为λ≠－1，得 因为方程中等号右端大于0，所以它是一个圆的方程，两圆的交点坐标满足已知圆的方程，当然也满足这个方程。因此此方程表示的圆通过两圆交点。例2. 已知曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)=0的解，则下列命题中正确的是（ ）
(A) 满足方程f(x，y)=0的点都在曲线C上
(B) 方程f(x，y)=0是曲线的方程
(C)曲线C是满足方程f(x，y)=0的曲线
(D) 方程f(x，y)=0的曲线包含曲线C上的任意一点D例3. 设圆M的方程为(x－3)2+(y－2)2=2,直线l的方程是x+y－3=0，点P的坐标是(2，1)，那么（ ）
(A) 点P在直线l上，但不在圆M上
(B) 点P不在直线l上，但在圆M上
(C) 点P在直线l上，也在圆M上
(D) 点P不在直线l上，也不在圆M上C课堂练习1. 下列各组方程中表示相同曲线的是（ ）(A) (B)(C) (D)D2. 已知直线l：x+y－3=0及曲线C：(x－3)2+ (y－2)2=2，则点M(2，1)（ ）(A) 在直线l上，但不在曲线C上
(B) 在直线l上，也在曲线C上
(C) 不在直线l上，也不在曲线C上
(D) 不在直线l上，但在曲线C上B3. 曲线y= x2与x2+y2=5的交点是（ ） (2，1)
(B) (±2，1)(C) (2，1)或(2 ，5)
(D) (±2，1)或(±2 ，5) B4. 命题“曲线S上的点的坐标满足方程F(x，y)=0”是正确的，则下列命题正确的一个是（ ）(A)方程F(x，y)=0的曲线是S
(B) 满足方程F(x，y)=0的点都在曲线S上
(C)曲线S是方程F(x，y)=0的轨迹
(D)方程F(x，y)=0的曲线不一定是SD5. 方程4x2－y2+4x+2y=0表示的曲线是（ ） 一个点
(B) 两条互相平行的直线(C) 两条相交但不垂直的直线
(D) 两条相互垂直的直线C6. 经过两圆2x2+2y2－3x+4y=0与x2+y2+ 2x+6y－6=0的交点的直线方程为
。7. P(m+1，m+4)在曲线y=x2+5x+3上，则m的值为 。7x+8y－12=0－1或－58. “点M在曲线y=|x|上”是“点M到两坐标轴距离相等”的 条件。9. 已知0≤α<2π，点P(cos α，sin α)在曲线(x－2)2+y2=3上，则α的值为 .充分不必要