2024-2025学年青海省西宁五中高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年青海省西宁五中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.方程组的解集是( )
A. B.
C. D. 或
2.已知函数，在上是单调函数，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3.若集合，，则( )
A. B. C. D.
4.不等式的解集为( )
A. B. C. D.
5.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
6.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则的解集是( )
A. B.
C. D.
7.已知，，且，若恒成立．则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知指数函数，当时，有，则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10.下列各项说法正确的有( )
A. 可以表示是的函数
B. ，与，是相同函数
C. 是奇函数
D. 在定义域内是减函数
11.下列说法正确的是( )
A. 是的既不充分也不必要条件
B. “”是“”的既不充分也不必要条件
C. 若，，则“”是“，不全为”的充要条件
D. “”是“”的充要条件
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是______．
13.已知幂函数，且为偶函数，则的解析式______．
14.已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，集合．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
解不等式；
已知是实数，试解关于的不等式：．
17.本小题分
已知定义在上的奇函数满足．
求的解析式；
证明：函数在上单调递减；
求关于的不等式的解集．
18.本小题分
定义：二阶行列式；三阶行列式，的某一元素的余子式指的是在中划去所在的行和列后所余下的元素按原来的顺序组成的二阶行列式现有三阶行列式．
若元素的余子式，求的值；
记元素的余子式为函数，求的单调减区间．
19.本小题分
我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，，当且仅当时，等号成立我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，，，，，，，，且，，当且仅当时，等号成立．
若，求的最小值；
求的最大值；
若，，不等式恒成立，求的取值范围．
参考答案
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15.解：当时，集合，集合或，
所以或；
因为，则，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
16.解：，则，可得，
所以不等式解集为；
，
当，即时，解集为；
当，即时，解集为；
当，即时，解集为；
综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．
17.解：定义在上的奇函数满足．
因为为奇函数，所以，即；
因为，所以，经检验函数是奇函数，
所以的解析式为．
证明：，，且，
因为，所以，，，，
，
所以，即，
所以函数在上单调递减；
因为为奇函数，所以等价于，
因为在上单调递减，所以，解得，
即不等式的解集为．
18.解：根据题意，三阶行列式，
则元素的余子式，
若，则，解可得；
故；
根据题意，三阶行列式，
元素的余子式，
则函数，
则有，解得，所以的定义域为，
则，，
令，，
则当，函数单调递增；
当，函数单调递减，
又，单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减；
故单调减区间为．
19.解：柯西不等式可得，
又，
，即得．
当且仅当取最小值，
若，则的最小值为；
柯西不等式可得，
又，
，
即得，化简得，
当且仅当，取等号，
的最大值为；
，
，，
，
由柯西不等式，得，
又，，，令，
，
，当且仅当取最小值；
的取值范围是．
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