2024-2025学年天津二中高二（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年天津二中高二（上）月考数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的方程为，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.双曲线上的点到左焦点的距离为，则到右焦点的距离为( )
A. B. C. 或 D.
3.已知两条直线：，：，若与平行，则为( )
A. B. C. 或 D.
4.设，，向量，，且，，则( )
A. B. C. D.
5.已知圆截直线所得弦长是，则的值为( )
A. B. C. D.
6.如图：在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是( )
A.
B.
C.
D.
7.设是椭圆上的上顶点，点在上，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知，分别为双曲线：的左，右焦点，双曲线上的点满足，且的中点在轴上，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
9.已知是抛物线上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，若是圆：上任意一点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
10.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，过作与一条渐近线平行的直线，交另一条渐近线于点，交抛物线的准线于点，若三角形为原点的面积，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.已知点是抛物线：的焦点，为坐标原点，若以为圆心，为半径的圆与直线相切，则抛物线的方程为 ．
12.若双曲线的离心率为，则其两条渐近线所成的锐角的大小为______．
13.平行六面体中，向量、、两两的夹角均为，且，，，则等于 ．
14.已知圆：，直线：，，则直线截圆所得弦长的最小值为 ．
15.已知直线：，点为椭圆：上的一个动点，则点到直线的距离的最小值为______．
16.已知棱长为的正方体，若点在正方体内部且满足，则点到的距离为______，正方体，是平面内一动点，若与所成角为，则动点的轨迹方程______．
三、解答题：本题共3小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线：恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上．
求定点的坐标；
求圆的方程．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，是的中点，平面，且，，．
求证：；
求直线与平面所成角的正弦值；
求平面与平面夹角的大小．
19.本小题分
已知椭圆离心率等于且椭圆经过点．
求椭圆的标准方程；
若直线与轨迹交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．
参考答案
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17.解：直线：可化为，
令得点坐标为；
设圆心在的垂直平分线上，设垂直平分线上的点为，则，化简得：，
又因为圆心在直线上，所以，
所以圆心坐标为，半径，
所以圆的方程为：．
18.证明：，平面，
平面，平面，
则，，
以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
，，，是的中点，
则，，，，，，
故，
则，
所以，即
解：，，，，
，
设平面的法向量，
则，即，令，则，，
，，
设直线与平面所成的角为，，
则，
所以与平面所成角的正弦值为．
解：，，，
，
设平面的法向量，则，即，
不妨令，则，即，．
又平面的法向量，
设平面与平面夹角为，则为锐角，
，
，
故平面与平面夹角为．
19.解：因为离心率等于且椭圆经过点，
所以，
解得，，
则椭圆的方程为；
不妨设，，
联立，消去并整理得，
此时，
即，
由韦达定理得，
因为直线，的斜率之积等于，
所以，
即，
此时，
整理得，
联立，可得，
又，
而点到直线的距离，
所以
，
故的面积为定值，定值为．
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