2024-2025学年陕西省西安市陕西师大附中高一（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年陕西师大附中高一（上）月考数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则集合等于( )
A. B. C. D.
2.圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为( )
A. B. C. D.
3.已知，则的最大值是( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.若，，，则下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，那么 D. 若，则
6.已知函数满足对任意，，当时都有成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若，，，则( )
A. B. C. D.
8.设函数，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 不等式的解集或
B. “”是“”成立的必要不充分条件
C. 命题：，，则
D. “”是“”成立的充分不必要条件
10.已知函数的定义域为，，且对任意实数，，有，当时，则下列结论正确的是( )
A. B. 是上的单调递增函数
C. 为偶函数 D. 为奇函数
11.已知函数，下面关于的方程的实数根的个数，说法正确的是( )
A. 当时，原方程有个根 B. 当时，原方程有个根
C. 当时，原方程有个根 D. 不论取何值，原方程都不可能有个根
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。
12.已知，，则 ．
13.已知为锐角，且有，，则的值是______．
14.已知函数方程有六个不同的实数根，，，，，，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求下列各式的值：
；
．
16.本小题分
设命题：实数满足，其中，命题：实数满足．
若，且和都是真命题，求实数的取值范围；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知二次函数过坐标原点，有，且在上的值域为．
求函数的解析式；
求解关于的不等式，其中为实数．
18.本小题分
已知函数对任意的，，都有，且当时，．
判断函数的单调性并证明；
若，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
若，求关于的方程的解；
若关于的方程有三个不同的正实数根，，且．
求的取值范围；
证明：．
参考答案
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15.解：原式
；
原式
．
16.解：命题：实数满足，其中，
当时，命题：，解得，
命题：实数满足整理得．
由于命题和都是真命题，
所以，整理得，
故实数的取值范围为．
命题：实数满足，解得，
命题：实数满足故．
由于是的充分不必要条件，
所以，，
所以或，
故．
17.解：由，
得二次函数的图象为对称轴为的抛物线，
又在上的值域为，
二次函数的图象为开口向下的抛物线，且顶点纵坐标为，
由此设，且，
已知二次函数的图象过坐标原点，可得，
解得，则；
又，得，即，
当时，解得或，
当时，解得，
当时，解得或．
当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或．
18.解：函数在上单调递增，证明如下：
由，可得，
当时，有，，
令，，即有且，
所以，
故函数在上单调递增．
由，则，即，
，即，
即有，即对任意的恒成立，
当时，有，对任意恒成立，满足题意；
当时，
若，则可化为，
即，
因为，在上均单调递减，
所以函数在上单调递减，
故，
则，，
即，与矛盾，故舍去；
若，则可化为，
即，
由对勾函数的性质可知：在上单调递减，在上单调递增，
故，即，即，又，
故时，符合要求；
若，令函数，
则对任意的恒成立，
当时，，有，
由，，
故当或时，即或时，即时，符合要求，
当，即，即时，
须有，解得，即，符合要求，
即当时，在上恒成立；
当时，，有，
故只需，解得，即；
故时，在上恒成立；
即当时，在上恒成立；
综上所述，实数的取值范围为
19.解：当时，函数，
那么根据，得，
当时，那么，所以，无实数解；
当时，那么，所以，解得或舍去，
综上所述，．
由于函数，
当时，，
当时，，
根据对勾函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
易知在上单调递增，
当时，则在上单调递增，在上单调递增，
又当时，，所以在上单调递增，
故方程不可能存在个不同正实根，
所以，则在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
故，解得，
即的取值范围为；
证明：、是方程，即的两个根，故，
是方程的较大根，即的较大根，
则且在区间上单调递减，
所以．
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