2024-2025学年内蒙古呼和浩特二中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年内蒙古呼和浩特二中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知椭圆：，则椭圆的焦距为( )
A. B. C. D.
2.无论为何值，直线都过一个定点，则该定点为( )
A. B. C. D.
3.已知的周长为，且顶点 ， ，则顶点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
4.方程表示的图形是半径为的圆，则该圆圆心位于 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.已知直三棱柱，，，那么异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则点到直线的距离为( )
A.
B.
C.
D.
7.设是椭圆上的上顶点，点在上，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，，若经过的弦满足，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.直线上与点的距离等于的点的坐标是( )
A. B. C. D.
10.如图所示，已知椭圆方程为，、为左右焦点，下列命题正确的是( )
A. 为椭圆上一点，线段中点为，则为定值
B. 直线与椭圆交于，两点，是椭圆上异与，的点，且、均存在，则
C. 若椭圆上存在一点使，则椭圆离心率的取值范围是
D. 四边形为椭圆内接矩形，则其面积最大值为
11.已知，，点为圆：上一动点，过点作圆的切线，切点分别为、，下列说法正确的是( )
A. 若圆：，则圆与圆有四条公切线
B. 若，满足，则
C. 直线的方程为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在四面体中，空间的一点满足，若，，，四点共面，则 ______．
13.在空间直角坐标系中，表示经过点，且法向量为的平面的方程，则点到平面的距离为______．
14.圆形是古代人最早从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的一直到两千多年前我国的墨子约公元前前年才给圆下了一个定义：圆，一中同长也意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等现在以点为圆心，为半径的圆上取任意一点，若的取值与、无关，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆的圆心为坐标原点，且与直线相切．
求圆的标准方程；
若直线过点，直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程．
16.本小题分
如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为的正方形，，底面，、分别为、的中点，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知在中，点，角的平分线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为．
求点的坐标及直线的方程；
求点的坐标．
18.本小题分
已知和为椭圆上的两点．
求椭圆的离心率；
设直线：与椭圆交于、两点，求的取值范围．
19.本小题分
刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制例如：正四面体每个顶点均有个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为如图，在直三棱柱中，点的曲率为，，分别为，的中点，且．
证明：平面；
若，求二面角的余弦值；
表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为，棱数为，面数为，则有：利用此定理试证明：简单多面体的总曲率多面体有顶点的曲率之和是常数．
参考答案
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15.解：原点到直线的距离为，
圆的标准方程为；
当直线的斜率不存在时，直线方程为，代入，
得，即直线被圆所截得的弦长为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即．
直线被圆所截得的弦长为，圆的半径为，
则圆心到直线的距离，解得．
直线的方程为，即．
综上，直线的方程为或．
16.解：证明：因为四边形为正方形，底面，所以，，两两相互垂直，
如图，以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
由题意可得，，，，，，
，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，则，，
故，即，令，得，
所以，
所以，又平面，所以平面．
由得，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：在中，点，角的平分线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为．
设，联立方程组，解得，，所以点的坐标为，
由题可得直线的斜率为，
所以的直线方程为，即．
设关于直线的对称点为，
可得，解得，，所以，
因为角的平分线所在直线的方程为，可得点在直线上，
可得，所以的直线方程为，即，
联立方程组，解得，所以点的坐标为．
18.解：依题意有，解得，
所以，所以，，，
所以椭圆离心率．
由有椭圆标准方程为，
联立，消去得，
，
设，，则，
则
，
点到直线的距离，
所以，
令，则，
则，
因为函数在上单调递增，
所以，所以，
所以，即的取值范围为．
19.解：证明：因为在直三棱柱中，平面，，平面，
所以，，
所以点的曲率为，得，
因为，所以为等边三角形，
因为为的中点，
所以，因为平面，平面，
所以，
因为，，平面，
所以平面；
取的中点，连接，，
因为为等边三角形，所以，
因为三棱柱为直三棱柱，
所以平面平面，
因为平面平面，平面，
所以平面，
因为，平面，所以，，
设，则，，，
所以，
所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
所以为二面角的平面角，
因为，，
所以在中；
所以二面角的余弦值为；
证明：设多面体有个面，给组成多面体的多边形编号，分别为，，，号，
设第号多边形有条边，
则多面体共有条棱，
由题意，多面体共有个顶点，
号多边形的内角之和为，
所以所有多边形的内角之和为，
所以多面体的总曲率为
．
所以简单多面体的总曲率为．
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