2024-2025学年吉林省长春三中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年吉林省长春三中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
2.与双曲线有公共焦点，且长轴长为的椭圆方程为( )
A. B. C. D.
3.在等差数列中，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆：的上顶点为，左、右两焦点分别为，，若为等边三角形，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
5.已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为( )
A. B. C. D.
6.过点的直线与双曲线相交于，两点，若是线段的中点，则直线的方程是( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则( )
A. B. C. D.
8.图为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，若是该抛物线上一点，点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线：，：，则( )
A. 的长轴长为 B. 的渐近线方程为
C. 与的焦点坐标相同 D. 与的离心率互为倒数
10.已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论错误的是( )
A. 数列是递增数列 B.
C. 当取得最大值时， D.
11.过抛物线：上一点作两条相互垂直的直线，与的另外两个交点分别为，，则( )
A. 的准线方程是
B. 过的焦点的最短弦长为
C. 直线过定点
D. 若直线过点，则的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若抛物线：上的一点到焦点的距离为，到轴的距离为，则 ______．
13.公差为的等差数列的首项为，前项和为，且满足，则 ______．
14.如图，我们把由半椭圆和半椭圆合成的曲线称作“果圆”，，是相应半椭圆的焦点，则的周长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在等差数列中，，，的前项和为．
求数列的通项公式；
求的最大值和取得最大值时的值．
16.本小题分
已知点是椭圆上的一点，和分别为左右焦点，焦距为，且过．
求椭圆的标准方程；
若动直线过与椭圆交于、两点，求的周长．
17.本小题分
已知抛物线：的焦点为，是抛物线上的点，且．
求抛物线的方程；
已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程．
18.本小题分
已知双曲线：的虚轴长为，且离心率为．
求的方程和焦点坐标；
设的右焦点为，过的直线交于，两点，若中点的横坐标为，求．
19.本小题分
已知椭圆的离心率，且点在椭圆上．
求椭圆的方程；
若经过定点的直线与椭圆交于，两点，记椭圆的上顶点为，当直线的斜率变化时，求面积的最大值．
参考答案
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15.解：设等差数列的公差为，
则，解得，，
所以．
由知，，
所以当时，取得最大值．
16.解：由，得，
又椭圆过，，
得，
椭圆的标准方程为；
动直线过与椭圆交于、两点，
，，
，
的周长为．
17.解：因为，所以，
故抛物线的方程为．
易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，，，
则
两式相减得，整理得．
因为的中点为，所以，
所以直线的方程为，即．
18.解：因为的离心率为，又的虚轴长为，
所以，又，
解得，，，
所以的方程为，左、右焦点坐标分别为，；
由知，根据题意易得过的直线斜率存在，
设为，，，
联立化简得，
则，
所以，
因为中点横坐标为，所以，
解得，所以，
则，
则．
19.解：椭圆的离心率，则，即，
故，椭圆方程为，
将点代入方程得，
故所求方程为．
点在椭圆内，直线的斜率存在，
设直线的方程为，
由得，
设，，则，
，
点到的距离，
令，则，则，
因为，所以当时，是所求最大值，

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