2.2.2椭圆的几何性质

课件22张PPT。中国人民大学附属中学2.2.2椭圆的几何性质已知椭圆C的标准方程是
①1．范围： 由方程①可得，椭圆C上任意一点的坐标(x，y)都适合不等式 这说明椭圆C位于直线x=±a，y=±b围成的矩形内。即－a≤x≤a，－b≤y≤b.2．对称性： 在方程①中以－x代替x，这个方程并未变化，可知，如果M1(x，y)是椭圆C上任意一点，则与点M1关于y轴对称的点M2 (－x，y)也在椭圆C上，即这个椭圆的图象关于y轴对称； 同样的，以－y代替y，或把x和y同时换成－x，－y，方程①也未变化，
因此这个椭圆的图象关于x轴对称；又关于坐标原点对称。 因此椭圆C分别以y轴，x轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心。3．顶点：
在方程①中，令y=0，得x=±a，可知椭圆C与x轴有两个交点，分别是A1(－a，0), A2(a，0)，
如果令x=0，得y=±b，可知椭圆C与y轴也有两个交点B1(0，－b),B2(0，b),这四个点叫做椭圆的顶点。 在a>b>0的条件下，线段A1A2叫做椭圆的长轴，它的长等于2a，线段B1B2叫做椭圆的短轴，它的长等于2b. 显然，椭圆的两个焦点在它的长轴上。 于是在椭圆的方程①中，a，b分别是椭圆的长半轴的长和短半轴的长，
又设椭圆的焦距为2c，则c是椭圆的半焦距。 可知长度分别为a，b，c的三条线段构成一个直角三角形，长度为a的线段是斜边。由a，b，c满足关系式a2=b2+c2.4．离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率。 因为a>c>0，所以0 离心率e与a，b，c相结合，可以解决椭圆的大部分问题。例1．求椭圆4x2+9y2=36的长轴长和短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率，并用描点法画出它的图形。解：把椭圆的方程化为标准方程 可知此椭圆的焦点在x轴上，且长半轴的长a=3，短半轴的长b=2，又得半焦距 因此椭圆的长轴长2a=6，短轴长2b=4，两点焦点的坐标分别是(－ ，0)，( ，0)；
四个顶点的坐标分别是(－3，0)，(3， 0)，(0，－2)，(0，2)；椭圆的离心率e= 为了画出此椭圆的图形，将椭圆方程变形为 由 可以求出椭圆在第一象限内一些点的坐标(x，y)，列表如下： 先描点并用光滑曲线顺次连接这些点，得到椭圆在第一象限的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆.例2．我国自行研制的“中星20号”通讯卫星，于2003年11月15日升空精确的进入预定的轨道，这颗卫星的运行轨道，是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点与地球表面的距离为212km，远地点与地球表面的距离是41981km，已知地球半径约为6371km，求这颗卫星运行轨道的近似方程(长、短半轴长精确到0.1km).解：以卫星运行的椭圆形轨道的中心O为原点，建立平面直角坐标系，使地球的中心F在x轴上，点F(c，0)是椭圆的一个焦点，椭圆与x轴的交点A，B分别是近地点和远地点。 设所求的卫星运行轨道的方程为由已知，
得a－c=|FA|=6371+212=6583，
a+c=|FB|=6371+41981=48352，解得a=27467.5，c=20884.5.因此，所求的卫星运行轨道的近似方程为 例3．求适合下列条件的椭圆方程：
（1）长轴是短轴的2倍，且过点(2，－6);解：（1）设椭圆的标准方程为 因为长轴是短轴的2倍，所以a=2b，又椭圆过点(2，－6)， 所以 解得 所以椭圆方程为 又设椭圆的标准方程为 因为长轴是短轴的2倍，所以a=2b，又椭圆过点(2，－6)， 所以 解得 所以椭圆方程为 （2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线相互垂直，且焦距为6.解：（2）由题意知c=3，且b=c，
所以a2=b2+c2=18， 椭圆的标准方程是 例4．已知椭圆mx2+5y2=5m的离心率e= ，求m的值。解：由已知椭圆方程为 当焦点在x轴上时，5>m，a= ，c=所以 解得m=3.当焦点在y轴上时，m>5，a= ，c= 所以 解得m=