2024-2025学年宁夏银川一中高二（上）第二次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年宁夏银川一中高二（上）第二次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.等比数列中，，，则的值为( )
A. B. C. D.
2.如图，吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，宽，高，根据图中的坐标系可得这条抛物线的准线方程为( )
A. B.
C. D.
3.在等差数列中，已知，，则数列的前项和的最大值为( )
A. B. C. D.
4.九连环是我国民间的一种益智玩具，它蕴含着丰富的数学奥秘假设从套环与套框完全分离的状态出发，需经过步演变，出现只穿有第环的状态，则，且则从套环与套框完全分离的状态到套环均在套框上的状态，总共需要的演变步数为( )
A. B. C. D.
5.已知点在抛物线：上，过点作圆：的切线，切点为，若点到的准线的距离为，则切线长为( )
A. B. C. D.
6.已知等差数列的前项和为，若，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知直线与椭圆：交于，两点，是椭圆的右焦点，，则椭圆的离心率的值为( )
A. B. C. D.
8.已知过抛物线：的焦点且斜率为的直线与交于、两点，若以为直径的圆过点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆和圆的交点为，，则( )
A. 公共弦所在直线的方程为
B. 线段的中垂线方程为
C. 公共弦的长为
D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
10.双曲线：的左、右顶点分别为，，，两点在上，且关于轴对称，则下列选项正确的是( )
A. 以的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为
B. 双曲线的离心率为
C. 直线与的斜率之积为
D. 双曲线的焦点到渐近线的距离为
11.已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若，则下列说法正确的是( )
A. 当时，最大 B. 使得成立的最小自然数
C. D. 数列中的最小项为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列满足，，，则 ______．
13.在和之间插入个数，使得这个数成等差数列，若这个数中第个为，第个为，则的最小值是______．
14.设双曲线的左，右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为，直线与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为若点恰好为线段的中点，则直线的斜率的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设抛物线：的焦点为，是抛物线上的点，且．
求抛物线的方程；
已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程．
16.本小题分
如图，已知四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，是正三角形，，，，分别为，，，的中点．
求证：平面；
求点到平面的距离．
17.本小题分
已知数列中，，．
求证：数列为等差数列，并求；
求的前项和．
18.本小题分
如果数列对任意的，，则称为“速增数列”．
Ⅰ判断数列是否为“速增数列”？说明理由；
Ⅱ若数列为“速增数列”，且任意项，，，求正整数的最大值．
19.本小题分
已知椭圆：，短轴长为，且经过点，过左焦点的直线交于，两点，过点与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点．
求椭圆的标准方程；
证明：直线过定点，并求定点坐标；
设为直线与直线的交点，求面积的最小值．
参考答案
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15.解：因为，
所以，
故抛物线的方程为；
易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，，，
则，
两式作差变形得：，
又因为的中点为，则，
所以，
所以直线的方程为，即．
16.解：证明：是正三角形，为的中点，
，
四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，
，
，平面．
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，
，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
，
点到平面的距离为．
17.解：因为，所以，
故，
即数列是以为首项，为公差的等差数列，
故，
所以；
依题意可得，
，
两式相减可得，
所以．
18.解：Ⅰ数列是“速增数列”，理由如下：
因为，
所以，，
因为，
所以，
故数列是“速增数列”；
Ⅱ因为数列为“速增数列”，且任意项，，，
所以对任意的，，，
所以，，，，
相加的，，
即，
所以，，
当时，，
当时，，
故正整数的最大值为．
19.解：因为椭圆的短轴长为，且经过点，
所以，解得，
则椭圆的标准方程为；
证明：易知直线斜率存在且不为，
设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
此时，
因为点为线段的中点，所以，
因为，同理得，
所以，
所以，
整理得，此时直线过定点，
当时，取，，
则直线过定点；
当时，取，，
则直线过定点；
综上，直线过定点；
因为点，分别为，的中点，
此时
，
由知，
同理得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
则面积的最小值为．
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