2024-2025学年上海市长宁区延安中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市长宁区延安中学高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则下列不等式中不成立的是( )
A. B. C. D.
2.设，，，，，均为非零实数，不等式和的解集分别为和，那么“”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
3.若，则函数的两个零点分别位于区间( )
A. 和内 B. 和内
C. 和内 D. 和内
4.已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当，，均为正实数时，，当且仅当时等号成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.已知集合，则 ______．
6.设，则不等式的解集为______．
7.已知，，化简式子： ______．
8.已知，则的取值范围为______．
9.当时，化简： ______．
10.集合，与集合的关系是______．
11.若正数，满足，则的取值范围是 ．
12.已知，则方程的解集为______．
13.已知关于的一元二次方程的两个实根分别为和，且，则实数 ______．
14.已知关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为______．
15.已知，表示不大于的最大整数，如，则不等式的解集为______．
16.若三个非零且互不相等的实数，，满足和，则称构成一组“有序好数对”；已知集合，则由中的三个元素组成的所有“有序好数对”的个数为______．
三、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设，为实数，比较与的值的大小．
18.本小题分
已知，集合；
当时，集合且，求集合；
已知，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知，关于的方程；
若方程有两个正实数根，求实数的取值范围；
若方程有两个整数根，，且为整数，求的值．
20.本小题分
窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一；规定：两个全等的矩形中心重合，且对应边互相垂直，所形成的图形称为“正十字形”；如图所示，窗花是由一张圆形纸片剪去一个“正十字形”剩下的部分，其中“正十字形”的顶点都在圆周上；已知两个矩形的宽和长都分别为，单位：分米且宽小于长，若剪去的“正十字形”部分面积为平方米；
请用表示，并写出的取值范围；
现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小；当取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值；结果精确到．
21.本小题分
已知集合，，具有性质：对任意，，与至少有一个属于集合．
判断集合与是否具有性质，并说明理由；
已知具有性质，当时，求集合；
已知具有性质，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.，
15.
16.
17.解：根据题意，两个代数式作差可得：
，
当时等号成立，
所以．
18.解：由，可得或，
易知，
当时，可得，
由集合且，
可得或或；
由，可得，
当时，可得；
当时，若，可得，
由可得，即；
若，可得，
此时恒成立，即即可；
综上，实数的取值范围为．
19.解：因为关于的方程有两个正实数根，
所以，
解得或，
即实数的取值范围为或；
由方程有两个整数根，，
所以且，，
由，，，
所以或，
当时，，，
所以，或，，
所以，
当时，，，
所以，或，，
所以，
综上所述，的值为或．
20.解：已知两个矩形的宽和长都分别为，单位：分米且宽小于长，
若剪去的“正十字形”部分面积为平方米，
根据题意可知，剪去的“正十字形”部分面积可表示为，
可得，
由宽小于长可得，解得，
因此；
若所用圆形纸片面积最小，可知圆的半径最小即可，
设圆的半径为，则圆的面积为
，
当且仅当，即时，等号成立，
此时圆形纸片面积的最小值为平方分米．
21.解：集合，，具有性质：对任意，，与至少有一个属于集合，
集合中，因为，，，，，，，所以集合具有性质．
集合中，因为，，所以集合不具有性质．
因为，且具有性质，所以，，
则，又因为，所以，则，
由集合的互异性知，而，，，
所以，故A．
因为具有性质，
所以 ，则，则．
又因为，所以
又因为，所以，则，
所以，，，，．
所以，
即，
所以具有性质，则，
所以．
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