2024-2025学年天津五十五中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津五十五中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过、两点的直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3.如图是一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，当水面上升后，桥洞内水面宽为( )
A. B. C. D.
4.设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于，则曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过的直线交于，两点异于、，的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
6.直线：被圆：截得的最短弦长为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的离心率为，为坐标原点，右焦点为，过点作一条渐近线的垂线，垂足为，的面积为，则双曲线的实轴长为( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，为点坐
标原点，若的面积等于，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
9.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与轴相交于点，与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知抛物线上横坐标为的点到其焦点的距离为，则 ______．
11.已知双曲线的一条渐近线为，则______；离心率______．
12.经过两圆和的交点，并且圆心在直线上的圆的方程______．
13.已知椭圆的右焦点为，左顶点为，点在椭圆上，且，若，则椭圆的离心率为______．
14.已知椭圆上两个不同的点、关于直线对称，则实数的取值范围为______．
15.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过原点且斜率为正数的直线分别交双曲线的左、右两支于点，，记四边形的周长为，面积为若，且，则双曲线的离心率为______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知直线与直线交于点．
求过点且垂直于直线的直线的方程；
求过点并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．
17.本小题分
已知圆经过点，，．
求圆的方程；
若直线经过原点，并且被圆截得的弦长为，求直线的方程．
18.本小题分
已知抛物线：，过点的直线与抛物线相切，设第一象限的切点为．
求点的坐标；
Ⅱ若过点的直线与抛物线相交于两点，，圆是以线段为直径的圆过点，求直线的方程．
19.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱和棱上，且，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求平面与平面夹角的余弦值；
Ⅲ求点到平面的距离．
20.本小题分
已知椭圆：的上顶点与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为．
求椭圆的离心率；
点在椭圆上，椭圆的左顶点为，上顶点为，点的坐标为，过点的直线与椭圆在第一象限交于点，与直线交于点，设的斜率为，若，求的值．
参考答案
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16.解：由 ，
得 ，交点，
由题直线 的斜率，
则直线的方程为，即．
当直线 过原点时，
直线斜率为，此时直线方程为：，即，
当直线 不过原点时，设直线，
代入点 得，解得，
此时直线方程：，
综上，直线 的方程为：或．
17.解：设圆的方程为，
根据题中条件知，
，解得，
所以圆的方程为，即，
所以圆的方程为，
即；
因为直线经过原点，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
又被圆截得的弦长为，圆的半径为，
则，故，
即，
解得，则方程为，
又当直线的斜率不存在时，方程为，
圆心到直线的距离为，符合题意，
故所求直线的方程为或者．
18.解：Ⅰ由题意知可设过点的直线方程为，
联立，得：
直线与抛物线相切，，即．
为第一象限的切点，，
则化为，解得，此时，
则点坐标为；
Ⅱ设直线的方程为：，，，
联立，得，
则恒成立，
，，
则，．
由题意可得：，
即，
，解得：或．
则直线的方程为或．
19.Ⅰ证明：取的中点，连接，，则，
因为为的中点，
所以，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
平面．
Ⅱ 解：直三棱柱中，，
以为原点，以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，即令，得，
易知平面的一个法向量为．
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
Ⅲ 解：因为，，
所以点到平面的距离．
20.解：设椭圆：的上顶点为，
左顶点为，右顶点为，
因为椭圆的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为，
所以，即，又，
所以，解得；
因为点在椭圆上，
所以，又，
解得，，
所以椭圆方程为，，
则，
因为，
所以，
又，
所以，则，
设，，则，
当时，则，不合题意；
当时，设直线方程为，
与题意方程联立，消去得：
则，
所以，则，
因为：，由，得，
因为，所以，
化简得，因为，则．
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