2.2.1椭圆的标准方程
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课件28张PPT。中国人民大学附属中学2.2.1椭圆的标准方程 平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于
|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆.定点F1、F2叫做椭圆的焦点.2.椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数,记为2a；
两焦点之间的距离称为焦距，记为2c,即|F1F2|＝2c.说明椭圆的定义：1.平面上这一个条件不可少;3. 2a>| F1F2|若2a=|F1F2|轨迹是什么呢？若2a<|F1F2|轨迹是什么呢？轨迹是一条线段轨迹不存在怎样推导椭圆的方程：求曲线方程的一般步骤是什么？如何建立适当的直角坐标系？原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；
(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.)? 探讨建立平面直角坐标系的方案方案一(对称、“简洁”) 以过焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，这时F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)， 设M(x，y)是椭圆上的任意一点，根据椭圆的定义可知，点M在椭圆上的充分必要条件是|MF1|+|MF2|=2a，因为
所以上述条件转化为坐标表示，就是 ① 当x≠0时， 由①得 整理得 即 ② ①+②，整理得 ③ 将③式平方，再整理得 ④ 因为a>c>0，所以a2－c2>0，设a2－c2=b2>0，则④式化为 ⑤ 当x=0时，|MF1|=|MF2|=a，由 得y2=a2－c2=b2，此时M的坐标适合⑤. 因此，方程⑤是给定的椭圆的方程。
通常把这个方程叫做椭圆的标准方程。
焦点是F1(－c，0)，F2(c，0)，且c2=a2－b2.思考：如果椭圆的焦点在y轴上, 焦点是F1(0，－c)，F2(0，c)，只要将方程①的x，y互换，就可以得到它的方程,
其中b2=a2－c2，这个方程也是椭圆的标准方程。例1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆上任意一点与两焦点的距离的和等于8；解：（1）椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程是由已知，得2a=8，即a=4，又因为c=3，
所以b2=a2－c2=7，因此椭圆的标准方程是 解：（2）椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程是 由已知，得c=4，因为c2=a2－b2，
所以a2=b2+16 ①将①代入②得， 解得b2=4 (b2=－12舍去)，则a2=4+16=20,因此椭圆的标准方程是 解：（1）已知方程就是椭圆的标准方程，由36>24，可知这个椭圆的焦点在x轴上，且a2=36，b2=24，所以c2=a2－b2=12, 解：（2）把已知方程化为标准方程，
由8>3可知这个椭圆的解得在y轴上，
且a2=8，b2=3，得c2=a2－b2=5，（2）8x2+3y2=24.例3. 已知B，C是两个定点，|BC|=8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程。解：以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy,
由|BC|=8，可知B(－4，0)，C(4，0)，由|AB|+|AC|+|BC|=18，得|AB|+|AC|=10，因此点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆， 这个椭圆上的点与两焦点的距离的和2a=10，但A点不在x轴上， 由a=5，c=4，解得b2=9，因此点A的轨迹方程是 例4．如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是 。解：将方程整理成 根据题意得 解得0（1）求△AF1B的周长；
（2）如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长有变化吗？为什么？(1) |AF1|+|AB|+|BF1|=20. (2)周长不变 课堂练习1．椭圆 上一点P到一个焦点的距离为5，则P点到另一个焦点的距离是（ ）
（A）5 （B）6 （C）4 （D）12A2．椭圆 的左、右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为（ ）
（A）32 （B）16
（C）8 （D）4B3．若△ABC的两个顶点坐标为A(－4，0)，B(4，0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为（ ）
（A） （B）
（C） （D）D4．已知定点F1、F2，且|F1F2|=8，动点P满足|PF1|+|PF2|=8，则动点P的轨迹是（ ）
（A）椭圆 （B）圆
（C）直线 （D）线段D5．椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是(0，2)，那么k的值为（ ）
（A）－1 （B）1
（C） （D）－B6．过点(－3，2)且与 有相同焦点的椭圆的方程为（ ）
（A） （B）
（C） （D）A7．已知椭圆过点P( ，－4)和点Q(－ , 3)，则此椭圆的标准方程是（ ）
（A）
（B） 或
（C）
（D）以上都不对A 8．若椭圆 的焦距是2，则m的值是（ ）
（A）5 （B）5或8
（C）3或5 （D）20C
|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆.定点F1、F2叫做椭圆的焦点.2.椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数,记为2a；
两焦点之间的距离称为焦距，记为2c,即|F1F2|＝2c.说明椭圆的定义：1.平面上这一个条件不可少;3. 2a>| F1F2|若2a=|F1F2|轨迹是什么呢？若2a<|F1F2|轨迹是什么呢？轨迹是一条线段轨迹不存在怎样推导椭圆的方程：求曲线方程的一般步骤是什么？如何建立适当的直角坐标系？原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；
(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.)? 探讨建立平面直角坐标系的方案方案一(对称、“简洁”) 以过焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，这时F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)， 设M(x，y)是椭圆上的任意一点，根据椭圆的定义可知，点M在椭圆上的充分必要条件是|MF1|+|MF2|=2a，因为
所以上述条件转化为坐标表示，就是 ① 当x≠0时， 由①得 整理得 即 ② ①+②，整理得 ③ 将③式平方，再整理得 ④ 因为a>c>0，所以a2－c2>0，设a2－c2=b2>0，则④式化为 ⑤ 当x=0时，|MF1|=|MF2|=a，由 得y2=a2－c2=b2，此时M的坐标适合⑤. 因此，方程⑤是给定的椭圆的方程。
通常把这个方程叫做椭圆的标准方程。
焦点是F1(－c，0)，F2(c，0)，且c2=a2－b2.思考：如果椭圆的焦点在y轴上, 焦点是F1(0，－c)，F2(0，c)，只要将方程①的x，y互换，就可以得到它的方程,
其中b2=a2－c2，这个方程也是椭圆的标准方程。例1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆上任意一点与两焦点的距离的和等于8；解：（1）椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程是由已知，得2a=8，即a=4，又因为c=3，
所以b2=a2－c2=7，因此椭圆的标准方程是 解：（2）椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程是 由已知，得c=4，因为c2=a2－b2，
所以a2=b2+16 ①将①代入②得， 解得b2=4 (b2=－12舍去)，则a2=4+16=20,因此椭圆的标准方程是 解：（1）已知方程就是椭圆的标准方程，由36>24，可知这个椭圆的焦点在x轴上，且a2=36，b2=24，所以c2=a2－b2=12, 解：（2）把已知方程化为标准方程，
由8>3可知这个椭圆的解得在y轴上，
且a2=8，b2=3，得c2=a2－b2=5，（2）8x2+3y2=24.例3. 已知B，C是两个定点，|BC|=8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程。解：以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy,
由|BC|=8，可知B(－4，0)，C(4，0)，由|AB|+|AC|+|BC|=18，得|AB|+|AC|=10，因此点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆， 这个椭圆上的点与两焦点的距离的和2a=10，但A点不在x轴上， 由a=5，c=4，解得b2=9，因此点A的轨迹方程是 例4．如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是 。解：将方程整理成 根据题意得 解得0
（2）如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长有变化吗？为什么？(1) |AF1|+|AB|+|BF1|=20. (2)周长不变 课堂练习1．椭圆 上一点P到一个焦点的距离为5，则P点到另一个焦点的距离是（ ）
（A）5 （B）6 （C）4 （D）12A2．椭圆 的左、右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为（ ）
（A）32 （B）16
（C）8 （D）4B3．若△ABC的两个顶点坐标为A(－4，0)，B(4，0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为（ ）
（A） （B）
（C） （D）D4．已知定点F1、F2，且|F1F2|=8，动点P满足|PF1|+|PF2|=8，则动点P的轨迹是（ ）
（A）椭圆 （B）圆
（C）直线 （D）线段D5．椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是(0，2)，那么k的值为（ ）
（A）－1 （B）1
（C） （D）－B6．过点(－3，2)且与 有相同焦点的椭圆的方程为（ ）
（A） （B）
（C） （D）A7．已知椭圆过点P( ，－4)和点Q(－ , 3)，则此椭圆的标准方程是（ ）
（A）
（B） 或
（C）
（D）以上都不对A 8．若椭圆 的焦距是2，则m的值是（ ）
（A）5 （B）5或8
（C）3或5 （D）20C