2024-2025学年北京市海淀区中央民族大学附中高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市海淀区中央民族大学附中高一（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.函数的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
3.命题“，”的否定为( )
A. B. ，
C. ， D.
4.下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是( )
A. B. C. D.
5.已知：，：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
8.已知，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
9.已知函数，在定义域上是单调函数，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
10.当时，若函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，共35分。
11.函数的定义域为______．
12.已知方程的两根为和，则 ______； ______．
13.已知，则 ______．
14.当时，的最大值为______此时的取值为______．
15.设函数给出下列四个结论：
函数的值域是；
，，有；
，使得；
若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知集合，集合，集合．
求；
若，求的取值范围．
17.本小题分
已知二次函数，，且．
求的值；
求函数的解析式；
求函数在区间上的值域．
18.本小题分
已知．
若恒成立，求实数的取值范围；
求不等式的解集．
19.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的解析式和单调递减区间；
若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围只需写出结论
写出解不等式的解集．
20.本小题分
已知函数是定义域为的奇函数．
求函数的解析式；
用定义证明在定义域上是增函数；
求不等式的解集．
21.本小题分
已知集合．
分别判断、、是否属于集合；
写出所有满足集合的不超过的正偶数；
已知集合，证明：“”是“”的充分不必要条件．
参考答案
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15.
16.解：集合，集合或，
，
．
集合，，
，
若，则，，
若，则，，
综上，的取值范围为或．
17.解：因为，所以．
因为，
又因为，所以，
所以，
所以，所以，
即．
因为是开口向上，对称轴为的抛物线．
因为在递减，在递增，所以，
因为，，
所以，
所以在上的值域为．
18.解：恒成立，则对恒成立，
故，化简得，
解得，
故实数的取值范围．
，即，
当时，不等式的解为，
当时，不等式的解为，
当时，不等式的解为．
19.解：因为是定义在上的奇函数，其图象关于原点对称，则补充图象如图，
因为当时，，
所以当时，，所以，
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以当 时，，
故的解析式为，
结合图象可知，函数的单调递减区间为和；
因为有个不相等的实数根，等价于与的图象有个交点，
结合中的图象可知，当时，与的图象有个交点，
所以；
因为，
所以当时，结合图象可得：，
当时，结合图象可得，
综上所述，不等式的解集为．
20.解：由题意，，，又，
满足题意．
所以；
设任意的且，，，
又，所以，，所以，，
所以在定义域上是增函数；
由得，解得解集为．
21.解：因为，，，集合．
所以，、、都属于集合．
解：集合，，
当、一奇一偶时，、均为奇数，为奇数，
若、同奇或同偶时，、均为偶数，为的倍数；
综上，所有满足集合的偶数为．
因此，满足集合的不超过的正偶数有、、．
证明：集合，则恒有，
所以，，即一切奇数都属于，
又，而，
所以，“”是“”的充分不必要条件．
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